1、第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率1010. .1 1 随机事件与概率随机事件与概率10.1.2 事件的关系与运算第十章 概率第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单，有的复杂。我们希望从简单事件的概率推算出复杂的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算。探究：探究：在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，我们可以在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，我们可以定义许多事件，例如定义许多事件，例如: :C Ci i=“=“点数为点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;i”,i=1,2,3,4,5,6
2、;D1 =“D1 =“点数不大于点数不大于3”, D2 =“3”, D2 =“点数大于点数大于3”3”E1 =“E1 =“点数为点数为1 1或或2”, E2 =“2”, E2 =“点数为点数为2 2或或3”3”F=“F=“点数为偶数点数为偶数”，G=“G=“点数为奇数点数为奇数”你还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用集合的形式你还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系与运算，你能发现这些表示这些事件，借助集合与集合的关系与运算，你能发现这些事件之间的联系吗？事件之间的联系吗？第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率我们把上述事件用集合的形
3、式写出来得到下列集合：C C1 1 =1 =1；C C2 2=2=2； C C3 3=3=3；C C4 4 =4 =4；C C5 5=5=5；C C6 6=6=6；D D1 1=1=1，2,32,3； D D2 2=4,5,6=4,5,6； E E1 1=1,2=1,2； E E2 2 =2,3; F=2,4,6; G=1,3,5; =2,3; F=2,4,6; G=1,3,5; C Ci i=“=“点数为点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;i”,i=1,2,3,4,5,6;D1 =“D1 =“点数不大于点数不大于3”, D2 =“3”, D2 =“点数大于点数大于3”3”E1 =“E1
4、=“点数为点数为1 1或或2”, E2 =“2”, E2 =“点数为点数为2 2或或3”3”F=“F=“点数为偶数点数为偶数”，G=“G=“点数为奇数点数为奇数”利用样本空间的子集表示事件，我们可以利用集合的知识研究随机事件第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率(1)(1)包含关系一般地，对于事件A A与事件B B，如果事件A A发生，则事件B B一定发生，这时称事件B B包含事件A A（或称事件A A包含于事件B B）, ,记作)BAAB（或观察事件：C1=1，G=1，3，5显然，如果事件C C1 1发生，那么事件G G一定会发生，事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是11 11，2
5、 2，33，即C1G这时我们说事件G G包含事件C C1 1第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即 BA且AB，则称事件A与事件B相等，记作A=B 。 A A（B B）第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率观察事件：3 , 2,2 , 1,3 , 2 , 1211EED可以发现，事件E E1 1和事件E E2 2至少有一个发生，相当于事件D D1 1发生，用集合表示就是： ，即 ，这时我们称事件D D1 1为事件E E1 1和事件E E2 2的并事件。 3 , 2 , 13 , 22 , 1121DEE(2)(2)并事件（和事件）
6、一般地，事件A A与事件B B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A A中，或者在事件B B中，我们称这个事件为事件A A和事件B B的并事件（或和事件），记作 。ABAB （）或或第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率观察事件： 3 , 2,2 , 1E2212EC，可以发现，事件E E1 1和事件E E2 2同时发生，相当于事件C C2 2发生，用集合表示就是： ，即 ，这时我们称事件C C2 2为事件E E1 1和事件E E2 2的交事件。 23 , 22 , 1221CEE(3)(3)交事件（积事件）交事件（积事件）一般地，事件A A与事件B B同时发生，这样的一个
7、事件中的样本点既在事件A A中，也在事件B B中，我们称这个事件为事件A A和事件B B的交事件（或积事件），记作 。ABAB （）或或第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 4,343CC观察事件：可以发现，事件C C3 3和事件C C4 4不可能同时发生，用集合表示就是： ，即 ，这时我们称事件C C3 3与事件C C4 4互斥。 4343CC(4)(4)互斥事件互斥事件一般地，如果事件一般地，如果事件A A与事件与事件B B不可能同时发生，也就是不可能同时发生，也就是 是一个不可能事件，即是一个不可能事件，即 ，则称事件，则称事件A A与事件与事件B B互斥（或互不相容）互斥（或互
8、不相容）。ABAB 第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率5 , 3 , 1642FG，观察事件：在任何一次试验中，事件F F与事件G G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一。用集合表示就是，即 ，且 ，即 。此时我们称事件F F与事件G G互为对立事件。 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 15 , 3 , 16 , 4 , 2GF 5 , 3 , 16 , 4 , 2GF一般地，如果事件一般地，如果事件A A与事件与事件B B在任何一次试验中有且仅在任何一次试验中有且仅有一个发生，即有一个发生，即 ，且，且 ，那么称，那么称事件事件A A与事件与事件B B互为对立互为对立
9、。BABA(5)(5)对立事件对立事件第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下事件的关系或运算事件的关系或运算含义含义符号表示符号表示包含包含A发生导致发生导致B发生发生AB并事件并事件(和事件和事件)A与与B至少一个发生至少一个发生AUB或或A+B交事件交事件(积事件积事件)A与与B同时发生同时发生AB或或AB互斥互斥(互不相容互不相容)A与与B不能同时发生不能同时发生AB=互为对立互为对立A与与B有且仅有一个发生有且仅有一个发生AB=,AUB=类似地类似地, ,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件我们可以定义多个事件的和事件以及
