1、考点规范练42直线、平面平行的判定与性质基础巩固1.设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a,aB.存在一条直线a,a,aC.存在两条平行直线a,b,a,b,a,bD.存在两条异面直线a,b,a,b,a,b2.下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形的序号是()A.B.C.D.3.设l表示直线,表示平面.给出四个说法:若l,则内有无数条直线与l平行;若l,则内任意的直线与l平行;若,则内任意的直线与平行;若,对于内的一条确定的直线a,在内仅有唯一的直线与a平行.以上四个说法中,正确说法
2、的个数为()A.0B.1C.2D.34.(2021福建莆田一中月考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有()A.BD1GHB.BDEFC.平面EFGH平面ABCDD.平面EFGH平面A1BCD15.已知平面和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是()A.如果m,n,m,n是异面直线,那么nB.如果m,n与相交,那么m,n是异面直线C.如果m,n,m,n共面,那么mnD.如果m,nm,那么n6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论不
3、正确的是()A.MCANB.GB平面AMNC.平面CMN平面AMND.平面DCM平面ABN7.已知平面,P,且P,过点P的直线m与,分别交于A,C,过点P的直线n与,分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为.8.(2021北京门头沟一模)在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是该正方体表面及其内部的一动点,且BM平面AD1C,则动点M的轨迹所形成区域的面积是.9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,ABCD,BAAD,CD=2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为.10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面A
4、BCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件时,有平面D1BQ平面PAO.11.(2021重庆南开中学月考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,BC平面PAD,BC=12AD,E是PD的中点.(1)求证:BCAD.(2)求证:CE平面PAB.(3)若M是线段CE上一动点,则线段AD上是否存在点N,使MN平面PAB?说明理由.12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,E为BB1的中点,F为AC1的中点.(1)求证:EF平面ABCD;(2)求点E到平面AB1C1的距离.能力提升13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AC
5、,A1B的中点,则下列说法错误的是()A.MN平面ADD1A1B.MNABC.直线MN与平面ABCD所成的角为45D.异面直线MN与DD1所成的角为6014.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,P是上底面A1B1C1D1内一点,若AP平面BDEF,则线段AP长度的取值范围是()A.52,2B.324,52C.328,62D.62,215.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,AA1=2,在A1B上取一点M,在B1C上取一点N,使得直线MN平面A1ACC1,则线段MN的最小值为.16.如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A
6、BCD为菱形,平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证:平面AB1C平面DA1C1;(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.高考预测17.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将AEF沿线段EF折起到AEF位置,使得AC=26.(1)求五棱锥A-BCDFE的体积;(2)在线段AC上是否存在一点M,使得BM平面AEF?若存在,求AM;若不存在,请说明理由.答案：1.D解析对于选项A,B,C,由已知条件,可得平面,可能平行,也可能相交,所以选项A,B,C不是的一个充分条件;对于选项D,可以通过
7、平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有,所以选项D的内容是的一个充分条件.故选D.2.C解析对于图形,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB平面MNP;对于图形,ABPN,即可得到AB平面MNP;图形无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.3.C解析中内的直线与l可异面,中可有无数条.4.D解析选项A,由中位线定理可知GHD1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故A选项是错误的;选项B,由中位线定理可知EFA1B,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD,EF不可能互相平行,故B选项是错误的;选项C,由中
8、位线定理可知EFA1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,故平面EFGH与平面ABCD相交,故C选项是错误的;选项D,由三角形中位线定理可知EFA1B,EHA1D1,所以有EF平面A1BCD1,EH平面A1BCD1,而EFEH=E,因此平面EFGH平面A1BCD1,故选D.5.C解析如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;如图(3),m,n是内的任意直线,都有nm,故D错.n,n与无公共点.m,n与m无公共点.又m,n共面,mn,故选C.6.C解析显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),取AN的中点H,连接HB,MH,则
9、MCHB,又HBAN,所以MCAN,所以A正确;由题意易得GBMH,又GB平面AMN,MH平面AMN,所以GB平面AMN,所以B正确;因为ABCD,DMBN,且ABBN=B,CDDM=D,所以平面DCM平面ABN,所以D正确.7.245或24解析如图(1),ACBD=P,经过直线AC与BD可确定平面PCD.图(1),平面PAB=AB,平面PCD=CD,ABCD.PAAC=PBBD,即69=8-BDBD.解得BD=245.图(2)如图(2),同理可证ABCD.PAPC=PBPD,即63=BD-88.解得BD=24.综上所述,BD=245或24.8.23解析如图,在边长为2的正方体ABCD-A1B
