1、天津市南开区 20202021 学年度第二学期高二年级数学学科期末考试试卷题号一二三总分1617181920得分本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷（选择题共 50 分）得分评卷人一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 A = 1,2,3,4，集合 B =?x?x2 4?，则 A RB =（）（A） （B） 1,2（C） 1,1（D） 2,1,1,22. 已知 P(B|A) =13,P(A) =25，则 P(AB) 等于（）（A）215（B）115（C）56（D）9103.
2、 已知 x,y R，则“xy 1”是“0 x b c（B） a c b（C） c b a（D） c a b7. 已知 1 号箱有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2号箱，然后从 2 号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（）（A）38（B）1127（C）1124（D）8278. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 4 次试验，测得的数据如下，根据下表可得经验回归方程 y = 8x + 11，则实数 a 的值为（）零件数 x（个）2345加工时间 y（分钟）30a4050（A） 34（B） 3
3、5（C） 36（D） 379. 设 f(x) 是函数 f(x) 的导函数，y = f(x) 的图象如右图所示，则 y = f(x) 的图象最有可能的是（）xyO12（A）xyO12（B）xyO21（C）xyO21（D）xyO2110. 已知函数 f(x) =2x 1,0 x 2,x2,2 x 0,g(x) = ax + 1，对 x1 2,2,x2 2,2，使 g (x1) = f (x2)成立，则实数 a 的取值范围是（）（A） 1,1（B）?1,52?（C） 2,2（D）?52,52?第 II 卷（共 100 分）得分评卷人二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分11.
4、 下面是一个 22 列联表，则表中 a 处的值为y1y2合计x1ab73x2225c合计d4612. 计算：log123 log9823=13. 将甲、乙、丙、丁 4 名志愿者分配到 A,B,C 三个小组，每个小组至少分配 1 人，其中甲、乙两人被分配到同一小组的不同分法的种数为14. 若随机变量 服从正态分布 N (,2),P( + ) = 0.6827,P( 2 0（ I ） 若 a b，试比较 f(a),f(b) 的大小；（ II） 若存在实数 x ?12,32?，使得不等式 f(x c) + f (x c2) 0 成立，求实数 c 的取值范围得分评卷人19.（本题满分 15 分）某班组
5、织同学开展古诗词背诵活动，老师要从 10 篇古诗词中随机抽 3 篇让学生背诵，规定至少要背出其中2 篇才能过关某同学只能背诵其中的 6 篇，试求：（ I ） 抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布；（II） 他能过关的概率得分评卷人20.（本题满分 16 分）设函数 f(x) =12x2+ alnx(a 0)（ I ） 若函数 f(x) 的图象在点 (2,f(2) 处的切线斜率为12，求实数 a 的值；（II） 求 f(x) 的单调区间；（III） 设 g(x) = x2 (1 a)x，当 a 1 时，讨论 f(x) 与 g(x) 图象交点的个数第 2 页天津市南开区 20202021 学年度第
6、二学期高二年级数学学科期末考试试卷参考答案1. B解：因为 B = x|x 2，所以 RB = x| 2 x 2 A RB = 1,22. A解： P(AB) = P(A)P(B|A) =2153. B解：当 xy 1 且 y 1y，因此充分性不成立当 0 x 0，因此有 xy 1 成立所以， “xy 1”是“0 x 0,f(4) =32 2 1,b c b7. D解：记“从 1 号箱出取出红球”为事件 A， “从 2 号箱中取出红球”为事件 BP(AB) =4649=8278. C解：依题意得 x =2+3+4+54=72因为回归方程 y = 8x + 11 经过点 ( x, y)，所以 y
7、 = 39，即30+a+40+504= 39，解得 a = 369. A解：由 f(x) 的图象可知，x 0 时，f(x) 单调递增，0 x 2 时，f(x) 单调递增所以，f(x) 的极大值点为 0，极小值点为 2，故 C 项正确10. A解：当 x 2,0) 时，f(x) 单调递增，其值域为 4,0)；当 x 0,2 时，f(x) 单调递增，其值域为0,3故 f(x) 的值域为 4,3记 A = 4,3,g(x) 在 2,2 上的值域为 B，依题意可知 B A当 a 0 时，g(x) 单调递增，B = 2a + 1,2a + 1，此时有a 0,2a + 1 4,2a + 1 3,解得 0
