1、2020-2021学年重庆市康德卷高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知向量（2，1），（4，m），则实数m（）A4B2C2D42已知复数z满足2z+iz10，则z（）A2+iB2iC4+2iD42i3正方体ABCDA1B1C1D1的六个面的对角线中与直线AC1垂直的有（）A0条B3条C6条D12条4甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（）ABCD5为迎接北京2022年冬奥会，推广冰上运动，某班体育老师调查了全班同学对冰上运动项目的了解程度，调查结果分为
2、三个等级：“不了解”“基本了解”和“非常了解”，其中等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人接下来，该体育老师采用分层抽样的方法从全班同学中抽取部分同学参加冰壶运动的体验活动，参加体验活动的同学中对冰上运动项目“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，“非常了解”的有6人，那么该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为（）A10人B12人C18人D24人6已知运动员甲每次射击中目标的概率为，运动员乙每次射击中目标的概率为，若两人各射击一次，且两人是否击中目标相互独立，则恰有一人击中目标的概率是（）ABCD7已知四面体PABC中，PA平面ABC，PAAB2，BC，且tanAB
3、C，则四面体PABC的外接球的表面积为（）A15B17C18D208在四边形ABCD中，ABCD，BAD120，AB4，AD2，CD3，E，F分别为BC，CD的中点，则（）AB3CD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9下列说法正确的是（）A有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B棱锥的侧面一定都是三角形C棱台各侧棱所在直线必交于一点D有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台10关于平面非零向量，下列说法错误的是（）A若0，则与的夹角为锐角B
4、若（）（），则C若|，则|D若+2+3，则（）（）11已知非零复数z1，z2满足z1z2R，则（）Az1BRCRDz1+z2R12在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，ADAA11，E为棱AB上的动点（不包含端点），则（）A四面体EDCD1的体积恒为B直线D1E与平面BCC1B1所成角一定小于C存在点E使得D1E平面A1BC1D存在点E使得D1EDB1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某工厂对一批产品的净重（单位：克）进行抽样调查得到样本数据：230，235，237，238，238，239，240，242，244，246，据此估计这批产品的第80百分位数为 14已知AB
5、C的面积为3，且6，则B 15如图，OAB是OAB在斜二测画法下的直观图，其中OAOB2，且OAOB，则OAB的面积为 16在等边三角形ABC中，2，2，P为线段AE上一点，且，则实数的值为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知，（1）求向量与的夹角；（2）求18某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，（1）求组员甲至少分配到一项任务的概率；（2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为x项和y项，求P（xy）19在
6、ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB（1）求A；（2）若a，且_，求ABC的周长在ABC的面积为3，cosB这两个条件中任选一个，补充在上面空白处，并完成解答20在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为A1D1，DC，CC1的中点（1）求证：AC1平面DPB；（2）求证：MN平面DPB21如图，正四棱锥PABCD中，ABPA2，E是棱AP上靠近点P的三等分点，F是棱PC的中点（1）求异面直线BF与PD所成角的余弦值；（2）求四面体PEBF的体积22自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到
7、复苏在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下 组别分组频数频率第1组20，30）40.08第2组30，40）a第3组40，50）20b第4组50，60）0.32第5组60，70）40.08合计501.00（1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
