1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（五十八） 参数方程 1 (2017 江苏高考 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为? x 8 t，y t2 (t 为参数 )，曲线 C 的参数方程为 ? x 2s2，y 2 2s (s 为参数 )设 P 为曲线C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 解：直线 l 的普通方程为 x 2y 8 0. 因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2,2 2s)， 从而点 P 到直线 l 的距离 d |2s2 4 2s 8|12 2 s 2 2 45 . 当 s 2时， dmin 4 55 . 因此当点 P 的坐标为 (4,
2、4)时，曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取到最小值 4 55 . 2已知曲线 C1：? x 4 cos t，y 3 sin t (t 为参数 )，曲线 C2： ? x 8cos ，y 3sin ( 为参数 ) (1)化 C1， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t 2 ， Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：? x 3 2t，y 2 t (t 为参数 )的距离的最小值 解： (1)曲线 C1： (x 4)2 (y 3)2 1，曲线 C2： x264y29 1， 曲线 C1是以 ( 4,3)为圆心， 1 为半径的
3、圆； 曲线 C2是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆 (2)当 t 2 时， P( 4,4)， Q(8cos ， 3sin )， 故 M 2 4cos ， 2 32sin . 曲线 C3为直线 x 2y 7 0， M 到 C3的距离 d 55 |4cos 3sin 13|， =【 ;精品教育资源文库 】 = 从而当 cos 45， sin 35时， d 取最小值 8 55 . 3在平面直角坐标系 xOy 中， C1的参数方程为? x 1 22 t，y 1 22 t(t 为参数 )，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， C2 的极坐标方程
4、 2 2 cos 30. (1)说明 C2是哪种曲线，并将 C2的方程化为普通方程； (2)C1与 C2有两个公共点 A， B，点 P 的极坐标 ? ?2， 4 ，求线段 AB 的长及定点 P 到 A，B 两点的距离之积 解： (1)C2是圆， C2的极坐标方程 2 2 cos 3 0， 化为普通方程为 x2 y2 2x 3 0，即 (x 1)2 y2 4. (2)点 P 的直角坐标为 (1,1)，且在直线 C1上， 将 C1的参数方程? x 1 22 t，y 1 22 t(t 为参数 )代入 x2 y2 2x 3 0， 得 ? ?1 22 t 2 ? ?1 22 t 2 2? ?1 22 t
5、 3 0，化简得 t2 2t 3 0. 设 A， B 对应的参数分别为 t1， t2， 则 t1 t2 2， t1 t2 3， 所以 |AB| |t1 t2| t1 t2 2 4t1t2 2 12 14， 定点 P 到 A， B 两点的距离之积 |PA| PB| |t1t2| 3. 4在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C的参数方程为? x 1 2cos ，y 2sin ( 为参数 )，直线 l 的参数方程为? x 5 2t，y 3 t (t 为参数 )，定点 P(1,1) (1)以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系 ，求圆 C 的
6、极坐标方程； (2)已知直线 l 与圆 C 相交于 A， B 两点，求 |PA| |PB|的值 解： (1)依题意得圆 C 的一般方程为 (x 1)2 y2 4， 将 x cos ， y sin 代入上式得 2 2 cos 3 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以圆 C 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0. (2)因为定点 P(1,1)在直线 l 上， 所以直线 l 的参数方程可表示为? x 1 2 55 t，y 1 55 t(t 为参数 ) 代 入 (x 1)2 y2 4，得 t2 2 55 t 3 0. 设点 A， B 分别对应的参数为 t1， t2， 则 t1 t2 2 55
7、 ， t1t2 3. 所以 t1， t2异号，不妨设 t10， t20， 所以 |PA| t1， |PB| t2， 所以 |PA| |PB| |t1 t2| 2 55 . 5已知直线 l：? x 1 12t，y 32 t(t 为参数 )，曲线 C1：? x cos ，y sin ( 为参数 ) (1)设 l 与 C1相交于 A， B 两点，求 |AB|； (2)若把曲线 C1上各点的横坐标压缩为原来的 12倍，纵坐标压缩为原来的 32 倍，得到曲线 C2，设点 P 是曲线 C2上的一个动点，求它到直线 l 距离的最小值 解： (1)由已知得 l 的普通方程为 y 3(x 1)， C1的普通方程
8、为 x2 y2 1， 联立方程 ? y 3 x ，x2 y2 1 解得 l 与 C1的交点为 A(1,0)， B? ?12， 32 ，则 |AB|1. (2)由题意，得 C2的参数方程为? x 12cos ，y 32 sin ( 为参数 )， 故点 P 的坐标为 ? ?12cos ， 32 sin ， 从而点 P 到直线 l 的距离是 =【 ;精品教育资源文库 】 = d ? ?32 cos 32 sin 3 2 34 2sin? 4 2， 当 sin? ? 4 1 时， d 取得最小值，且最小值为 2 3 64 . 6在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为? x t 1，y t 2
9、 (t 为参数 )在以原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 31 2cos2 . (1)直接写出直线 l 的普通方程、曲线 C 的直角坐标方程； (2)设曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 d，求 d 的取值范围 解： (1)直线 l 的普通方程为 x y 3 0， 曲线 C 的直角坐标方程为 3x2 y2 3. (2) 曲线 C 的直角坐标方程为 3x2 y2 3， 即 x2 y23 1， 曲线 C 上的点的坐标可表示为 (cos ， 3sin )， d |cos 3sin 3|2 ? ?2sin? ? 6 32 2sin? ? 6 32 . d 的
10、最小值为 12 22 ， d 的最大值为 52 5 22 . 22 d 5 22 ， 即 d 的取值范围为 ? ?22 ， 5 22 . 7平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C： (x 1)2 y2 1.直线 l 经过点 P(m,0)，且倾斜角为 6 ，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 (1)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，且 |PA| PB| 1，求实数 m 的值 解： (1)曲线 C 的直角坐标方程为： (x 1)2 y2 1，即 x2 y2 2x，即 2 2 co
11、s ， 所以曲线 C 的极坐标方程为 2cos . 直线 l 的参数方程为? x m 32 t，y 12t(t 为参数 ) (2)设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，将直线 l 的参数方程代入 x2 y2 2x 中， 得 t2 ( 3m 3)t m2 2m 0， 所以 t1t2 m2 2m， 由题意得 |m2 2m| 1， 解得 m 1 或 m 1 2或 m 1 2. 8已知直线的参数方程是? x 22 t，y 22 t 4 2(t 是参数 )，圆 C 的极坐标方程为 4cos? ? 4 . (1)求圆心 C 的直角坐标； (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值 解： (1) 4cos? ? 4 2 2cos 2 2sin ， 2 2 2 cos 2 2 sin ， 圆 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2 2x 2 2y 0， 即 (x 2)2 (y 2)2 4， 圆心的直角坐标为 ( 2， 2) (2)直线 l 上的点向圆 C 引切线，则切线长为 ?22 t 2 2?22 t 4 2 2 2 4 t2 8t 48 t 2 324 2， 直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值为 4 2.
