1、宁波市2018学年第一学期期末九校联考高二数学试题一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为（ ）A. 8 B. 10 C. 5 D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b4，所以椭圆的短轴长为8故选：A【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：由（1+i）2z2+i，得2iz2+
2、i，复数z对应的点的坐标为（，1），位于第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得mn；在B中，与相交或平行；在C中，；在D中，与相交或平行【详解】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在A中，若m，n，则由线面垂直的性质定理得mn，故A正确；在B中，若m，m，则与相交或平行，故B错误；在C中，若m，m，则，故C错误；在
3、D中，若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与相交或平行，故D错误故选：A【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题4.有下列四个命题：“相似三角形周长相等”的否命题；“若，则”的逆命题；“若，则”的否命题；“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断；写出逆命题，可判断；写出命题的否命题，可判断；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断【详解】解：“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命
4、题同真同假，可得其否命题不正确；“若xy，则x|y|”的逆命题为“若x|y|，则xy”正确；“若x1，则x2+x20”的否命题为“若x1，则x2+x20”不正确；“若b0，则方程x22bx+b2+b0有实根”由4b24（b2+b）4b0，可得原命题正确，其逆否命题也正确故选：C【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行
5、判断即可【详解】解：抛物线mx2+ny0的标准方程为x2y4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn0，则m0且n0或n0且m0，则“m0且n0”是“抛物线mx2+ny0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键6.下列命题正确的是（ ）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，三点不共线，为平面外一点，若，则，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的
6、加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D【详解】解：由|，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）（）（）0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，11cos120，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由121，可得P，A，B，C四点不共面，故 D错误故选：B【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题7.若椭圆与双曲线有公共的焦点，点是两条曲线的交点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（ ）A. B. C. D. 【
7、答案】B【解析】【分析】设PF1s，PF2t，由椭圆的定义可得s+t2a1，由双曲线的定义可得st2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1s，PF2t，由椭圆的定义可得s+t2a1，由双曲线的定义可得st2a2，解得sa1+a2，ta1a2，由F1PF2，可得，由e1e21，即，得：，解得：（舍），或，即故选：B【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，则点到直线的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意
8、可得APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c4a，由等边三角形的高可得所求值【详解】解：由题意，A（a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|PF|，PFA60，可得APF为等边三角形，即有P（，（a+c），由双曲线的第二定义可得，化为c23ac4a20，可得c4a，由c4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）5故选：D【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题9.如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结
9、AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，ABBDDA4BCCD，COBD，AOBD，且CO2，AO，AOC是二面角ABDC的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角ABDC的平面角为，则，连AO、BO，则AOC，A（），设AB、CD的夹角为，则cos，cos，|1|0，1+cos的最大值为故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角
10、的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用10.若长方体中，分别为，上的点，.分别记二面角，的平面角为，则（ ）A. B. C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GMCD于M点，过M做MNEF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比较的大小.【详解】过G点作GMCD于M点，过M做MNEF于N点，由，可知MNCE，设为，则=，又，故选：C 【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。” （2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂
11、直，由此可得二面角的平面角二、填空题.11.双曲线的焦点坐标是_，渐近线方程是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用双曲线的a，b，c的关系，直接计算【详解】解：双曲线1中a212，b23，则c2a2+b215且焦点在y轴上，双曲线1的焦点坐标是 （0，），渐近线方程是 y故答案为：（0，），y2x【点睛】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，考查学生的计算能力，属于基础题12.在空间四边形中，分别是，的中点，是上一点，且.记，则_，若，且，则_.【答案】 (1). （） (2). 【解析】【分析】利用空间向量加法定理能求出（x，y，z）；利用空间向量数量积公式能求出|
12、【详解】解：在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EHEF，（）（） ，xyz，（x，y，z）（），BOC60，且|1，2（）22 ，|故答案为：（），【点睛】本题考查空间向量的求法，考查向量的模的求法，考查空间向量加法法则、空间向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题13.设复数，其中为虚数单位，则的虚部是_，_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】解：，z（）2018+（）2019（i）2018+i2019i2+i31i，则的虚部为1|z|故答案为：
