1、【新教材新高考】2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）期末模拟测试卷（1）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则( )A.B.C.D.2.若，则下列等式一定成立的是( )A.B.C.D.3.m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断正确的是( )A.若，则B.若，则C.若m，n，l两两相交，且交于同一点，则m，n，l共面D.若，则4.设数列的前n项和为,若,则( )A.63B.127C.128D.2565.在边长为2的正方形中，E为的中点，交于点F.若，则( )A.1B.C.D.6.
2、已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为( )A.B.C.D.7.已知拋物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与拋物线交于M，N两点，若则( )A.B.C.2D.8.已知平面向量与的模长之比为，且夹角为，则与的夹角为( )A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设O为坐标原点，是双曲线的焦点.若在双曲线上存在点P，满足，则( )A.双曲线的方程可以是B.双曲线的渐近线方程是C.双曲线的离心率为D.的面积为10.已知话数,且对任意
3、恒成立,为奇函数,则下列说法正确的是( )A.函数的图象关于原点对称B.函数的最小正周期为C.函数的图象关于直线对称D.函数的单调递增区间为11.如图,正方体中的正四面体的棱长为2,则下列说法正确的是( )A.异面直线与所成的角是B.C.平面截正四面体所得截面面积为D.正四面体的高等于正方体体对角线长的12.已知定义在R上的函数满足对任意的且当时,则( )A.B.对任意的C.是減函数D.若且不等式恒成立，则a的最小值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的系数为_.14.已知O是的外心，且，若，则_.15.已知圆关于直线对称，则的最小值为_.16.如图，在直三棱柱中
4、，,，点E,F分别是，AB上的动点，当的长度最小时，三棱锥外接球的表面积为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）在锐角中，内角对应的边分别为，且的等比中项为.（1）求角B的大小；（2）若，求的取值范围.18. （12分）已知数列的各项均为正数数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.19. （12分）某省高考改革新方案中语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在政治、历史、地理、物理、化学、生物6个学科中自主选择3个科目参加等级性考试，称为“3+3”模式.为了解数学能力对选考物理的影响，某中学随机调查了该校的
5、200名高三学生，调查结果如下表.数学能力优秀良好中等合格不合格人数5248503020选考物理人数463425105将数学能力在中等以下（不包括中等）的学生评价为数学能力较弱；否则，评价为数学能力不弱.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22列联表，并通过计算判断是否有99.9%的把握认为是否选考物理与数学能力有关；不选考物理选考物理合计数学能力不弱数学能力较弱合计（2）以样本估计总体，以频率估计概率，从全省高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考物理的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：，其中.0.0500.0100.0050.001K3.8416.6357.87910.8228
6、20. （12分）如图,四棱锥的底面ABCD内接于半径为2的圆O,AB为圆O的直径,E为AB上一点,且.(1)求证:;(2)若直线PB与平面ABCD所成的角为,求二面角的余弦值.21. （12分）已知函数是自然对数的底数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，证明：曲线不落在图像的下方.22. （12分）如图，已知拋物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交拋物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是拋物线上一点，且（）证明：直线BE经过AC的中点M；（）求面积的最小值及此时直线AC的方程.答案以及解析一、单项选择题1.答案：C解析：由可得解得则，由可得或又所以，故选C.2.答案：D解析
7、：因为，所以，则一定成立，故选D.3.答案：D解析：对于选项A，若成立还需要添加条件，故A不正确；对于选项B，由，还可能得到m，n是异面直线，故B不正确；对于选项C，可举反例，如三棱锥同一顶点出发的三条棱，故C不正确；对于选项D，又，故D正确.4.答案：B解析：通解:中,令,得,所以.由得,两式相减得,即.又,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,所以.优解:因为，所以，又,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,所以,故.5.答案：B解析：根据题意得，所以，所以，所以.又因为，所以即所以，故选B.6.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系由题设圆C的标准方程为，则圆心为，因为直线与圆
