1、2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市高一（下）期末数学试卷一.单选题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1复数z满足z（1i）2（i是虚数单位），则z（）A1+iB1+iC1iD1i2若向量，且，则实数m（）A1B1C2或1D1或23抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai“向上的点数为i”，其中i1，2，3，4，5，6，B“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（）ABA2+BCA3与B互斥DA4与对立4中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cun）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥已知此正四棱锥
2、的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30，若取30，则下列结论正确的是（）A正四棱锥的底面边长为48mB正四棱锥的高为4mC正四棱锥的体积为D正四棱锥的侧面积为5若a0.30.2，bln3，clog27，则a，b，c的大小关系为（）AacbBabcCbacDbca6图1和图2中所有的三角形都是全等的等边三角形现将图1和图2组合（如图3，即：把图1的等边三角形放在图3中的、的某一位置），那么，能围成正四面体的概率是（）ABC D17函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图像如图所示，将f（x）的图像上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图像沿x轴向左
3、平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则函数g（x）的一个单调递增区间为（）ABCD8设P是ABC内部一点，且，ACB30，定义f（P）（m，n，k）（其中m、n、k分别是PAB、PAC、PBC的面积），现已知，则的最小值是（）AB9CD12二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.9设a，b，l为不同的直线，为不同的平面，下列四个命题中错误的是（）A若a，ab，则bB若，l，则lC若a，a，b，b，则D若，l，A，ABl，则AB10根据环境空气质量标准（GB30952012）和各项污染物的生
4、态环境效应及其对人体健康的影响，空气质量指数（AQI）的数值被划分为六档（见表1）某市2021年6月1日到6月14日AQI的折线图如图2所示，夏彤同学随机选择6月1日到6月12日中的某一天到达该市，并停留3天，则下列说法正确的是（）AQIAQI5050AQI100100AQI150150AQI200200AQI300AQI300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染A该市14天的空气质量指数的极差为170B夏彤同学到达当日空气质量良的概率为C夏彤同学在该市停留期间只有一天空气质量重度污染的概率为D每连续三天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大11如图所示，在棱长为2的
5、正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（）A直线AM与BN是平行直线B直线MN与AC所成的角为60C直线MN与平面ABCD所成的角为45D平面BMN截正方体所得的截面面积为12G是ABC的重心，AB2，AC4，CAB120，P是ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）AB在方向上的投影向量等于CD的最小值为1三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.13已知复数（x0，i为虚数单位），在复平面内复数z对应的向量的模为2，则x 14如图所示，RtABC为水平放置的ABC的直观图，其中ACBC，B
6、O3，OC4，则ABC的面积是 15一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，3，x，7，8，10，11，其中x7，已知该组数据的中位数为众数的2倍，则：（1）该组数据的上四分位数是 ；（2）该组数据的方差为 16如图1所示的几何模型是由一个半圆和矩形组成的平面图形，将半圆沿直径AB折成直二面角（如图2）后发现，E在半圆弧（不含A、B点）上运动时，三棱锥EABD的外接球始终保持不变，若AB3，AD4，则该三棱锥外接球的表面积为 四.解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.17从以下给出的、两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答2bsinAatanB，（ac）sinA+
7、csinCbsinB已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若_（1）求角B的值；（2）求ABC的面积取得最大值时，边b的长18甲、乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为P在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响若“星队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为（1）求P的值；（2）求“星队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率19如图，在四棱锥PABCD中，平面PBC平面ABCD，PBC90，ADBC，ABC90，E为PC的中点（1）证明：DE平面APB；（2）若BP2，求三棱锥EDBP的体积20依据齐齐哈尔
8、市城市总体规划（20112020），拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城计划将图中四边形区域CDEF建成生态园林城，CD，DE，EF，FC为主要道路（不考虑宽度）已知FCD90，CDE120，FE3ED3CD3km（1）求道路CF的长度；（2）如图所示，要建立一个观测站A，并使得FAC60，ABDC，求AB两地的最大距离212021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分现随
9、机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：72，76），76，80），80，84），84，88），88，92），92，96），96，100，并绘制成如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率22如图1，已知三棱锥PABC，图2是其平面展开图，四边形ABCD为正方形，ABE和BCF均为正三角形，（1）求二面角CPAB的余弦值；（2）若点M在棱PC上，满足，点N在棱BP上，且BMAN，求的取值范围参考答案一.
