1、20182019学年度第一学期期末考试高二数学试题一、填空题：共14个小题，每小题5分，共70分请把答案写在答题卡相应位置上1.抛物线的焦点坐标是_【答案】【解析】抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为.2.某学校共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，现拟抽取一个容量为的样本，其中教师代表抽取了15人，则_【答案】20【解析】【分析】利用分层抽样的性质直接求解【详解】由已知条件抽取一个容量为n的样本，其中教师代表抽取了15人，教师共120人，由分层抽样的定义知，解得n20，故答案为：20【点睛】本题考查分
2、层抽样的性质,是基础题.3.某班60名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为_【答案】30【解析】由题意可得：则成绩不低于分的人数为人4.根据如图所示算法流程图，则输出的值是_【答案】9【解析】【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得S0，n1满足条件n6，执行循环体，S1，n3满足条件n6，执行循环体，S4，n5满足条件n6，执行循环体，S9，n7此时，不满足条件n6，退出循环，输出S的值为9故答案为：9【点睛】本题考查程序框图的应用问题，
3、解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为_【答案】0.4【解析】【分析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n和这2只球颜色相同包含的基本事件数m，由古典概型概率公式计算即可【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n10，这2只球颜色相同包含的基本事件个数m4，这2只球颜色相同的概率为p=0.4故答案为：0.4【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题6.“”是“”的_条件
4、（填充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要之一）.【答案】充分不必要【解析】试题分析：由于x0或x1当“x1”时，“”成立即“x1”是“|x|1”充分条件；当“”成立时，x1或x0，即“x1”不一定成立即“x1”是“”不必要条件“x1”是“”充分不必要条件故答案为：充分不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断7.函数的定义域是_【答案】【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足，函数定义域为考点：函数定义域8.若实数，满足约束条件则的最大值为_【答案】9【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得
5、到答案.【详解】画出约束条件表示的平面区域，如图所示；目标函数zx+2y+4可化为y，即斜率为，截距为的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，其纵截距最大，即z最大，由图可知点A（1，2），此时z取得最大值为9；所以目标函数zx+2y+4的最大值为9故答案为：9【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.若双曲线的一条渐近线方程为，则a=
6、_【答案】2【解析】双曲线的渐近线方程为，又它的一条渐近线方程为.所以a=2.10.函数的单调减区间为_【答案】【解析】【分析】求出导函数，解不等式f(x)0即可【详解】函数的定义域为x|x0，f(x)2x，由f(x)=2x，可得x,即函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间问题，解不等式f(x)0得函数的单调递增区间.11.若“R，”是真命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】结合二次函数图象可得判别式大于0，解不等式即可得所求范围【详解】若“xR，x2+2xa0”是真命题，则0，即4+4a0，解得a1故答案为：【点睛】本题考查不等式成立问题解法，注意
7、运用判别式大于0，考查运算能力，属于基础题12.函数在区间上的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用导数研究函数单调性，由单调性即可求出最大值【详解】，f(x)+cosx，令f(x)0即cosx-，又x0，2，所以 0x或x2，f（x）在0，和，2上单调递增，在上单调递减；f（x）在0，2上的最大值为f（）或f（2），而f（）=f（2），故函数的最大值为，故答案为：【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性及求函数的最值，属基础题13.已知，则的最小值为_【答案】2【解析】【分析】将分子分母同时除以得到，换元令然后t，t0，根据基本不等式求解即可得到最小值【详解】x，y0，则，设t，t0，则（t+
8、1）+222422，当且仅当t+1，即t1时取等号，此时xy，故的最小值为2，故答案为：2【点睛】本题考查利用换元的方法转为利用基本不等式求最值问题，属于中档题14.如图，椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，上顶点为，线段的中点为，直线与椭圆的另一个交点为，且垂直于轴，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】由已知分别求得A，B，C的坐标，求出M的坐标，得到AM的方程，取xc求得D的坐标，代入椭圆方程求解【详解】由已知可得，A（a，0），B（a，0），C（0，b），则M（），则AM所在直线方程为y取xc，可得D（c，），代入椭圆方程，可得，即整理得：5c2+ac4a20，则ca（舍），或5c4