8、1已知向量（2，1），（4，m），则实数m（）A4B2C2D4【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于m的方程，解可得m的值，即可得答案解：根据题意，向量（2，1），（4，m），若，则有2m（1）（4）4，解可得m2；故选：C2已知复数z满足2z+iz10，则z（）A2+iB2iC4+2iD42i【分析】利用复数的除法运算求解即可解：因为2z+iz10，则故选：D3正方体ABCDA1B1C1D1的六个面的对角线中与直线AC1垂直的有（）A0条B3条C6条D12条【分析】连接AC，能推导出BD、A1B，A1D，B1D1，B1D，C1D都与AC1垂直正方体ABCDA1B1C1D1的棱中没
9、有与AC1垂直的棱，由此能求出结果解：如图，连接AC，则BDAC，在正方体ABCDAA1B1C1D1中，C1C平面BCD，BD平面BCD，C1CBD，又ACCC1C，BD平面ACC1，AC1平面ACC1，AC1BD同样A1B，A1D，B1D1，CD1，B1C都与AC1垂直正方体ABCDA1B1C1D1的棱中没有与AC1垂直的棱，故正方体ABCDA1B1C1D1的棱和六个面的对角线共24条，其中与体对角线AC1垂直的有6条故选：C4甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（）ABCD【分析】利用
10、捆绑法求出甲乙两人恰好相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算概率解：甲、乙、丙三位同学随机站成一排，共有种排法，其中甲乙两人恰好相邻共有种排法所以甲乙两人恰好相邻的概率为故选：D5为迎接北京2022年冬奥会，推广冰上运动，某班体育老师调查了全班同学对冰上运动项目的了解程度，调查结果分为三个等级：“不了解”“基本了解”和“非常了解”，其中等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人接下来，该体育老师采用分层抽样的方法从全班同学中抽取部分同学参加冰壶运动的体验活动，参加体验活动的同学中对冰上运动项目“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，“非常了解”的有6人，那么该班全体同学中对冰上
11、运动项目“非常了解”的人数为（）A10人B12人C18人D24人【分析】根据题意求出抽样比例为1：4，再求出“非常了解”的人数解：等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人，采用分层抽样法抽取“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，所以“基本了解”的人数比“不了解”的人数多抽取了2人，抽样比例为1：4；因为样本中“非常了解”的有6人，所以该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为6424（人）故选：D6已知运动员甲每次射击中目标的概率为，运动员乙每次射击中目标的概率为，若两人各射击一次，且两人是否击中目标相互独立，则恰有一人击中目标的概率是（）ABCD【分析】根据题意，甲乙
12、恰有一人击中目标，即甲击中而乙没有击中或甲没有击中而乙击中，由此计算可得答案解：根据题意，甲每次射击中目标的概率为，则甲没有击中的概率为1，运动员乙每次射击中目标的概率为，则乙没有击中的概率为1，甲乙恰有一人击中目标，即甲击中而乙没有击中或甲没有击中而乙击中，则其概率P+；故选：C7已知四面体PABC中，PA平面ABC，PAAB2，BC，且tanABC，则四面体PABC的外接球的表面积为（）A15B17C18D20【分析】由已知求解三角形可得ABC外接圆的半径，再由勾股定理求四面体PABC的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案解：如图，在ABC中，由tanABC，求得cosABC，sinAB
13、C，AC2AB2+BC22ABBCcosABC，得AC3，设ABC外接圆的半径为r，则r，设ABC的外心为O1，四面体PABC的外接球的球心为O，连接OO1，OA，则OA为四面体PABC的外接球的半径，满足，四面体PABC的外接球的表面积为4故选：B8在四边形ABCD中，ABCD，BAD120，AB4，AD2，CD3，E，F分别为BC，CD的中点，则（）AB3CD【分析】（）（+），再进行运算即可解：如图所示：E，F分别为BC，CD的中点，ABCD，BAD120，ADC60，又AB4，AD2，CD3，（）（+）（+）42（）+43423（）故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分
14、。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9下列说法正确的是（）A有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B棱锥的侧面一定都是三角形C棱台各侧棱所在直线必交于一点D有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台【分析】直接利用棱柱和棱台的定义判断A、B、C、D的结论解：对于A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱，像两个倒扣的棱柱符合这种情况，但是不叫棱柱，故A错误；对于B：棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；对于C：棱台是由棱锥截成的，故各个侧棱一定相交于一点，故C正确；对于D