10、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1复数z满足z（1i）2（i是虚数单位），则z（）A1+iB1+iC1iD1i解：z（1i）2，z（1i）（1+i）2（1+i），z1+i故选：A2若向量，且，则实数m（）A1B1C2或1D1或2解：，解得m1或2故选：D3抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai“向上的点数为i”，其中i1，2，3，4，5，6，B“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（）ABA2+BCA3与B互斥DA4与对立解：对于A，2，3，4，5，6，B2，4，6，B，故A错误；对于B，A2+B2+2，4，62，4，6，故B错误；对于C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，
11、故C正确；对于D，A44，1，3，5，A4与是互斥但不对立事件，故D错误；故选：C4中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cun）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30，若取30，则下列结论正确的是（）A正四棱锥的底面边长为48mB正四棱锥的高为4mC正四棱锥的体积为D正四棱锥的侧面积为解：如图，在正四棱锥SABCD中，O为正方形ABCD的中心，SHAB，设底面边长为2a正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30，取30，SHO30，则
12、OHa，OS，SH在RtSAH中，解得a12，底面边长为24m，高为m，侧面积为Sm2，体积Vm3故选：C5若a0.30.2，bln3，clog27，则a，b，c的大小关系为（）AacbBabcCbacDbca解：因为y0.3x在R上单调递减，且0.20，所以0a0.30.20.301，即0a1；因为ylnx在（0，+）上单调递增，且e23e，所以lnebln3lne2，即1b2；因为ylog2x在（0，+）上单调递增，且478，所以log24clog27log28，即2c3故abc故选：B6图1和图2中所有的三角形都是全等的等边三角形现将图1和图2组合（如图3，即：把图1的等边三角形放在图3
13、中的、的某一位置），那么，能围成正四面体的概率是（）ABC D1解：当图1的三角形放在图3的位置时，能围成正四面体，所以概率为故选：C7函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图像如图所示，将f（x）的图像上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则函数g（x）的一个单调递增区间为（）ABCD解：根据函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图像，可得A1，2结合五点法作图可得2+，f（x）sin（2x+）将f（x）的图像上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得ysin（x+）的图像再把所得的图
14、像沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g（x）sin（x+）sin（x+）的图象令2kx+2k+，求得4kx4k+，可得函数g（x）的单调递增区间为4k，4k+，kZ，令k0，可得一个增区间为，故选：A8设P是ABC内部一点，且，ACB30，定义f（P）（m，n，k）（其中m、n、k分别是PAB、PAC、PBC的面积），现已知，则的最小值是（）AB9CD12解：，ACB30，abcos（ACB）2，ab4，SABCabsinACB41，x+y+1，x+y，+（+）（x+y）（+5）（2+5）12，当且仅当时取等号，的最小值是12故选：D二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给
15、出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.9设a，b，l为不同的直线，为不同的平面，下列四个命题中错误的是（）A若a，ab，则bB若，l，则lC若a，a，b，b，则D若，l，A，ABl，则AB解：A选项：取A1C1平面ABCD，A1C1B1D1，但是B1D1不平行于平面ABCD，命题A错误B选项：设a，b，在平面分别取直线m满足ma，直线n满足nb因为，所以m，n，又l，l，所以lm，ln，所以l命题B正确C选项：A1B1平面ABCD，CD平面ABB1A1，但平面ABCD与平面ABB1A1不平行，命题C错误D选项：平面ABCD平面ABB1A1，交线为AB
16、，B1平面ABB1A1，B1CAB，但B1C与平面ABCD不垂直，命题D错误故选：ACD10根据环境空气质量标准（GB30952012）和各项污染物的生态环境效应及其对人体健康的影响，空气质量指数（AQI）的数值被划分为六档（见表1）某市2021年6月1日到6月14日AQI的折线图如图2所示，夏彤同学随机选择6月1日到6月12日中的某一天到达该市，并停留3天，则下列说法正确的是（）AQIAQI5050AQI100100AQI150150AQI200200AQI300AQI300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染A该市14天的空气质量指数的极差为170B夏彤同学到达当日空气质量良的概率
