1、9.2.4 总体离散程度的估计一、教学目标 1. 利用样本的离散程度估计总体的离散程度，培养学生的逻辑思维能力2. 掌握方差和标准差，利用方差和标准差估计总体的离散程度3. 通过样本标准差等数据直观估计总体的离散程度，能够正确计算样本的标准差或方差二、教学重点 求样本数据的方差、标准差、极差教学难点 用样本平均数和样本标准差估计总体三、教学过程1、情境引入问题1：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，
2、你应当如何做出选择？ 答：通过上述数据计算得出：甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7从这三个数据来看，两名运动员没有差别，根据以上数据作出频率分布直方图，如下：由上图发现：甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中。即甲的成绩波动幅度较大，而乙的成绩比较稳定，可见，他们的射击成绩是存在差异的问题2：上述问题中，甲、乙的平均数、中位数、众数相同，但二者的射击成绩存在差异，那么，如何度量这种差异呢？答：我们可以利用极差进行度量。根据上述数据计算得：甲的极差=10-4=6 乙的极差=9-5=4极差在一定程度上刻画了数据的离散程度。由极差发现甲的成绩波动范围比乙的大。但由于极差只使用了数据中最
3、大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。也就是说，极差度量出的差异误差较大问题3: 你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？答：我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度，引出本节学习内容2、探索新知思考1：如何定义“平均距离”？ 教师引导学生进行分析研究，得到如下定义1）方差、标准差的定义一组数据x1，x2，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为(xi)22， 标准差为2）总体方差、总体标准差的定义
4、如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，YN，总体平均数为，则称S2(Yi)2为总体方差，S为总体标准差如果总体的N个变量值中，不同的值共有k (kN) 个，记为Y1，Y2，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i1,2，k)，则总体方差为S2i(Yi)23）样本方差、样本标准差的定义如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，yn，样本平均数为，则称s2(yi)2为样本方差，s为样本标准差4）方差、标准差特征标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的但在解决实际问题中，一般多采用标准差【
5、例1】在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？解：把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为，根据方差的定义，总样本方差为 由，可得同理可得因此 由，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值
6、代入，可得总样本的方差为51.4862，据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862问题4：对于9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能根据下图计算出样本平均数和样本标准差吗？如上图所示，可以发现,这100个数据中大部分落在区间x-s, x+s=2.59,14.99内,在区间x-2s, x+2s=-3.61，21.19外的只有7个.也就是说，绝大部分数据落在x-2s，x+2s内【例2】某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：甲组60,90,85,75,65,70,80,90,95,80乙组85,95,75,70,85,80,85,65,9
7、0,85(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差(2)哪一组的成绩较稳定？解：(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为956035(分)平均数为甲(60908575657080909580)79(分)方差为s(6079)2(9079)2(8579)2(7579)2(6579)2(7079)2(8079)2(9079)2(9579)2(8079)2119标准差为s甲10.91(分)乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为956530(分)平均数为乙(85957570858085659085)81.5(分)方差为s(8581.5)2(9581.5)2(7581.5)2(7081.
8、5)2(8581.5)2(8081.5)2(8581.5)2(6581.5)2(9081.5)2(8581.5)275.25标准差为s乙8.67(分)(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定方法规律：在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定【例3】甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300
9、，又已知甲、乙两队的队员人数之比为14，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？解：由题意可知甲60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲乙70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙则甲、乙两队全部队员的平均体重为w甲甲w乙乙607068(kg)甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2w甲s(甲)2w乙s(乙)2200(6068)2300(7068)2296方法规律：分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为1，2，n，方差分别为s，s，s，相应的权重分别为w1，w2，wn，则这个样本的方差为s2is(i)2(为样本的平均数)四、课堂练习P213 练习 1、一组数据1，-1，0，-1，1
10、的方差和标准差分别是( D )A.0，0B.0.8，0.64C.1，1D.0.8，2、某学生一周每日睡眠时间分别是7，6，8，7，5，9，7（单位：小时），则该组数据的方差为( B )A.B.C.7 D.103、甲，乙两支球队在某场联赛中，甲队平均每场进球数为，全年比赛进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数为，全年比赛进球数的标准差为，下列说法中，正确的个数为( D )甲队的进球技术比乙队好 乙队发挥比甲队稳定乙队几乎每场都进球 甲队的表现时好时坏A.1B.2C.3D.44、甲、乙两位同学进行投篮比赛，每人玩5局每局在指定线外投篮，若第1次不进，则再投第2次，依此类推，但最多只能投6次.当投进时，该局结束，并记下投篮的次数；若第6次投不进，该局也结束，记为“”.在每局中，第1次投进得6分，第2次投进得5分，第3次投进得4分，第6次投进得1分，若第6次投不进，得0分.两人的投篮情况如下：第1局第2局第3局第4局第5局甲5次4次5次1次乙2次4次2次请判断哪位同学投篮的水平较高解：甲同学投篮的水平较高依题意，甲、乙两位同学的得分情况如下表：第1局第2局第3局第4局第5局甲20326乙05350通过计算，可得所以，故甲同学投篮的水平较高五、课堂小结1、方差、标准差的计算方法2、利用样本的方差、标准差对总体数据进行分析六、课后作业习题9.2 2、7七、课后反思