8、a 1当 a = 0 时，B = 1，符合题意当 a 0 时，B = 2a + 1,2a + 1，此时有a 0,2a + 1 4,2a + 1 3,解得 1 a 0,b 0,9a2+ b2= 1，所以，1 = 9a2+ b2 6ab ab 161ab 6，当且仅当 a =26,b =22时等号成立所以ab3a + b=a2b2(3a + b)2=a2b21 + 6ab=11a2b2+6ab=s1?1ab+ 3?2 91(6 + 3)2 9=212,当且仅当 a =26,b =22时等号成立解 2：因为 a 0,b 0,9a2+ b2= 1,21a+1ba2+b22，所以ab3a + b=11a
9、+3b=11a+1b312a2+?b3?22=212.当且仅当 a =26,b =22时等号成立16. （ I ） 解：依题意得C4nC2n=143n 4,n(n1)(n2)(n3)24n(n1)2=143,解得 n = 10（II） 解：令 x = 1，则有?3x 123x?10=1210=11024，所以，展开式的各项系数和为11024（III） 解：?3x 123x?10=?x1312x13?10，其通项为 Tk+1= Ck10?x13?10k?12x13?k=?12?kCk10 x102k3当102k3 Z 时，Tk+1为有理项，故 k = 5 或 k = 2所以，?3x 123x?1
10、0展开式中的有理项为 T6= 638和 T3=454x217. （ I ） 解：记“该同学参加计算机软件应用兴趣小组”为事件 A， “该同学参加数学建模兴趣小组”为事件 B依题意得，P(A) = 0.6,P(B) = 0.75，该同学没有参加过培训的概率为 P?AB?= P?A?P?B?=0.4 0.25 = 0.1，所以，该同学参加兴趣小组的概率为 1 0.1 = 0.9（II） 解：依题意可知， 的所有可能取值为 0,1,2,3, B(3,0.9),P( = k) = Ck30.9k0.13k,k = 0,1,2,3所以， 的分布列为：0123p0.0010.0270.2430.729第
11、3 页数学期望 E = np = 3 0.9 = 2.718. （ I ） 解：首先证明 f(x) 在 R 上单调递增设 x1 x2，则 x1+ x2 0,x1+ x2 0，所以，f (x1) + f (x2) 0因为 f(x) 是 R 上的奇函数，所以，f (x2) = f (x2)，故 f (x1) f (x2) b，所以 f(a) f(b)（ II） 解：依题意得 f (x c2) f(x c) = f(c x)因为 f(x) 在 R 上单调递增，所以 x c2 c x，即 c2+ c 2x 在?12,32?上恒成立所以，c2+ c (2x)max= 1 c2+ c 3，解得 1+132
12、 c 131219. （ I ） 解： 记抽到他会背诵的古诗词的数量为 X， 则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3， 且 P(X = k) =Ck6C3k4C310,k =0,1,2,3所以，X 的概率分布列为P(X = 0) =C34C310=4120=130P(X = 1) =C16C24C310=36120=310P(X = 2) =C26C14C310=60120=12P(X = 3) =C36C310=20120=16X0123p1303101216（ II） 解：他能过关的概率为 P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3) =12+16=2320. （ I ） 解
13、：因为 f(x) = x +ax，所以，f(x) 的图象在点 (2,f(2) 处的切线斜率 k = f(2) = 2 +a2=12，解得 a = 3（ II） 解： f(x) 的定义域为 (0,+)，且 f(x) =x2+ax由 f(x) = 0 得 x =a当 0 x a 时，f(x) a 时，f(x) 0,f(x) 在 (a,+) 上单调递增（III） 解：设 h(x) = f(x) g(x) = 12x2+ (1 a)x + alnx(x 0)，则 a 1 时，f(x) 与 g(x) 图象交点的个数等价于 h(x) 零点的个数h(x) = x + (1 a) +ax=(x+a)(x1)x
14、(i) 当 a = 1 时，h(x) 0,h(x) 在 (0,+) 上单调递减因为 h(x) = 12x2+ 2x lnx,h(3) =32 ln3 =12(3 ln9) 0,h(4) = ln4 0，所以，h(x) 在 (3,4) 上有一个零点(ii) 当 a 1由 h(x) 0 得，1 x a,h(x) 在 (1,a) 上单调递增由 h(x) 0 得，0 x a,h(x) 在 (0,1),(a,+) 上单调递减因为 h(1) =12 a 0,h(x) 在 (0,1) 上单调递减，所以，x (0,1) 时，h(x) 0,h(x) 没有零点因为 h(x) 在 (1,a) 上单调递增，所以，h(a) h(1) 0因为 2 2a = a + 2 a a 1,h(2 2a) = aln(2 2a) 0，所以，h(x) 在 (a,2 2a) 上有一个零点综上，a 1 时，f(x) 与 g(x) 的图象有一个交点第 4 页
