1、=【 ;精品教育 资源文库 】 = 第 41 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素 2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 3掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式 )，了解斜截式与一次函数的关系 . 2016 四川卷， 10 2015 全国卷 ，20(1) 2014 福建卷， 6 2014 四川卷， 9 直线的斜率、直线的方程、两直线的位置关系及距离公式是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是与圆、圆锥曲线及导数的几 何意义、线性规划等相关知识综合考查 . 分值： 3
2、 5 分 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l！ _向上方向 _#之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角，当直线 l 与 x 轴 ！ _平行或重合 _#时，规定它的倾斜角为 0. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 ！ _0， ) _#. 2直线的斜率 (1)定义：若直线的倾斜角 不是 90 ，则斜率 k ！ _tan _#. (2)计算公式：若由 A(x1， y1)， B(x2， y2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k！ _y2 y1x2 x1_#. 3直线方程的五种形式 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜率 k 与点 (x
3、0， y0) y y0 k(x x0) 不含直线 x x0 斜截式 斜率 k 与纵截距 b y kx b 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 两点 (x1， y1)， (x2，y2) y y1y2 y1x x1x2 x1 不含直线 x x1(x1x2)和直线 y y1(y1 y2) =【 ;精品教育 资源文库 】 = 截距式 截距 a 与 b xa yb 1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax By C 0 (A2 B20) 平面直角坐标系内的直线都适用 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置 ( ) (2)坐标平面内的任何一条直线
4、均有倾斜角与斜率 ( ) (3)当直线 l1和 l2斜率都存在时，若 k1 k2，则 l1 l2.( ) (4)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程 ( ) (5)任何直线方程都能写成一般 形式 ( ) 解析 (1)正确直线的倾斜角仅反映直线相对于 x 轴的倾斜程度，不能确定直线的位置 (2)错误当直线的倾斜角为 90 时，其斜率不存在 (3)错误当 k1 k2时，两直线可能平行，也可能重合 (4)错误当直线与 x 轴垂直 (斜率不存在 )时，不能用点斜式方程表示 (5)正确无论依据哪种形式求解，最后直线方程都能写成一般形式 2直线 x 3y m 0(m R)的倾斜角为 ( C ) A
5、30 B 60 C 150 D 120 解析 由 k tan 33 ， 0 ， 180) ，得 150. 3已知直线 l 过点 P( 2,5)，且斜率为 34，则直线 l 的方程为 ( A ) A 3x 4y 14 0 B 3x 4y 14 0 C 4x 3y 14 0 D 4x 3y 14 0 解析 由 y 5 34(x 2)，得 3x 4y 14 0. 4过点 M( 2， m)， N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为 ( A ) A 1 B 4 C 1 或 3 D 1 或 4 解析 由 1 4 mm 2，得 m 2 4 m，即 m 1. 5若点 A(4,3)， B(5， a)，
6、 C(6,5)三点共线，则 a 的值为 ！ _4_#. 解析 kAC 5 36 4 1， kAB a 35 4 a 3. =【 ;精品教育 资源文库 】 = 由于 A， B， C 三点共线，所以 a 3 1，即 a 4. 一 直线的倾斜角与斜率 直线倾斜角的范围是 0， ) ，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分 ? ?0， 2 ， ? ? 2 和 ? ? 2 ， 三种情况讨论当 ? ?0， 2 时，斜率 k0， ) ；当 2 时，斜率不存在；当 ? ? 2 ， 时，斜率 k ( ， 0) 【例 1】 (1)直线 2xcos y 3 0? ? ? ? 6 ， 3
7、的倾斜角的取值范围是 ( B ) A ? ? 6 ， 3 B ? ? 4 ， 3 C ? ? 4 ， 2 D ? ? 4 ， 23 (2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)， B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l斜率的取值范围是 ！ ( ， 3 1， ) #. 解析 (1)直线 2xcos y 3 0 的斜率 k 2cos ，因为 ? ? 6 ， 3 ，所 以 12cos 32 ，因此 k 2cos 1， 3 设直线的倾斜角为 ，则有 tan 1， 3 又 0， ) ，所以 ? ? 4 ， 3 ，即倾斜角的取值范围是 ? ? 4 ， 3 . (2)如图， kAP 1
