1、2019-2020学年北京市西城区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1下列各角中，与27角终边相同的是（）A63B153C207D3872圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为（）A20cm2B10cm2C28cm2D14cm23（）AsinBcosCsinDcos4设（，），且，则（）A或B或C或D或5设，均为单位向量，且，则|+2|（）A3BC6D96下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）Aysin2xBycos2xCytanxDysin7向量，在正方形网格中的位置如图所示，则，（）A45B60C120D1358设，（0，），且，则下列
2、不等关系中一定成立的是（）AsinsinBsinsinCcoscosDcoscos9将函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（）ABCD10棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则y与x的函数图象为（）ABCD二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。11已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为 12在平面直角坐标系xOy中，角和角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称若，则sin 13向量，满足|1，1若（），则实数 14已知正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点
3、在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是 ；球的表面积是 15已知函数f（x）给出下列三个结论：f（x）是偶函数；f（x）有且仅有3个零点；f（x）的值域是1，1其中，正确结论的序号是 16设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为 三、解答题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17已知，且（）求tan的值；（）求的值18如图，正三棱锥PABC的底面边长为2，侧棱长为3（）求正三棱锥PABC的表面积；（）求正三棱锥PABC的体积19在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，（）求sinB的值；（）若，求ABC的面积20已知函数（）求f（x）的定义域
4、；（）求f（x）在区间上的最大值；（）求f（x）的单调递减区间21如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点（）在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线，并说明理由；（）平面AD1E将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比22如图，在扇形OAB中，AOB120，半径OAOB2，P为弧AB上一点（）若OAOP，求的值；（）求的最小值参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1下列各角中，与27角终边相同的是（）A63B153C207D387【分析】写出与27终边相同角的集合，取k值得答案解：与27角终边相同的角的集合为
5、|27+k360，kZ，取k1，可得387与27角终边相同的是387故选：D2圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为（）A20cm2B10cm2C28cm2D14cm2【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可解：圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为S侧22520（cm2）故选：A3（）AsinBcosCsinDcos【分析】直接利用诱导公式得答案解：cos故选：B4设（，），且，则（）A或B或C或D或【分析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数即可求解解：因为（，），且，则或故选：A5设，均为单位向量，且，则|+2|（）A3BC6D9【分析】利用向量的模的运算
6、法则，结合向量的数量积求解即可解：，均为单位向量，且，则|+2|故选：B6下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）Aysin2xBycos2xCytanxDysin【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论解：在区间（0，）上，2x（0，），ysin2x没有单调性，故排除A在区间（0，）上，2x（0，），ycos2x单调递减，故排除B在区间（0，）上，ytanx单调递增，且其最小正周期为，故C正确；根据函数以为最小正周期，ysin的周期为4，可排除D故选：C7向量，在正方形网格中的位置如图所示，则，（）A45B60C120D135【分析】可作
7、，然后根据余弦定理即可求出cosA0，从而可得出B，进而得出的值解：如图，设网格的一个单位长度为1，则，由余弦定理得，A90，且ABAC，B45，故选：D8设，（0，），且，则下列不等关系中一定成立的是（）AsinsinBsinsinCcoscosDcoscos【分析】根据正弦函数以及余弦函数在（0，）上的单调性求解即可解：因为，（0，），且，而ysinx在（0，）上有增有减；ycosx在（0，）上单调递减；故sin与sin大小关系不确定，coscos成立；故选：C9将函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（）ABCD
8、【分析】由图可知，g（）f（），根据函数图象的平移变化法则可知g（x）sin2（x），于是推出g（）sin2（），即或，kZ，再结合，解之即可得的值解：由图可知，g（）f（）sin（2），因为f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，所以g（x）sin2（x），所以g（）sin2（）sin（），所以或，kZ，解得或，kZ，因为，所以故选：C10棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则y与x的函数图象为（）ABCD【分析】设棱锥的体积为V，则yVx，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故而得解解：设棱锥的体积为V，则V为定值，所以y
9、Vx，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故选：A二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。11已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解解：由弧长公式可得lr故答案为：12在平面直角坐标系xOy中，角和角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称若，则sin【分析】由题意可得sinsin（），由此能求出结果解：在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，sinsin（）sin，故答案为：13向量，满足|1，1若（），则实数1【分析】根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于的方程，解之即可解：（），（）0，即10，解得1故答案为：11