10、1C1D1中,动点M满足BM平面AD1C,由面面平行的性质可知,当BM始终在一个与平面AD1C平行的平面内,即满足题意.过B作与平面AD1C平行的平面,连接A1B,BC1,A1C1,平面A1BC1平面AD1C,所以SA1BC1=12223222=23.9.平行解析取PD的中点F,连接EF,AF,在PCD中,EF12CD.ABCD且CD=2AB,EFAB,四边形ABEF是平行四边形,EBAF.又EB平面PAD,AF平面PAD,BE平面PAD.10.Q为CC1的中点解析如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QBPA.连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1BPO.又D
11、1B平面PAO,QB平面PAO,所以D1B平面PAO,QB平面PAO.又D1BQB=B,所以平面D1BQ平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ平面PAO.11.(1)证明在四棱锥P-ABCD中,BC平面PAD,BC平面ABCD,平面ABCD平面PAD=AD,BCAD.(2)证明取PA的中点F,连接EF,BF,E是PD的中点,EFAD,EF=12AD,又由(1)可得BCAD,BC=12AD,BCEF,BC=EF,四边形BCEF是平行四边形,CEBF,CE平面PAB,BF平面PAB,CE平面PAB.(3)解取AD中点N,连接CN,EN,E,N分别为PD,AD的中点,ENPA,E
12、N平面PAB,PA平面PAB,EN平面PAB,又由(2)可得CE平面PAB,CEEN=E,平面CEN平面PAB.M是CE上的动点,MN平面CEN,MN平面PAB,线段AD存在点N,使得MN平面PAB.12.(1)证明如图,连接AC,BD,交于点O,连接OF,OF为ACC1的中位线,OFCC1,OF=12CC1.又BB1CC1,且BB1=CC1,OFBB1,2OF=BB1.又E为BB1的中点,OFBE,OF=BE.四边形BEFO为平行四边形.EFBO.BO平面ABCD,EF平面ABCD,EF平面ABCD.(2)解连接AE,EC1.由题意知B1C1平面ABB1A1,B1C1是点C1到平面ABB1A
13、1的距离.又AB1平面ABB1A1,B1C1AB1.设点E到平面AB1C1的距离为h.VC1-AB1E=VE-AB1C1,13SAEB1B1C1=13SAB1C1h,即1312111=131251h,解得h=55.故点E到平面AB1C1的距离为55.13.D解析如图,连接BD,A1D,则BD过点M,且M为BD的中点.由N为A1B的中点,知MN为A1BD的中位线,MNA1D,MN平面ADD1A1,A1D平面ADD1A1,MN平面ADD1A1,故A正确;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB平面ADD1A1,则ABA1D,MNA1D,MNAB,故B正确;直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与
14、平面ABCD所成角等于45,故C正确;而A1DD1为异面直线MN与DD1所成角,应为45,故D错误.故选D.14.B解析如下图所示,分别取棱A1B1,A1D1的中点M,N,连接MN,B1D1,AM,AN.M,N,E,F为所在棱的中点,MNB1D1,EFB1D1.MNEF.又MN平面BDEF,EF平面BDEF,MN平面BDEF.连接NF,由NFA1B1,NF=A1B1,A1B1AB,A1B1=AB,可得NFAB,NF=AB,则四边形ANFB为平行四边形,ANBF,而AN平面BDEF,BF平面BDEF,AN平面BDEF.又ANNM=N,平面AMN平面BDEF.又P是上底面A1B1C1D1内一点,且
15、AP平面BDEF,点P在线段MN上.在RtAA1M中,AM=AA12+A1M2=1+14=52.同理,在RtAA1N中,可求得AN=52,则AMN为等腰三角形.当P在MN的中点时,AP取得最小值为12+242=324;当点P与点M或N重合时,AP取得最大值为52.线段AP长度的取值范围是324,52.故选B.15.23解析作MM1AB于点M1,作NN1BC于点N1,连接M1N1,如图.平面ABB1A1平面ABCD,且交线为AB,MM1平面ABCD.同理NN1平面ABCD.MM1NN1.M,N,N1,M1四点共面,且四边形MNN1M1为直角梯形.由作图可知,MM1AA1,AA1平面A1ACC1,
16、MM1平面A1ACC1,MM1平面A1ACC1.MN平面A1ACC1,且MNMM1=M,MN,MM1平面MM1N1N,平面MM1N1N平面A1ACC1.平面MM1N1N,平面A1ACC1与平面ABCD的交线分别为M1N1,AC,M1N1AC.设BM1=BN1=x,则MM1=2x,NN1=2-2x.在直角梯形MNN1M1中,MN2=(2x)2+(2-4x)2=18x-492+49,当x=49时,MN取得最小值为23.16.(1)证明由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质,知AB1DC1,A1DB1C.AB1B1C=B1,AB1,B1C平面AB1C,A1DDC1=D,A1D,DC1平面DA1C1,
17、平面AB1C平面DA1C1.(2)解存在这样的点P满足题意.如图,在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,B1BCC1,BB1CP,四边形BB1CP为平行四边形,BPB1C.A1DB1C,BPA1D.又A1D平面DA1C1,BP平面DA1C1,BP平面DA1C1.17.解(1)连接AC,设ACEF=H,连接AH.因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,所以H是EF的中点,且EFAH,EFCH.从而有AHEF,CHEF,又AHCH=H,所以EF平面AHC,且EF平面ABCD.从而平面AHC平面ABCD,且交线为CH.过点A作AO垂直HC且与
18、HC相交于点O,则AO平面ABCD.因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,所以AH=22,CH=42,所以cosAHC=AH2+CH2-AC22AHCH=8+32-2422242=12.所以HO=AHcosAHC=2,则AO=6.所以五棱锥A-BCDFE的体积V=1362-12446=2863.(2)在线段AC上存在点M,使得BM平面AEF,此时AM=62.证明如下:连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过O点.AM=62=14AC,HO=14HC,所以OMAH.又OM平面AEF,AH平面AEF,所以OM平面AEF.又BDEF,BD平面AEF,EF平面AEF,所以BD平面AEF.又BDOM=O,所以平面MBD平面AEF,因为BM平面MBD,所以BM平面AEF.15