15、：有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台，与棱台的定义不符，故D错误；故选：BC10关于平面非零向量，下列说法错误的是（）A若0，则与的夹角为锐角B若（）（），则C若|，则|D若+2+3，则（）（）【分析】直接利用平面向量的数量积，向量的共线，向量的线性运算的应用，向量的模的应用判断A、B、C、D的结论解：对于A：若0，则与的夹角为锐角或向量的方向相同，故A错误；对于B：当时，故，故，当，时，故B正确；对于C：|，不能判定|，故C错误；对于D：若+2+3，则，故（）（），故D正确；故选：AC11已知非零复数z1，z2满足z1z2R，则（）Az1BRCRDz1+z2
16、R【分析】设z1a+bi，z2c+di（a，b，c，dR），利用复数相等、共轭复数的定义、复数的乘法和除法运算依次判断四个选项即可解：设z1a+bi，z2c+di（a，b，c，dR），则z1z2（a+bi）（c+di）（acbd）+（ad+bc）iR，所以ad+bc0，对于A，z1，则a+bicdi，所以ac，bd，因为ad+bc0不能确定ac，bd，故选项A错误；对于B，R，故选项B正确；对于C，故选项C正确；对于D，z1+z2（a+bi）+（c+di）（a+c）+（b+d）i不一定是实数，故选项D错误故选：BC12在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，ADAA11，E为棱AB上的动点
17、（不包含端点），则（）A四面体EDCD1的体积恒为B直线D1E与平面BCC1B1所成角一定小于C存在点E使得D1E平面A1BC1D存在点E使得D1EDB1【分析】利用线面平行可得，点E到平面DD1C的距离即为直线AB到平面DD1C的距离AD，由锥体的体积公式即可判断选项A，由面面平行可得，D1E与平面BCC1B1所成的角即为D1E与平面ADD1A1所成的角ED1A，利用正切函数的单调性即可判断选项B，若D1E平面A1BC1，则推导出AB平面A1BC1，产生矛盾，即可判断选项C，若D1EDB1，则DB1平面D1AE，可推导出DB1DC，产生矛盾，即可判断选项D解：对于A，因为AB/CD，AB平面
18、DCD1，CD平面DCD1，则AB平面DCD1，故点E到平面DD1C的距离即为直线AB到平面DD1C的距离AD，则，故选项A正确；对于B，因为平面BCC1B1平面ADD1A1，所以D1E与平面BCC1B1所成的角即为D1E与平面ADD1A1所成的角ED1A，故tanED1A，所以ED1A，故选项B正确；对于C，因为D1ABC1，且D1A平面A1BC1，BC1平面A1BC1，若D1E平面A1BC1，则平面D1AE平面A1BC1，所以AB平面A1BC1，故产生矛盾，故选项C错误；因为D1AA1D，D1AA1B1，且A1DA1B1A1，所以D1A平面A1B1D，又DB1平面A1B1D，所以D1ADB
19、1，若D1EDB1，则DB1平面D1AE，又AB平面D1AE，故DB1AB，即DB1DC，产生矛盾，故选项D错误故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某工厂对一批产品的净重（单位：克）进行抽样调查得到样本数据：230，235，237，238，238，239，240，242，244，246，据此估计这批产品的第80百分位数为 243【分析】把数据从小到大排序，找到第8个、第9个数据，计算平均数解：共10个数，所以第80百分位数为第8个、第9个数据的平均数即242，244的平均数，计算得243故答案为：24314已知ABC的面积为3，且6，则B【分析】设|c，|a，根据题意
20、列方程组，可解决此题解：设|c，|a，根据题意列方程组，两式相除得tanB，tanB1，B故答案为：15如图，OAB是OAB在斜二测画法下的直观图，其中OAOB2，且OAOB，则OAB的面积为 【分析】过B分别作y，x轴的平行线，且交x，y轴于点M，N，求出ON，OM的长度，从而得到原坐标系中点A，B的坐标，再求出三角形的面积解：过B分别作y，x轴的平行线，且交x，y轴于点M，N，OM2，在原坐标系xOy中，点，点A（2，0），故答案为：16在等边三角形ABC中，2，2，P为线段AE上一点，且，则实数的值为 【分析】因为P点在AE上，所以可设k，再利用题目中已知条件，构造出k和的关系式子，由平
21、面向量的基本定理可知系数唯一，解关于k和的二元一次方程组解：由题222，2，又+（+），代入，+（+），P点在AE上，可设k，kkk，则有，故填四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知，（1）求向量与的夹角；（2）求【分析】（1）由，解得，即可得出答案（2）先计算|+2|2（+2）2，再开方即可得出答案解：（1）由题知，即818cos1819，所以，又因为0，180），所以（2），所以18某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员