17、为C夏彤同学在该市停留期间只有一天空气质量重度污染的概率为D每连续三天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大解：A选项，空气质量指数的最大值为218，最小值为34，所以极差为21834184，说法错误B选项，1日至12日中，空气质量为良的日期为1日，3日，12日，故概率为，说法错误C选项，停留期间空气质量指数分别为：（79，34，59），（34，59，142），（59，142，218），（142，218，149），（218，149，38），（149，38，215），（38，215，150），（215，150，123），（150，123，159），（123，159，84），（1
18、23，159，84），（159，84，77），（84，77，42）共12种，其中只有一天空气质量重度污染为：（59，142，218），（142，218，149），（218，149，38），（149，38，215），（38，215，150），（215，150，123）共6种，概率为，说法正确D选项，方差反映数据的波动情况，5日7日波动最大，故方差最大，说法正确故选：CD11如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（）A直线AM与BN是平行直线B直线MN与AC所成的角为60C直线MN与平面ABCD所成的角为45D平面BMN截正
19、方体所得的截面面积为解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0 ），D（0，0，0），D1（0，0，2），C1（0，2，2）M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，M（0，1，2）、N（0，2，1），则（2，1，2），（2，0，1）， 和不共线，故A错误；（0，1，1），（2，2，0），cos，直线MN与AC所成的角为，故B正确由于平面ABCD的一个法向量为（0，0，1），cos，直线MN与平面ABCD所成的角为，故C正确；连接A1B，易知A1BMN，则平面BMN截正方体所得的截面为等腰梯形A1BMN，棱长为2A
20、1B2，MN，BN，等腰梯形的高为，S梯形（A1B+MN）（2+），故D错误，故选：BC12G是ABC的重心，AB2，AC4，CAB120，P是ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）AB在方向上的投影向量等于CD的最小值为1解：A：当点G为ABC的重心时，如图所示：四边形BDCG为平行四边形，则+，A正确，B：在方向上的投影为|cos1204（）2，在方向上的投影向量为，B错误，C：G是ABC的重心，（+）（+）（2），（+），（2）（+）（2+）8+24（）16，C正确，D：当P与G重合时，（+）（+）（+2），D错误，故选：AC三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正
21、确答案写在答题卡相应题的横线上.13已知复数（x0，i为虚数单位），在复平面内复数z对应的向量的模为2，则x1解：复数（x0，i为虚数单位），且复平面内复数z对应的向量的模为2，|z|，解得x1，x1（舍去），故x1故答案为：114如图所示，RtABC为水平放置的ABC的直观图，其中ACBC，BO3，OC4，则ABC的面积是 28解：RtABC中，ACBC，BO3，OC4，所以BC7，AC4，所以ABC的面积为S7414，所以ABC的面积是S21428故答案为：2815一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，3，x，7，8，10，11，其中x7，已知该组数据的中位数为众数的2倍，则：（1）该组数
22、据的上四分位数是 6；（2）该组数据的方差为 11.25解：（1）一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，3，x，7，8，10，11，其中x7，该组数据的中位数为众数的2倍，23，解得x580.756，该组数据的上四分位数是8（2）该组数据的平均数为：（1+3+3+5+7+8+10+11）6，该组数据的方差为：（16）2+（36）2+（36）2+（56）2+（76）2+（86）2+（106）2+（116）211.25故答案为：（1）6；（2）11.2516如图1所示的几何模型是由一个半圆和矩形组成的平面图形，将半圆沿直径AB折成直二面角（如图2）后发现，E在半圆弧（不含A、B点）上运动时，三棱锥
23、EABD的外接球始终保持不变，若AB3，AD4，则该三棱锥外接球的表面积为 25解：由题意，将半圆沿直径AB折成直二面角，可得AD半圆，AEB是直角三角形，半径r，三棱锥EABD的高hAD4不变，三棱锥外接球的半径R，解得R，从而可得该三棱锥外接球的表面积S4R225故答案为：25四.解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.17从以下给出的、两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答2bsinAatanB，（ac）sinA+csinCbsinB已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若_（1）求角B的值；（2）求ABC的面积取得最大值时，边b的长解：（1）