8、02 1 1， kBP 3 00 1 3， k ( ， 3 1， ) 二 直线方程的求法 求直线方程的注意点 (1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在 (2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的=【 ;精品教育 资源文库 】 = 直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零 【例 2】 根据所给条件求直线的方程 (1)直线过点 ( 4,0)，倾斜角的正弦值为 1010 ； (2)直线过点 ( 3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)直线过点 (5,10)，且到原点的距离为 5. 解析 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采
9、用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 1010 (00，所以 k 2k2 k 2k 2 2，故三角形面积的最大值为 24 . 4已知直线 x 2y 2 分别与 x 轴、 y 轴相交于 A， B 两点，若动点 P(a， b)在线段 AB上，则 ab 的最大值为！ _12_#. 解析 直线方程可化为 x2 y 1，故直线与 x 轴的交点为 A(2,0)，与 y 轴的交点为B(0,1) 由动点 P(a， b)在线段 AB 上，可知 0 b1 ，且 a 2b 2，从而 a 2 2b，故 ab (2 2b)b 2b2 2b 2? ?b 12 2 12. 由于 0 b1 ，故当 b 12时， ab 取得最大
10、值 12. 易错点 忽略直线方程的适用范围 错因分析：当使用直线方程协助解题时，如果不能确定直线是否与 x 轴垂直，则需要讨论 【例 1】 已知圆 M： (x 1)2 (y 1)2 4，直线 a 过点 C(2,3)且与圆 M 交于 A， B 两点，且 | |AB 2 3，求直线 a 的方程 解析 r 2， | |AB 2 3， 圆心 M(1,1)到直线 a 的距离为 1. =【 ;精品教育 资源文库 】 = 当直线 a 垂直于 x 轴时，符合题意，此时直线 a 的方程为 x 2. 当直线 a 不垂直于 x 轴时， 设其方程为 y 3 k(x 2)， 即 kx y (3 2k) 0， | |k
11、1 3 2kk2 1 1， k 34， y 3 34(x 2)，即 3x 4y 6 0. 综上可知，直线 a 的方程为 x 2 或 3x 4y 6 0. 【跟踪训练 1】 设直线 l 的方程为 (a 1)x y 2 a 0(a R) (1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为 ！ _x y 0 或 x y 2 0_#. (2)若 a 1，直线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 M， N 两点， O 为坐标原点，则 OMN 的面积最小时，直线 l 对应的方程为 ！ _x y 2 0_#. 解析 (1)当直线 l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得 a 2 0，
12、解得 a 2. 此时直线 l 的方程为 x y 0，即 x y 0； 当直线 l 不经过 坐标原点，即 a 2，且 a 1 时， 由直线在两坐标轴上的截距相等可得 2 aa 1 2 a，解得 a 0， 此时直线 l 的方程为 x y 2 0. 所以直线 l 的方程为 x y 0 或 x y 2 0. (2)由直线方程可得 M? ?2 aa 1， 0 ， N(0,2 a)，因为 a 1，所以 S OMN 12 2 aa 1(2 a) 12 ?a 1? 12a 1 12?a 1? 1a 1 2 12?2 ?a 1? 1a 1 2 2. 当且仅当 a 1 1a 1，即 a 0 时，等号成立 此时直线
13、 l 的方程为 x y 2 0. 课时达标 第 41 讲 解密考纲 考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程，常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查 一、选择题 =【 ;精品教育 资源文库 】 = 1 (2018 四川绵阳南山中学期中 )直线 l 的方程为 3x 3y 1 0，则直线 l 的倾斜角为 ( A ) A 150 B 120 C 60 D 30 解析 由直线 l 的方程为 3x 3y 1 0，可得直线 l 的斜率为 k 33 ，设直线 l 的倾斜角为 (0 0，且 A(a,0)， B(0， b)， C( 2， 2)三点共线，则 ab 的最小值为 ！_16_#. 解
14、析 根据 A(a,0)， B(0， b)确定直线的方程为 xa yb 1， 又 C( 2， 2)在该直线上， 故 2a 2b 1，所以 2(a b) ab. 又 ab 0，故 a 0， b 0. 根据基本不等式 ab 2(a b)4 ab，可得 ab0( 舍去 )或 ab4 ，故 ab16 ，当且仅当 a b 4 时取等号 故 ab 的最小值为 16. 三、解答题 10过点 P(3,0)作一直线，使它夹在两直线 l1： 2x y 2 0 与 l2： x y 3 0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分，求此直线的方程 解析 设点 A(x， y)在 l1上，点 B(xB， yB)在 l2上 由题意知? x xB2 3，y yB2 0，则点 B(6 x， y)， 解方程组? 2x y 2 0，?6 x? ? y? 3 0， 得 ? x 113 ，y 163 ，则 k163 0113 3 8. 故所求的直线方程为 y 8(x 3)，即 8x y 24 0. 11已知点 A(3,4)，分别求出满足下列条件的直线
