1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章 立体几何初步8 8. .6 6 空间直线、平面的空间直线、平面的垂直垂直8.6.2 直线与平面垂直（第1课时）第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那什么叫做直线与平面垂直呢？那怎样用数学语言那怎样用数学语言刻画刻画直线与平面垂直直线与平面垂直呢？呢？第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 如右图如右图, ,在阳光下观察直立
2、于地面的旗杆在阳光下观察直立于地面的旗杆ABAB及它在地面的及它在地面的影子影子BC. BC. 随着时间的变化随着时间的变化, ,影子影子BCBC的位置在不断地变化的位置在不断地变化，旗杆，旗杆所在直线所在直线ABAB与其影子与其影子BCBC所在直线是否保持垂直所在直线是否保持垂直? ?AAB BC CA A旗杆旗杆ABAB所在直线始终与所在直线始终与影子影子BCBC所在直线所在直线垂直垂直思考思考：对于地面上不过点：对于地面上不过点B B的任意一条的任意一条直线直线BCBC，旗杆，旗杆ABAB会与之垂直会与之垂直吗？吗？结论结论: :旗杆旗杆ABAB所在直线与地所在直线与地面上任意一条直线都
3、垂直面上任意一条直线都垂直. .第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步结论结论: :旗杆旗杆ABAB所在直线与地面上所在直线与地面上任意任意一条直线都垂直一条直线都垂直. .“任意任意”一词能修改为一词能修改为“无数无数”吗吗？不能不能第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 一般地,如果直线 l 与平面 a 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面互相垂直,记作 l, 直线 l 叫做平面的垂线，平面叫做直线 l 的垂面. 直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做垂足.垂线垂面垂足第八章第八章 立体几何初步立体几何
4、初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 . 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么?结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.例如：例如：第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 (2)(2)如如何翻折才能使折痕何翻折才能使折痕ADAD与桌面垂直与桌面垂直? ?如图如图, ,一块三角形纸
5、片一块三角形纸片ABC,ABC,过过ABCABC的顶点的顶点A A翻折纸片翻折纸片. .得到折痕得到折痕ADAD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD(BD、DCDC与桌面接触与桌面接触).).(1)(1)折痕折痕ADAD与桌面垂直吗与桌面垂直吗? ? 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 (2)(2)如如何翻折才能使折痕何翻折才能使折痕ADAD与桌面垂直与桌面垂直? ? 容易发现，容易发现，ADAD所在直线与桌面所在平面所在直线与桌面所在平面垂直垂直( (如下图如下图) )的充的充要条件是折痕要条件是折痕ADAD是是BCB
6、C边上的高边上的高. .这时，由于翻折之后垂直关系不这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线变，所以直线ADAD与平面与平面内的两条相交直线内的两条相交直线BDBD、DCDC都垂直都垂直. .如图如图, ,一块三角形纸片一块三角形纸片ABC,ABC,过过ABCABC的顶点的顶点A A翻折纸片翻折纸片. .得到折痕得到折痕ADAD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD(BD、DCDC与桌面接触与桌面接触).).(1)(1)折痕折痕ADAD与桌面垂直吗与桌面垂直吗? ? 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 事实上，由基本事实的
7、推论事实上，由基本事实的推论2,2,平面平面可以看成是由两条相可以看成是由两条相交直线交直线BDBD、DCDC所唯一确定的，所以当所唯一确定的，所以当直线直线ADAD垂直于这垂直于这两条相交两条相交直线直线时，就能时，就能保证直线保证直线ADAD与与内所有直线都垂直内所有直线都垂直. .直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 两条相交直线可以确定一个平面两条相交直线可以确定一个平面, ,两条平行直线也可以确定一两条平行直线也可以确定一个平面个平面, ,那么定理中的那么定理中的“两条相交直线两条相交直线”可以改为可以改为“两条平行直线两条
8、平行直线”或或是是“无数条直线无数条直线”呢呢? ?第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步线线垂直线面垂直lmm，lnn，mnmnP P，m m，n n l . .定理体现了定理体现了“直线与平面垂直直线与平面垂直”和和“直线与直线垂直直线与直线垂直”的互相转化的互相转化. .第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步例例1 1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面, ,那么另一条直线也垂直于这个平面那么另一条直线也垂直于这个平面. .,/ baba求证：求证：已
9、知：如图，已知：如图，.,.,/,., bnmnmnbmbabnamaanm是是两两条条相相交交直直线线又又直直线线内内取取两两条条相相交交直直线线证证明明：如如图图，在在平平面面第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 显然，直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况显然，直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况. .l 为为斜线斜线l 与与 的交点的交点A A为为斜足斜足直线直线OA A为在平面为在平面 上的上的射影射影直线直线l 与与射影射影OA A所成角所成角PAO(PAO(角角) )为为直线直线l 与平面与平面 上所成角上所成角直线与平面所成
10、角直线与平面所成角取值范围是取值范围是0 0 9090 . .如图，一条直线如图，一条直线l与一个平面与一个平面 相交相交, ,但不与这个平面垂直但不与这个平面垂直, ,这条直线这条直线叫做这个平面的叫做这个平面的斜线斜线，斜线和平面的交点，斜线和平面的交点A A叫做叫做斜足斜足. .第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步例例2 2 如如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步练习练习1：如图，如图，ABC是直角三角形，是直角三角形，AC
11、B90，PA平面平面ABC，此图形中有，此图形中有 个直角三角形个直角三角形4PA平面ABC，PAAC，PAAB，PABC，ACBC，且PAACA，BC平面PAC，BCPC. 综上知： ABC，PAC，PAB，PBC都是直角三角形，共有4个第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步练习练习2：如图，在三棱锥如图，在三棱锥SABC中，中，ABC90，D是是AC的中点，的中点，且且SASBSC.(1)求证：求证：SD平面平面ABC；(2)若若ABBC，求证：，求证：BD平面平面SAC.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步练习
12、练习3：如图，如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，PA垂直于圆垂直于圆O所在的平面，所在的平面，M是圆周上任意一点，是圆周上任意一点，ANPM，垂足为，垂足为N.求证：求证：AN平面平面PBM.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步2、怎样画出直线与平面所成角？1、怎样判断一条直线与一个平面垂直？ 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.直线与直线在平面射影所成角直线与直线在平面射影所成角. .直线与平面所成角直线与平面所成角取值范围是取值范围是0 09090. .第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步作业：