10、积事件. .例如例如, ,对于三个事件对于三个事件A,B,C,A,B,C,A AB BC(C(或或A+B+C)A+B+C)发生发生, ,当且仅当当且仅当A,B,CA,B,C中中至少一个发生至少一个发生, ,ABC(ABC(或或ABC)ABC)发生发生, ,当且仅当当且仅当A,B,CA,B,C同时发生同时发生, ,等等等等. .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率例例5 5 如图如图, ,由甲、乙两个元件组成一个并联电路由甲、乙两个元件组成一个并联电路, ,每个元件可能正每个元件可能正常或失效常或失效. .设事件设事件A=“A=“甲元件正常甲元件正常”,B=“,B=“乙元件正常乙元件正常
11、”. .(1)(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)(2)用集合的形式表示事件用集合的形式表示事件A,BA,B以及它们的对立事件；以及它们的对立事件；(3)(3)用集合的形式表示事件用集合的形式表示事件ABAB和事件和事件 , ,并说明它们的含并说明它们的含义及关系义及关系. .AB课堂典例课堂典例 第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率例6、一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件 R1=“第一次摸到红球”, R2=“第二次摸到红球”, R=“
12、两次都摸到红球”, G=“两次都摸到绿球”, M=“两个球颜色相同”, N=“两个球颜色不同”(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率练习:某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件(1)恰有一名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生
13、第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率1从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是斥而不对立的两个事件是()A“至少有一个黑球至少有一个黑球”与与“都是黑球都是黑球”B“至少有一个黑球至少有一个黑球”与与“至少有一个红至少有一个红球球”C“恰有一个黑球恰有一个黑球”与与“恰有两个黑球恰有两个黑球”D“至少有至少有一个黑球一个黑球”与与“都是红球都是红球”C CA A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B B中两个事中两个事件也可同时发生，故不互斥；件也可同时发生，故
14、不互斥；D D中两个事件是对立的，故选中两个事件是对立的，故选C.C.第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率2抛掷一枚骰子，抛掷一枚骰子，“向上的点数是向上的点数是1或或2”为事件为事件A，“向向上的点数是上的点数是2或或3”为事件为事件B，则，则()AABBABCAB表示向上的点数是表示向上的点数是1或或2或或3DAB表示向上的表示向上的点数是点数是1或或2或或3C C设设A A1,21,2，B B2,32,3，A AB B11，A AB B1,2,31,2,3，A AB B表示向上的点数为表示向上的点数为1 1或或2 2或或3.3.第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率3.从装
15、有从装有2个红球和个红球和2个白球个白球(球除颜色外其他均相同球除颜色外其他均相同)的口袋任取的口袋任取2个球，个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：(1)至少有至少有1个白球，都是白球；个白球，都是白球；(2)至少有至少有1个白球，至少有个白球，至少有1个红球；个红球；(3)至少有至少有1个白球，都是红球个白球，都是红球 解解 给两个红球编号为给两个红球编号为1,21,2，给两个白球编号为，给两个白球编号为3,43,4，从口袋中任取两个球，从口袋中任取两个球，用用( (x x，y y) )表示取出的两个球，则试验的样本空
16、间为表示取出的两个球，则试验的样本空间为(1,2)(1,2)，(1,3)(1,3)，(1,4)(1,4)，(2,3)(2,3)，(2,4)(2,4)，(3,4)(3,4)，设，设A A“至少有至少有1 1个白球个白球”，(1)(1)设设B B“都是白球都是白球”，B B(3,4)(3,4)，所以，所以B BA A. .即即A A和和B B不是互斥事件不是互斥事件(2)(2)设设C C“至少有一个红球至少有一个红球”，则，则C C(1,2)(1,2)，(1,3)(1,3)，(1,4)(1,4)，(2,3)(2,3)，(2,4)(2,4)，因为因为A AC C(1,3)(1,3)，(1,4)(1,
17、4)，(2,3)(2,3)，(2,4)(2,4)，所以，所以A A和和C C不互斥不互斥(3)(3)设设D D“都是红球都是红球”，则，则D D(1,2)(1,2)，因为，因为A AD D，A AD D ，所以，所以A A和和D D为对立事件为对立事件第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率4.在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A出现出现1点点，B出现出现3点或点或4点点，C出现的点数是奇数出现的点数是奇数，D出现的点数是偶数出现的点数是偶数(1)说明以上说明以上4个事件的关系；个事件的关系；(2)求求AB，AB，A
18、D，BD，BC. 解解 在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6 6种基本事件，记作种基本事件，记作A Ai i 出现的点数为出现的点数为i i(其中其中i i1,21,2，6)6)则则A AA A1 1，B BA A3 3A A4 4，C CA A1 1A A3 3A A5 5，D DA A2 2A A4 4A A6 6. .(1)(1)事件事件A A与事件与事件B B互斥，但不对立，事件互斥，但不对立，事件A A包含于事包含于事件件C C，事件，事件A A与与D D互斥，但不对立；事件互斥，但不对立；事件B B与与C C不是互斥事件，事件不是互斥事
19、件，事件B B与与D D也不是互也不是互斥事件；斥事件；事件事件C C与与D D是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件(2)(2)A AB B ， A AB BA A1 1A A3 3A A4 4 出现点数出现点数1,31,3或或44，A AD DA A1 1A A2 2A A4 4A A6 6 出现点数出现点数1,2,41,2,4或或66B BD DA A4 4 出现点数出现点数44B BC C A A1 1A A3 3A A4 4A A5 5 出现点数出现点数1,3,41,3,4或或55第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率事件的关系或运算事件的关系或运算含义含义符号表示符号表示包含包含A发生导致发生导致B发生发生AB并事件并事件(和事件和事件)A与与B至少一个发生至少一个发生AUB或或A+B交事件交事件(积事件积事件)A与与B同时发生同时发生AB或或AB互斥互斥(互不相容互不相容)A与与B不能同时发生不能同时发生AB=互为对立互为对立A与与B有且仅有一个发生有且仅有一个发生AB=,AUB=小结第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率作业：
