1、8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 (人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标 1. 数学抽象：通过圆的面积推导方法由球的表面积推出其体积公式。 2. 逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。3. 数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生数形结合能力，有利于数学建模中数形结合能力。 4. 数据分析：通过利用表面积及体积公式解决一些计算问题。二、教学重难点1. 掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；2. 掌握棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积,会解决球的切、接问题 三、教学过程1 创设情景让学生回顾棱柱、棱锥、棱台有关的
2、组合体的表面积与体积【设计意图】把已学知识与新知建立联系，温故知新。并引出本节新课内容2 新知探究问题1:圆柱、圆锥、圆台的展开图是什么？(小组合作，学生回答，教师点拨)生答:圆柱的侧面展开图为矩形:圆锥的侧面展开图是扇形:圆台的侧面展开图是扇环:问题2:如何求它们的表面积与体积？(提出本节课所学内容)问题3:圆柱、圆锥、圆台三者的表面积与体积公式之间有什么关系？大家能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？小组合作，学生回答，教师点拨问题4:你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？小组合作，学生回答，教师点拨【设计意图】段炼学生推理能力
3、, 培养学生数形结合能力.3新知建构圆柱的表面积公式:;圆柱的体积公式:r是底面半径，h是高,则;圆锥的表面积公式:;圆锥的的体积公式:r是底面半径，h是高,则;圆台的表面积公式:;圆台的体积公式:, 其中S ，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高球的表面积公式：（R为球的半径）;球的体积公式:设球的半径为R，则球的体积：利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥形”。当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平。“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R，设
4、O-ABCD是其中一个“小椎体”，它的体积是S0-ABCD13SABCDR ,由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积之和就是球的表面积。因此，球的体积V球=13S球R=134R2R=43R3 .【设计意图】段炼学生类比推理能力， 使学生宏观理解多个公式之间的关系.4 数学运用例一：如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成的，半球的直径是0.3m.圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（取3.14) 解：一个浮标的表面积为2*0.15*0.6+4*0.15=0.8478（m）所以给
5、1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478*0.5*1000=423.9（kg)【设计意图】培养其解决实际问题能力，对已学知识进行巩固，段炼其计算能力.例二：如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，V球=43R3, V圆柱=R22R=2R3, V球：V圆柱=2:3 .【设计意图】段炼其发散思维，培养其解决实际问题能力。变式题1：内接球问题设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A. 3a2 B. 6a2 C. 12a2 D. 24a2解： 作出图形的轴截面如图所示，点O即
6、为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为 a2+2a2 = 5a ，线段BC 即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为 a2+(5a)2 = 6 a， 则球的半径 R=AC2=6a2 ,所以球的表面积S=4R2=6a2.总结：（1）.球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1=12a ，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)(2).长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为12a2+b2+c2，如图
7、(2)【设计意图】对已学知识进行检验，对学生新知掌握程度有所了解，培养学生理论与实际相结合的能力.变式题2：九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思是：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米堆约有（ ）A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛【设计意图】对已学知识进行检验，了解数学史，激发学生学习数学的热情，培养学生理论与实际相结合的能力.课堂小结1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 S圆柱=2r(r+l)S圆锥=rr+lS圆台=（r,2+r2+r,l+rl）2. 圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱=r2h（S为底面面积，h为高） V圆锥=13r2h (S为底面面积，h为高）V圆台=13h(r,2+r,r+r2)（S，S分别为圆台的上下底面面积，h为圆台的高3. 球的表面积S球=4R2球的体积V球=43R3四、课外作业P120, 习题8.3 4,5 题