24、若选：由正弦定理2bsinAatanB可化为2sinBsinAsinAtanB，则cosB，因为B（0，），所以B；若选：由正弦定理（ac）sinA+csinCbsinB可化为（ac）a+cb，即a+cbac，由余弦定理可得cosB，因为B（0，），所以B；（2）因为cosB，即ba+cac2acacac，所以SacsinBacacb，当且仅当ac时，S取最大值为b，即有b，解得b218甲、乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为P在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响若“星队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率
25、为（1）求P的值；（2）求“星队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率解：（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为，解得p（2）设事件A“甲第一轮猜对”，事件B“乙第一轮猜对”，事件C“甲第一轮猜对”，事件D“乙第一轮猜对”，“星队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率为：P（）P（）P（B）P（C）P（D）+P（A）P（）P（C）P（D）+P（A）P（B）P（）P（D）+P（A）P（B）P（C）P（）2（+）19如图，在四棱锥PABCD中，平面PBC平面ABCD，PBC90，ADBC，ABC90，E为PC的中点（1）证明：DE平面APB；（2）若BP2，求三棱锥EDBP的体积【解答】（1）证明：
26、取PB中点F，连接FE，FA，E是CP的中点，EFCB，EFCB，ADBC，ABC90，DAB90，ADAB1，BD，ADB45，则DBC45，又CD，CDB90，可得CB，ADCB，ADCB，EFAD，EFAD，得四边形ADEF为平行四边形，DEAF，又DE平面ABP，AF平面ABP，DE平面APB；（2）解：取BC中点O，连接DO，DOCB，平面平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCDCB，DO平面PBC，则DO为三棱锥DEBP的高，又BCBP2，BECP，得BECP，VEDBPVDEBPDO（BEEP）故三棱锥EDBP的体积为20依据齐齐哈尔市城市总体规划（20112020），拟将
27、我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城计划将图中四边形区域CDEF建成生态园林城，CD，DE，EF，FC为主要道路（不考虑宽度）已知FCD90，CDE120，FE3ED3CD3km（1）求道路CF的长度；（2）如图所示，要建立一个观测站A，并使得FAC60，ABDC，求AB两地的最大距离解：（1）连接EC，由余弦定理可得ECED+DC2EDDCcos1203，所以EC，由DCED，CDE120，所以ECD30，因为DCF90，所以ECF60，在ECF中，cosECF，所以CFCF60，解得CF2，即道路CF的长度为2km；（2）设FCA，在CFA中，由正弦定理可得4，所
28、以AC4sin（60+），因为ABDC，所以ABC90，所以ABCF，CAB，则ABACcos4sin（60+）cos，所以AB2cos+2sincoscos2+sin2+2sin（2+60）+，因为090，所以602+60240，所以当2+6090，即15，AB取最大值为2+，故AB两地的最大距离为（2+）km212021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并
29、将成绩分成以下七组：72，76），76，80），80，84），84，88），88，92），92，96），96，100，并绘制成如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率解：（1）由频率分布直方图可得，1000名党员成绩的众数为，成绩在72，84）的频率为（0.02+0.03+0.0375）40.35，成绩在72，88）的频率为（0.02+0.03+0.0375+0.075）40.65，故中位数位于84，88）之间，中位数
30、是 （分）（2）72，76）与76，80）的党员人数的比值为2：3，采用分层随机抽样方法抽取5人，则在72，76）中抽取2人，76，80）中抽3人，设72，76）抽取人的编号为A1，A2，76，80）抽取人的编号为B1，B2，B3，则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10个样本点，这2人中至少有1人成绩低于76分的有：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A
31、2），共7个样本点，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率P22如图1，已知三棱锥PABC，图2是其平面展开图，四边形ABCD为正方形，ABE和BCF均为正三角形，（1）求二面角CPAB的余弦值；（2）若点M在棱PC上，满足，点N在棱BP上，且BMAN，求的取值范围解：（1）取AP的中点G，AC的中点O，连接GO，GB，OB，在RtPAC中，CPAP，OGCP，则OGAP，在等边PAB中，BGAP，故OGB为二面角CPAB的平面角，因为，所以，则OG2+OB2GB2，所以GOB90，则，故二面角CPAB的余弦值为；（2）过点N作NQBM交CP于点Q，因为ANBM，则ANNQ，又，所以CM，在MCB中，BM2BC2+MC22BCMCcos603+323，所以，设，则，所以BN，QN，在NBA中，AN2AB2+BN22ABBNcos603+3y23y，所以，因为，则，在RtPAQ中，AQ2AP2+PQ23+3（1y）2（1）2，在RtANQ中，AQ2AN2+NQ23（y2y+1）+3（1y）2（2+1），由，可得，因为，所以，故的取值范围为