9、a，e=故答案为：【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题二、解答题：共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（1）求经过点的抛物线的标准方程；（2）求以椭圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方程【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由题意设抛物线标准方程为y22px（p0）或，将点P代入求解即可（2）由题意得双曲线焦点在x轴上，可设出标准方程，通过椭圆长轴两端点分别为（5，0），（5，0），焦点为（4，0），（4，0），转化求解即可【详解】（1）由题意得抛物线的焦点在轴的负
10、半轴或轴的正半轴若抛物线的焦点在轴的负半轴上，设其标准方程为因为抛物线过点，所以，所以若抛物线的焦点在轴的正半轴上，设其标准方程为因为抛物线过点，所以，所以综上，所求抛物线的标准方程为或（2）由题意得双曲线的焦点在轴上，故可设其标准方程为（，），半焦距为，因为椭圆长轴两端点分别为，焦点为，故所求双曲线的标准方程为【点睛】本题考查根据已知条件求抛物线和双曲线的标准方程，考查转化思想以及计算能力16.已知，直线经过点（1,2）（1）求的最小值；（2）求的最小值【答案】（1）8（2）9【解析】【分析】（1）由直线经过点（1,2）可得，然后直接利用基本不等式即可得到ab最小值；（2），展开利用基本不等
11、式即可得最小值【详解】因为直线过点，所以（1）因为，所以， 当且仅当，即，时取等号，从而，即的最小值为8 （2）， 当且仅当，即时取等号，从而最小值为9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查转化思想及1的运用，属于基础题.17.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求实数的取值范围【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）结合二次函数的性质即可得到f（x）0的解集；（2）讨论m的取值，根据（m+1）x2mx+10的解集为R可得m范围【详解】（1）当时，不等式即为，解之得该不等式的解集为 （2）由题意得的解集为R当时，该不等式的解集为，不符合题意，舍；当时，不符合题
12、意，舍；当时，解之得综上所述，实数的取值范围是【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题18.如图，在等腰直角中， ，点，分别为，边上的动点，且 设，的面积为（1）试用的代数式表示；（2）当为何值时，的面积最大？求出最大面积【答案】（1）（2）当时，的面积最大，最大面积为 【解析】【分析】（1）先已知条件得到，利用相似成比例化简即可得到EC.(2)利用面积公式表示出面积，然后求导，判断单调性，由单调性即可得到最值.【详解】（1）在中， ，又，则 在和中，由得， 所以因直角中，则，所以，代入 ； （2）的面积为，则， 则 ，得 当时，所以在上单调递增；当时
13、，所以在上单调递减所以当时， 当时，的面积最大，最大面积为【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查利用导数求函数最值问题，属于基础题.19.已知椭圆：的离心率为，且过点，其右焦点为点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，连接并延长交椭圆于点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与右准线交于点（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求点的坐标【答案】（1）（2）或 【解析】【分析】（1）由离心率得出a、b、c的等量关系，再将点A的坐标代入椭圆方程，可求出a、b、c的值，从而得出椭圆C的标准方程；（2）解法1：设点P（x0，y0）（y00），对PF与x轴是否垂直进行分类讨论，在两种情况下求中点M的坐标，写出直线OM
14、的方程，并求出点N的坐标，结合条件MN2OM以及点P的坐标椭圆C的方程可求出点P的坐标；解法2：对直线PQ与x轴是否垂直进行分类讨论，在第一种情况PQx轴时，分别求出点M、N的坐标，并对条件MN2OM进行验证是否满足题意；第二种情况就是直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为yk（x1）（k0），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，并求出线段PQ的中点M的坐标，由MN2ON得出k的值，从而得出点P的坐标【详解】（1）由题意可知解得，所以椭圆的标准方程为（2）法1：设（）当时，点坐标为，点坐标为，不符合题意；当时，直线的方程为，代入的方程，消去整理得，所以中点的横坐标，因为，椭圆的
15、右准线为，所以，从而，即 又因为，所以，解得或，故点的坐标为或 法2：当直线的斜率不存在时，点坐标为，点坐标为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线：，联立得，所以中点的横坐标，因为，椭圆的右准线为，所以，从而，解之得当时，：，联立得或；当时，：，联立得或故点的坐标为或【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，问题的关键在于求出一些关键点的坐标与直线的方程，考查计算能力与转化能力，属于中档题20.已知R，函数（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；（3）求函数在上的最小值【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据切线的斜率求出a的值即可；（2）求函数导数，由函数在区间上单调递减转为在上恒成立，分离参数转为求最值问题；（3）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求函数的单调区间，由单调性可求函数最值【详解】（1）因，则而直线的斜率为，则，得 （2）由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立，得 （3）由于，所以当时，在上递增，故；当时，在上递减，故；当时，由得，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数在上最小值只能是或令 ，则， ， 于是，当时，；当时，所以，当时，；当时， 综上，在上的最小值为【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性以及求函数最值问题，属基础题.
