1、6.4.3 正弦定理一、教学目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题3.通过对正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养二、教学重点 能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题教学难点 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明三、教学过程1、情境引入情景1：如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离测量者在B的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出两点间B，C的距离24 m，ACB=90，ABC=45，求A，B两点间的距离情景2：如图，设A，B两点
2、在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间的距离测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是24 m， B=45，C=60，根据这些数据能解决这个问题吗？问题1：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式，如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 2、探索新知探究1：直角三角形ABC中，角A，B，C所对的边长分别为用a， b，c表示，怎样用a， b，c表示角A，B，C的正弦？ 答： 追问1：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？ 分析1：在等边三角形ABC中，验证是否成立分析2：在钝角三角形ABC中，A=120，B =
3、C=30，验证是否成立猜想：对于任意的斜三角形，也存在以下边角数量关系：探究2：如何证明：在三角形中，角与所对的边满足关系 答：我们希望获得ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究在锐角三角形中即同理过C点做得所以在锐角三角形中在钝角三角形中设，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为，仿照上述方法，可得正弦定理（law of sines） 在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即 注意：（1）正弦定理里面包含了3个等式 ， （2）使用正弦定理解三角形的条件：已知两角及
4、任一边，求其他两边和一角已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）【例1】（开头情景2）如下图所示，在ABC中，BC=24，B=45，C=60，求AB解：依题意得A=180-45-60=75由正弦定理得 即 【例2】在中，已知解这个三角形解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得【例3】在中，已知，解这个三角形解：由正弦定理，得因为，所以于是 （1）当时， 此时 （2）当时， 此时方法规律：这一类型题目的解题步骤为用正弦定理求出另一边所对角的正弦值用三角形内角和定理求出第三个角根据正弦定理求出第三条边其中进行时要注意讨论该角是否可能有两个值四、课堂练习P48 练习1、在ABC中，已知B30，C105，b4，解三角形解因为B30，C105所以A180(BC)180(30105)45由正弦定理，得解得a4，c2()2、在ABC中，已知c，A45，a2，解三角形解，sin C0C180，C60或C120当C60时，B75，b1当C120时，B15，b1b1，B75，C60或b1，B15，C120五、课堂小结正弦定理： 应用:（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角 （2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）六、课后作业习题6.4 7七、课后反思
