1、 1 河北衡水中学 2017 届高三数学（文）周测 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 | 4 2M x x? ? ? ?， | N x y x?，则 MN? （ ） A (0,4) B 0,4) C (0,2) D 0,2) 2.若复数 12aii? （ i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A 2 B 12 C 12? D -2 3.已知在等差数列 na 中， 1 1a? ，且 2a 是 1a 和 5a 的等比中项，则 7a? （ ） A 1 B 1 或 13 C 13
2、D 1 或 15 4.过点 (1,0)M 作斜率为 1 的直线 l 交抛物线 2 4yx? 于 ,AB两点，则 |AB? （ ） A 4 B 6 C. 8 D 10 5.某公司有 30 名男职员和 20 名女职员，公司进行了一次全员参与的职业能力测试，现随机询问了该公司 5 名男职员和 5 名女职员在测试中的成绩（满分为 30 分），可 知这 5 名男职员的测试成绩分别为 16,24,18, 22,20,5 名女职员的测试成绩分别为 18,23,23,18,23，则下列说法一定正确的是（ ） A这种抽样方法是分层抽样 B这种抽样方法是系统抽样 C. 这 5 名男职员的测试成绩的方差大于这 5
3、名女职员的测试成绩的方差 D该测试中公司男职员的测试成绩的平均数小于女职员的测试成绩的平均数 6.设向量 (1,0)a? ， 22( , )b ?，若 ()c a tb t R? ? ? ，则 |c 的最小值为（ ） A 2 B 1 C. 22 D 12 7.已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为 1 的等腰直角三角形，且体积为 13 ，则该几何体的俯视图可以是（ ） 2 A B C. D 8.执行如图所示的程序框图，若输出的 x 的值是 8，则实数 M 的最大值为（ ） A 39 B 40 C. 41 D 121 9.已知函数 ( ) 2 c o s ( 2 )(| | )2
4、f x x ? ? ?的图象向右平移 6? 个单位长度后得到的函数图象关于 y 轴对称，则函数 ()fx在 0, 2? 上的最大值与最小值之和为（ ） A 3? B -1 C. 0 D 3 10.已知点 P 在直径为 2 的球面上，过点 P 作球的两两垂直的三条弦 ,PAPB PC ，若PA PB? ，则 PA PB PC?的最大值为（ ） A 6 B 21? C. 22? D 3 11.已知双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的实轴端点分别为 12,AA，记双曲线的其中一个焦点为 F ，一个虚轴端点为 B ，若在线段 BF 上（不含端点）有且仅有两个不同的点( 1,
5、2)iPi? ，使得 122iAPA ?，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ） A 51( 2, )2? B 61( 2, )2? C. 51(1, )2? D 51( , )2? ? 12.若关于 x 的不等式 64xme xx ? 在 (0, )? 上恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） 3 A 12( ,2 )e? B 12( ,2 e? C. 12(2 , )e? ? D 122 , )e? ? 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若 4sin 5? ，且 ? 是第三象限角，则 2sin 2 cos? 14.若 ,xy满足约束条件 1 22 2
6、0yxyxy? ? ?，则 2z x y?的最大值为 15.已知首项 1 1a? 的数列 na 满足 *1 2 1( )nna a n N? ? ? ?，则数列 1 nan? 的前 n 项和nT? 16.若 ()fx是定义在 0, )? 上的函数，当 0,2x? 时， ( ) sin( )f x x? ，且当 (2, )x? ?时， 1( ) ( 2)2f x f x?，则方程 ( ) ln( 1)f x x?的实数根的个数为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 na 满足 1 2a? ， 前 n 项和为 nS ，若
7、 *2( 1)( )nnS a n N? ? ? （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设 222 1 2(lo g ) (lo g )n n nb a a?，若 n n nc ab? ，求 nc 的前 n 项和 nT 18. 已知四棱锥 P ABCD? 如图所示，其中四边形 ABCD 是菱形，且 60ABC?，三角形 PAD 是等边三角形，平面 PAD? 平面 ABCD ，点 M 为棱 PC 上的点，且 13PM PC? （ 1）求证： PBC? 是直角三角形； （ 2）若 2CD? ，求四棱锥 M ABCD? 的体积 19. 从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了 40 名学
8、生的成绩作为样本，已知这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分之间，现将成绩按如下方式分成 6 组，第一组40,50) ；第二组 50,60) ；?；第六组 90,100 ，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图 4 （ 1）求成绩在区间 80,90) 内的学生人数； （ 2）从成绩大于等于 80分的学生中随机选取 2名，求至少有 1名学生的成绩在区间 90,100内的概率 20. 已知椭圆 E ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?与 y 轴的正半轴相交于点 M ，点 12,FF为椭圆的焦点，且 12MFF? 是边长为 2 的等边三角形，若直线 : 2 3l y kx?