13、1；【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题14.一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_，体积是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据三视图，画出几何体的直观图，利用三视图的数据，代入表面积与体积公式计算【详解】解：由三视图知几何体是三棱柱与一个正方体一个长方体的组合体，正方体的棱长为1，如图：几何体的表面积：15几何体的体积V1；故答案为：15；，【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量15.已知是抛物线上的点，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，利用数
14、形结合法把x化为|PA|PF|+2，从而求得最大值【详解】解：根据题意画出图形，如图所示；由图形知，x|PA|x|PA|（|PM|2）|PA|（|PF|2）|PA|PF|+2|AF|+22；即x的最大值是2故答案为：2【点睛】本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题16.已知椭圆的左右焦点分别为，动弦过左焦点.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由条件可得，转化为，从而得到椭圆的离心率的取值范围.【详解】由可得，即，故答案为：【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c
15、的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.17.已知矩形中，为的中点，交于点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上，则的取值范围为 _.【答案】【解析】【分析】首先明确在平面上的投影的轨迹，建立平面直角坐标系，求出直线方程与点的坐标，即可得到的取值范围.【详解】取AB中点为H，连接DH交AE于G，由题意可知：在平面上的投影落在线段GH上，如图建立平面直角坐标系，直线GH方程为，易得：F到直线的距离为：，故的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查线段的长度，考查线面间的位置关系，考查空间想象能力与计算
16、能力，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.已知，设命题：当时，函数恒成立，命题：双曲线的离心率.（）若命题为真命题，求实数的取值范围；（） 若命题和中有且只有一个真命题，求实数的取值范围.【答案】（）（）【解析】【分析】（）由p真，结合对勾函数的单调性和基本不等式，可得最小值，即可得到所求范围；（）由双曲线的离心率公式，可得a的范围，由题意可得p真q假，p假q真，解不等式组，即可得到所求范围【详解】（）当时，因为在上为减函数，在上为增函数，在上最小值为.当时，由函数恒成立，得，解得.（）若命题为真命题，则，解得，若为真命题且为假命题，则，可得，若为假命题且
17、为真命题，则，此时，由上可知，的取值范围为.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是不等式恒成立问题和双曲线的离心率，考查不等式的解法，属于基础题19.如图，在四面体中，.（）求点到平面的距离；（）求异面直线与所成角的大小.【答案】（）2 （）【解析】【分析】（）作平面于，连,证明是的角平分线，由求得，即可得到点到平面的距离；（）取空间基底为，用基底表示，代入夹角公式即可得到结果.【详解】（）作平面于，连作于，于，连，平面，平面，所以，四边形为正方形，是的角平分线，即，.（）（方法1）记，则，记，又，即，所以异面直线与所成角的大小为.（方法2）以，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
18、则，则，设异面直线与所成角为，则,，所以异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查空间点到平面的距离，异面直线所成角，考查空间问题坐标化，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题.20.如图，已知多面体中，平面，.（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（）由余弦定理得PB，从而PBAB，由AD平面PAB，得ADPB，再由PBAB，能证明PB平面ABCD（）由余弦定理求出cosPDC，从而sinPCD，SACD2，设直线PA与平面PCD所成角为，点A到平面PCD的距离为h，由VAPDCVPACD，得h，从而sin，由此能求出直线PA与平面PCD所成
19、角的正弦值【详解】（）在中，所以，所以，因为，所以，四点共面.又平面，平面，所以.又，所以平面.（）（方法一）在中，在中，.在直角梯形中，.在中，.所以，.设直线与平面所成的角为，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以，故直线与平面所成的角的正弦值为.（方法二）由（）知，平面，.以点为坐标原点，以，所在直线分别为，轴建立如图的空间直角坐标系，则，所以，.设直线与平面所成的角为，设平面的一个法向量为，由得取，则，所以.所以 ，故直线与平面所成的角的正弦值为.（方法三）延长，相交于点，连结.因为，所以为的中位线，点，分别为，的中点.所以为等腰三角形.取中点，连，.所以，所以平面，又平面，所以平面
20、平面.作于，连，所以平面.所以就是直线与平面所成的角.因为，所以，所以.所以，故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21.已知点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交于点.（）求点的轨迹的方程；（）过点作两条斜率之积为的直线，分别与轨迹交于，和，记得到的四边形的面积为，求的最大值.【答案】（）（）【解析】【分析】（）利用椭圆定义即可得到点的轨迹的方程；（）设其中一条直线的方程为，可得可得,故，结合均值不等式可得结果.【详解】（）点是线段的垂直平分线上
21、的点，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，.因此，点的轨迹方程是.（）设其中一条直线的方程为，代入椭圆方程可得：，设，则即，代入椭圆方程可得：，设，到直线的距离分别为和，则, ,当，即时取“”的最大值.【点睛】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式，属于中档题22.如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为，记线段的中点为.（）求切线，的方程；（）证明：线段的中点在抛物线上；（）设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标.【答案】（）切线的方程为,切线的方程为.（）见证明；（）【解析】【分析】（）结合导数的几何意义可得切线，的方
22、程；（）由（1）可得，故，.再结合M点的坐标即可明确在抛物线上；（）由题意可得. 设，则.结合均值不等式即可得到结果.【详解】（）切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（另解：设切线的方程为：由消去后可得：切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（）因为点既在切线上，也在切线上，由（1）可得，故，.又点的坐标为.所以点的纵坐标为，即点的坐标为.故在抛物线上.（）由（）知： ，所以 .设，则.当时，即当时，取最大值.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围