8、相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以圆C的标准方程为，即，故选D.7.答案：B解析：本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系.由题意，不妨设点P在第二象限，如图，过点M作于点Q，由抛物线的定义知因为，所以所以直线MN的倾斜角a满足所以直线MN的方程为联立得，设，则所以故选B.8.答案：B解析：（方法一）因为与的夹角为，所以，即.因为与的模长之比为，所以，即.所以，,所以.因为两向量夹角的范围为，所以与的夹角为.故选B.（方法二）如图,设四边形ABCD为平行四边形，则,.因为与的夹角为，所以，所以平行四边形ABCD为菱形.由题意，得，即，所以，所以.故选B.二、多项选择题9.答案：BC解析
9、：如图，为的中点，即.又，.又由双曲线的定义得，.即.由得.在中，由余弦定理得，即.又，即.双曲线的渐近线方程为.双曲线的离心率为，双曲线的方程可以是，的面积.故BC正确.10.答案：BD解析：因为对任意恒成立,所以,即,得.,因为为奇函数,所以.-得,即.又,所以,则,得,所以,所以A不正确;的最小正周期,所以B正确;,所以C不正确;令,得,故函数的单调递增区间为,所以D正确.故选BD.11.答案：ABD解析：如图,在正方体中,易知,所以异面直线与所成的角即直线与所成的角,即为等边三角形,选项A正确;连接,同理可证,选项B正确;易知平面截正四面体所得截面面积为,选项C错误;易得正方体的体对角
10、线长为,棱长为2的正四面体的高为正四面体的高等于正方体体对角线长的,选项D正确.故选ABD.12.答案：ABD解析：取则解得或，若则对任意的与条件不符，故A正确；对任意的若存在使得则与矛盾，所以对任意的B正确；当时，且所以当时与为减函数矛盾，C错误；假设则因为所以则即所以函数在R上单调递增，由题意得所以结合在R上单调递增可知则令则令，则易得在上单调递减，在上单调递增，从而所以则D正确.三、填空题13.答案：21解析：本题考查二项式定理.二项式的展开式的通项令解得所以的系数为14.答案：解析：本题考查平面向量的坐标运算.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则，所以线段的垂直平分
11、线的方程为，线段的垂直平分线的方程为，联立，得，因为，所以，则，解得，所以.15.答案：9解析：本题考查园的标准方程、利用基本不等式求最值.由题意可知直线过圆心，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9.16.答案：解析：把平面沿展开到与平面共面的的位置，延长到，使得，连接，如图1所示，则.要使的长度最小，则需，E,F,四点共线，此时.因为，所以，所以，故，所以，所以的外接圆是以的中点O为圆心，为半径的圆，故三棱锥外接球的球心一定在过点O且与平面垂直的直线上，如图2所示，点到点E,C的距离相等，则，所以,所以三棱锥外接球的表面积为.四、解答题17.答案：解：（1）由已知，得，即，由正弦
12、定理得，又为锐角三角形，所以，所以，所以.（2）由，得，因而.由正弦定理，得.而，又，所以，所以，所以的取值范围为.18.答案：（1）因为，所以，两式相减得，整理得，即，所以为常数列.所以，所以.（2）由1得，所以，两式相减得，.（，所以.19.答案：（1）根据题意填写的22列联表如下：不选考物理选考物理合计数学能力不弱45105150数学能力较弱351550合计80120200，所以有99%的把握认为是否选考物理与数学能力有关.（2）由题意知，这200名学生中选考物理的人所占的频率为，所以估计从全省高三学生中随机抽取1人，此人选考物理的概率为.X的所有可能取值为0,1,2,3且，X的分布列为
13、X0123P数学期望.20.答案：解:(1)连接CO,且,是平行四边形.连接DO，,为等边三角形,中，AO边上的高为.,为AO边上的高,.,又,且,.(2)由可知，为直线PB与平面ABCD所成的角，.又由(1)知,ED,EB,EP两两垂直,如图,可以以E为坐标原点,以ED,EB,EP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系则,.设平面PBD的法向量为,则得得令，则.设平面PBC的法向量为，则令，则.易知二面角为锐二面角，的余弦值为.21.答案：（1）本题考查导数的几何意义、函数图像与不等式的联系、利用导数证明不等式恒成立问题.依题意，故，而，故所求切线方程为，即.（2）要证曲线不落在图像的下方，即证，即证.令.，令，得；令，得或，所以当时，取得极大值，且极大值为2.而，易知在上单调递增，且.令，得，令，得，故.故当时，.设，则.设，则.设，则，易知在上单调递增，则，则在上单调递增，从而，则在上单调递增，则，从而在上单调递增，所以当时，故当时，.综上所述，当时，曲线不落在图像的下方.22.答案：（）证明：由题可知抛物线的焦点，准线方程为设直线则，联立可得则可得.，故直线.联立得，的中点M的纵坐标即，直线BE经过AC的中点M.（）由（）可知设点B到直线AC的距离为d，则，当且仅当即时取等号，当时，直线AC的方程为；当时，直线AC的方程为
