1、8.6.1直线与直线垂直 同步练习一选择题1在正方体中，表面的对角线中与成的有A4条B6条C8条D10条2如图所示，在矩形中，为边的中点，现将绕直线翻转至处，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为AB2CD43在正方体中，与垂直的是ABCD4如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是A平行B垂直相交C异面垂直D相交但不垂直5若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是A一定与垂直B一定与平行C一定与共面D与的位置关系可能是平行，相交，或异面6设是直线外一定点，过点且与成角的异面直线A有无数条B有两条C至多有两条D有一条7如图，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为，、的中点
2、将沿，折成三棱锥以后，与所成角的度数为ABCD8如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中与平行；与是异面直线；与成角；与垂直ABCD9如图，在四面体中，点、分别是棱、的中点，截面是正方形，则下列结论错误的为AB截面CD异面直线与所成的角为10如图，点、分别是正方体的面对角线、的中点，则异面直线和所成的角为ABCD二填空题11如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，则直线和所成角的度数为12如图，若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与所成角的余弦值为13已知四面体的棱都相等，为的重心，则异面直线与所成角的余弦值为14已知两异面直线，所成的角为，过空间一点作直线，使得与，的夹角均为，那么这
3、样的直线有条三解答题15空间四边形中，、分别是、的中点，若，求异面直线、所成角的大小16正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，为中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值17在四面体中，分别是，的中点，若，所成的角为，且，求的长度18如图，已知点在圆柱的底面上，、分别为、的直径，且平面（1）求证：；（2）若圆柱的体积，求三棱锥的体积在线段上是否存在一点，使异面直线与所成角的余弦值为？若存在，请指出的位置，并证明；若不存在，请说明理由8.6.1直线与直线垂直 同步练习答案1解：在几何体中，根据正方体的性质知所有过和点的正方体平面的对角线与它组成的角都是，这样就有4条，根据正方体的性质，在
4、正方体的和做出的面上的对角线平行的也满足条件，故一共有8条，故选：2解：取中点，连结，是的中点，且，四边形为平行四边形，在中，异面直线与所成角的正切值为故选：3解：正方体如图，考察四个选项，三个选项中的线段都与相交，由正方体的性质知此三个线段都不与垂直，故选：4解：由题设条件及图形，是面的斜线，故与的一定是异面直线，平面是菱形平面在平面内考察四个选项，都不符合题意故选：5解：如图所示，与的位置关系可能是平行，相交，或异面故选：6解：如图：依题意，设过点且与直线平行的平面为，在平面内过作的平行线，在平面内过直线使与夹角为将平面绕旋转，且使平面不过直线，则直线每旋转到一个新位置得到的直线均与异面，
5、且与的夹角均为，故选：7解：将沿，折成三棱锥以后，、分别为、的中点，则侧棱，故与所成角与侧棱与所成的角相等；为折成三棱锥的侧棱，因为，故与所成角的度数为，故选：8解：由题意画出正方体的图形如图：显然不正确；与成角，即正确；平面，所以正确；故选：9解：题意可知，截面是正方形，则，且，又点、分别是棱、的中点，且，面，面，因为面，所以不正确，正确；，所以与所成的角等于与所成的角，所以正确故选：10解：如图所示，连接，则连接，则是等边三角形，则是异面直线和所成的角，为故选：11解：在三棱锥中，、分别为、的中点，所以，所以直线和所成的角为或其补角，又，所以的补角为所以直线和所成角的度数为故答案为：12解
6、：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，正四棱柱的底面边长为2，高为4，2，0，0，0，0，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为故答案为：13解：设四面体的棱长为，延长交于点，取的中点，连接、，由题意知，为的中点，故即为异面直线与所成角在中，由余弦定理知，异面直线与所成角的余弦值为故答案为：14解：在空间取一点，经过点分别作，设直线、确定平面，当直线满足它的射影在、所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角因为直线，所成的角为，得、所成锐角等于，所以当的射影在、所成锐角的平分线上时，与、所成角的范围是，这种情况下，过点有两条直线与，所成的角都是；当的射影在、所成钝角的
7、平分线上时，与、所成角的范围是，这种情况下，过点有且只有一条直线（即时）与，所成的角都是综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有3条故答案为：315解：设为的中点，、分别是、中点且且为异面直线、所成的角（或其补角），中，即异面直线、所成的角为16解：（1）连接，设，的交点为，连接，因为，面，又面，故面，（2）由（1）可得：为异面直线与所成的角，设，则，由勾股定理可得：为直角三角形，则，故异面直线与所成角的余弦值为17解：取的中点，连接、，则（或其补角）为、所成的角、所成的角为，或，时，；时，或故答案为：或18（1）证明：在上，是的直径，平面，又，平面，又平面，故（2）由题意，解得，由，得，三棱锥的体积答：在上存在一点，当为的中点时，使异面直线与所成角的余弦值为证明：、分别为、的中点，则，就是异面直线与所成的角，又，在中，在上存在一点，当为的中点时，使异面直线与所成角的余弦值为