10、4已知正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是2；球的表面积是12【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积解：正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则：（2r）222+22+2212，解得r，故球的直径为2球的表面积为S故答案为：215已知函数f（x）给出下列三个结论：f（x）是偶函数；f（x）有且仅有3个零点；f（x）的值域是1，1其中，正确结论的序号是【分析】判断函数的奇偶性判断；求出函数的零点判断；函数的值域判断解：函数f（x），f（x）是非奇非偶函数，所以不正确；f（x）
11、0，可得x，x0，x，所以函数有且仅有3个零点；所以正确；函数f（x），f（x）的值域是1，1，正确；正确结论的序号是：故答案为：16设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为2【分析】由题意可得f（x）的最小值为f（），可得+2k，kZ，解方程可得的最小值解：若对任意的实数x都成立，可得f（x）的最小值为f（），可得+2k，kZ，即有26k，kZ，由0，可得的最小值为2，此时k0故答案为：2三、解答题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17已知，且（）求tan的值；（）求的值【分析】（）由已知利用同角三角函数基本关系式求得sin，再由商的关系求得tan；（）直接利用
12、二倍角的正弦及余弦求解解：（），且，sin，则tan；（）sin，cos，18如图，正三棱锥PABC的底面边长为2，侧棱长为3（）求正三棱锥PABC的表面积；（）求正三棱锥PABC的体积【分析】（）取BC的中点D，连接PD，利用勾股定理求得PD，可得三角形PBC的面积，进一步可得正三棱锥PABC的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥PABC的表面积可求；（）连接AD，设O为正三角形ABC的中心，则PO底面ABC求解PO，再由棱锥体积公式求解解：（）取BC的中点D，连接PD，在RtPBD中，可得PD正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，正三棱锥PABC的侧面积是正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，则
13、正三棱锥PABC的表面积为；（）连接AD，设O为正三角形ABC的中心，则PO底面ABC且OD在RtPOD中，PO正三棱锥PABC的体积为19在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，（）求sinB的值；（）若，求ABC的面积【分析】（）先根据求得cosA的值，再由得到，然后根据两角和与差的公式可求得sinB的值（）由C可求得sinC的值，进而根据正弦定理可求得a，c的关系，再由可求出a，c的值，最后根据三角形的面积公式可求得答案解：（）因为，所以由已知得所以（）由（）知C，所以sinC且由正弦定理得又因为，所以c5，所以20已知函数（）求f（x）的定义域；（）求f（x）在区间上的最
14、大值；（）求f（x）的单调递减区间【分析】（）由分母不为0，结合辅助角公式和正弦函数的图象可得所求定义域；（）运用二倍角公式和余弦函数的图象和性质，可得所求最大值；（）由余弦函数的递减区间，解不等式可得所求减区间解：（）由sinx+cosx0，可得sin（x+）0，所以x+k，kZ，即xk，kZ，所以f（x）的定义域为x|xk，kZ；（）f（x）cosxsinxcos（x+），因为0x，所以x+，则x+，即x0时，f（x）取得最大值1；（）由ycosx的减区间为2k，2k+，kZ，可得2kx+2k+，且xk，kZ，即为2kx2k+，kZ，所以f（x）的减区间为（2k，2k+），kZ21如图，在
15、正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点（）在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线，并说明理由；（）平面AD1E将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比【分析】（）在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，设D1EDCF，连接AF，可证F平面ABCD且F平面AD1E，得到平面AD1E平面ABCDAF；（）设BCAFG，连接GE，证明EGAD1，则平面AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGEDAD1设正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为2求出棱台CGEDAD1的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案解：（）在正方形DCC1D1中，直
16、线D1E与直线DC相交，设D1EDCF，连接AF，FDC，DC平面ABCD，则F平面ABCD，FD1E，D1E平面AD1E，F平面AD1E平面AD1E平面ABCDAF（）设BCAFG，连接GE，由E为CC1 的中点，得G为BC的中点，EGAD1，则平面AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGEDAD1设正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为2另一部分几何体的体积为两部分的体积比为7：1722如图，在扇形OAB中，AOB120，半径OAOB2，P为弧AB上一点（）若OAOP，求的值；（）求的最小值【分析】（）先通过倒角运算得出POB30，APB120，再在POB中，由余弦定理可求得，
17、然后根据平面向量数量积的定义，代入数据进行运算即可得解；（）以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设P（2cos，2sin），其中，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有的式子表示出，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解解：（）当OAOP时，如图所示，AOB120，POB1209030，OPB，APB75+45120，在POB中，由余弦定理，得PB2OB2+OP22OBOPcosPOB22+22222cos30，又，（）以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（2，0），AOB120，OB2，B（1，），设P（2cos，2sin），其中，则（22cos，2sin）（12cos，2sin）22cos+4cos22sin+4sin22cos2sin+24sin（）+2，sin（），当，即时，取得最小值为2