9、与椭圆 E 交于不同的两点 ,AB （ 1）直线 ,MAMB 的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （ 2）求 ABM? 的面积的最大值 21. 设函数 21( ) ln2f x x ax k x? ? ?， ( , )a R k R? （ 1）若 1k? ，且 ()fx在区间 1, )? 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 2）若 0a? 且 ke? ，求证： ()fx在区间 (1, e 上有且仅有一个零点 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 x m
10、tyt? ?（ t 为参数） ，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4 2 cos( )4? （ 1）把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线 C 的形状； （ 2）若曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为 22，求实数 m 的取值范围 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | |f x x a?， ()aR? 5 （ 1）若 1a? ，解不等式 ( ) | 3 | 2f x x x? ? ?； （ 2）若不等式 ( ) | 1| 3f x x? ? ?在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围 附加题： 1已知在 AB
11、C? 中，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，且 22 sin 3 co s( ) 0A B C? ? ? （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 ABC? 的面积 53S? ， 21a? ，求 sin sinBC? 的值 2.已知椭圆 M ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的一个顶点坐标为 (0,1) ，离心率为 22 ，动直线y x m? 交椭圆 M 于不同的两点 ,AB， (1,1)T （ 1）求椭圆 M 的标准方程； （ 2）试问： TAB? 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 3.设函数 ( ) lnxf x e x? （ e 是自然对
12、数的底数） （ 1）求曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （ 2）令 2( ) 1 xeQx ex? ，证明：当 0x? 时， ( ) ( )f x Q x? 恒成立 6 试卷答案 一、选择题 1-5: DABCC 6-10:CBBBA 11、 12： AD 二、填空题 13. 35 14. 4 15. 21 42 2n nn? ? 16.3 三、解答题 17.（ 1）由条件 可知，当 2n? 时， 112 ( )n n n n na S S a a? ? ? ?，即 12nnaa? ， 又 1 2a? ， na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 2nna?
13、（ 2）由（ 1）可得 22( 1) 2 1nb n n n? ? ? ? ?，则 (2 1) 2nncn? ? ? ， 23 2 5 2 ( 2 1 ) 2 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 12 3 2 5 2 ( 2 1 ) 2 nn ? ? ? ? ? ? ? ? 可得： 2 3 16 2 ( 2 2 2 ) ( 2 1 ) 2nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 14 (1 2 )6 2 ( 2 1 ) 212 n nn? ? ? ? ? ? ? 1( 2 1) 2 2nn ? ? ? ? ? 1(2 1) 2 2nnTn ? ? ? ? 18.（ 1）取
14、 AD 的中点 O ， 连接 ,OP OC AC ， 因为 60ABC?，四边形 ABCD 为菱形，所以 ACD? 为正三角形， 所以 OC AD? ，又三角形 PAD 是等边三角形，所以 OP AD? ， 又 OP OC O? ， OC? 平面 POC ， OP? 平面 POC ， 所以 AD? 平面 POC ， 7 又 PC? 平面 POC ，所以 AD PC? 因为 /BC AD ，故 BC PC? ，即 PBC? 是直角三角形 . （ 2）由题意知，菱形 ABCD 的面积 23S? ， 3PO? ， 故 1 2 42 3 33 3 3M A B C DV ? ? ? ? ? ?. 19
15、.（ 1）因为各组的频率之和为 1， 所以 成绩在区间 80,90) 内的频率为 1 ( 0 .0 0 5 2 0 .0 1 5 0 .0 2 0 0 .0 4 5 ) 1 0 0 .1? ? ? ? ? ? ?， 所以选取的 40 名学生中成绩在区间 80,90) 内的学生人数为 40 0.1 4?. （ 2）设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选取 2 名，至少有 1 名学生的成绩在区间 90,100 内”，由（ 1）可知成绩在区间 80,90) 内的学生有 4 人，记这 4 名学生分别为 , , ,abcd ， 成绩在区间 90,100 内的学生有 0.005 10 4
16、0 2? ? ?（人），记这 2 名学生分别为 ,ef， 则选取 2 名学生的所有可能结果为 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )a b a c a d a e a f，( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )b c b d b e b f c d c e, ( , ), ( , ), ( , ), ( , )c f d e d f e f共 15 种， 事件“至少有 1 名学生的成绩在区间 90,100 内”的可能结果为( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )a e a f b e b
17、f c e， ( , ), ( , ), ( , ), ( , )c f d e d f e f，共 9 种， 所以 93() 15 5PA? 20.（ 1）因为 12MFF? 是边长为 2 的等边三角形， 所以 22c? ， 3bc? ， 2a? ，所以 2, 3ab?， 8 所以椭圆 E ： 22143xy?，点 (0, 3)M . 将直线 : 2 3l y kx? 代入椭圆 E 的方程， 整理得： 22(3 4 ) 1 6 3 3 6 0k x kx? ? ? ?，（ *） 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则由（ *）式可得 2 2 2(1 6 3 ) 4 ( 3 4 ) 3 6 4 8 ( 4 9 ) 0k k k? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 33( , ) ( , )22k ? ? ? ?，12 216 334kxx k? ? ? ?，12 23634xx k? ?， 所以直线 ,MAMB 的斜率之积 121233M A M B yykk xx? 222 2 21 2 1 21 2 1 21 6 33 ( ) 3( 3 ) ( 3 ) 3 ( ) 9 3