22、甲的概率分别为，（1）求组员甲至少分配到一项任务的概率；（2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为x项和y项，求P（xy）【分析】（1）由独立事件概率公式，先求出甲一项任务都没有被分配的概率，再由对立事件公式求甲至少分配到一项任务的概率；（2）分别列出符合条件的情况，再利用独立事件概率公式求解即可解：（1）记事件A为甲一项任务都没有被分配，组员甲至少分配到一项任务的概率为；（2）满足xy即x3，y0或x2，y1，三项任务的具体分配对象依次为：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，故所求概19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB（1）求A；（2）若a，且_，求ABC的周长在ABC的面积
23、为3，cosB这两个条件中任选一个，补充在上面空白处，并完成解答【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理和正弦定理，即可求解（2）选，由ABC的面积为3，可得bc，再结合余弦定理，可得b+c2+，即可求解选，根据已知条件，结合三角函数的同角公式，可得sinB的值，运用正弦定理，即可求b2，再结合余弦定理，即可求解解：（1）tanB，又由余弦定理，可得b2+c2a22bccosA，a2+c2b22accosB，由正弦定理，可得，tanB，B（0，），A（0，），tanB0，tanA1，即A（2）a，A，由余弦定理，可得b2+c2+a234，选ABC的面积为3，ABC的面积为3，S，即bc，联立，
24、可得b2+c222，b+c，周长为选cosB，cosB，B（0，），由正弦定理，即b，将b2代入b2+c2+a234，解得c，周长为20在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为A1D1，DC，CC1的中点（1）求证：AC1平面DPB；（2）求证：MN平面DPB【分析】（1）设ACBDO，可得OP/AC1，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）推导出MNDB，MNDP，利用线面垂直的判定定理即可得证【解答】证明：（1）设ACBDO，则O为AC中点，又P为CC1的中点，OP/AC1，又OP平面DPB，AC1平面DPB，AC1/平面DPB；（2）连接D1N，在正方形DCC1D1中，N，P
25、为DC，CC1中点，DNCP，D1DDC，D1DNDCP90，D1DNDCP，DD1NCDP，又DD1N+DND190，CDP+DND190，D1NDP，又MD1平面DCC1D1，MD1DP，又D1NMD1D1，D1N，MD1平面MD1N，DP平面MD1N，MN平面MD1N，DPMN，过M作MM1AD于M1，连接M1N，则MM1平面ABCD，且M1为AD中点，MM1DB，M1NDB，MM1M1NM1，MM1，M1N平面MM1N，DB平面MM1N，DBMN，DBDPD，DB，DP平面DPB，MN平面DPB21如图，正四棱锥PABCD中，ABPA2，E是棱AP上靠近点P的三等分点，F是棱PC的中点
26、（1）求异面直线BF与PD所成角的余弦值；（2）求四面体PEBF的体积【分析】（1）取CD中点G，连接FG，即可得到GFB即为异面直线BF与PD的夹角，利用余弦定理，即可求得异面直线夹角的余弦值；（2）根据几何体特征得到VPEBF，即可求得体积解：（1）取CD中点G，连接FG，则FGPD，则GFB即为异面直线BF与PD的夹角，因为PABCD为正四棱锥，ABPA2，所以FG1，BG，BF，所以cosGFB|，即异面直线BF与PD所成角的余弦值为；（2）VPEBFVFPEB，因为VPABC，所以VPEBF22自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得
27、阶段性成功，国家经济很快得到复苏在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下 组别分组频数频率第1组20，30）40.08第2组30，40）a第3组40，50）20b第4组50，60）0.32第5组60，70）40.08合计501.00（1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差【分析】（1）利用频率与频数的关系、频率直方图纵坐标的含义、平均数的计算公式进行分析求解即可；（2）由平均数和方差的计算公式分析求解即可解：（1）由表可知，第4组的频数为500.3216，所以a504201646，b，第2组的频率为，c，前50天内每天接待的顾客人数的平均数为：250.08+350.12+450.40+550.32+650.0847；（2）设前50天接待的顾客人数分别为x1，x2，x50，后50天接待的顾客人数分别为y1，y2，y50，则由（1）可知，前50天的平均数，方差104，后50天的平均数为，方差100，故这100天的平均数为，所以，同理可得，这100天的方差，由以上三个式子可得，106
