1、第第8章章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 8-1 应力状态的概念应力状态的概念 一、应力状态的概念一、应力状态的概念 前面研究杆件在各种基本变形下的前面研究杆件在各种基本变形下的 应力时应力时, 主要是研究杆件横截面上的应主要是研究杆件横截面上的应 力力, 并根据横截面上的最大应力建立相并根据横截面上的最大应力建立相 应的强度条件。但对某些杆件来说，仅应的强度条件。但对某些杆件来说，仅 研究横截面上的应力是不够的，有些杆研究横截面上的应力是不够的，有些杆 件破坏时并非沿着横截面。件破坏时并非沿着横截面。 受扭的铸铁圆杆受扭的铸铁圆杆 本章研究的应力状态就是研究一点本章研究的应力状态就是
2、研究一点 处的位于各个截面上的应力情况及其变处的位于各个截面上的应力情况及其变 化规律。化规律。 二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法 点的应力状态是通过单元体来研究的。单元体是微小的直角点的应力状态是通过单元体来研究的。单元体是微小的直角 六面体六面体, 研究受力杆件中某点的应力状态时研究受力杆件中某点的应力状态时, 就围绕该点截取一单就围绕该点截取一单 元体元体, 通过单元体来研究该点的各个截面上的应力及其变化规律通过单元体来研究该点的各个截面上的应力及其变化规律. 1. 轴向拉伸轴向拉伸 2. 扭转扭转 3. 弯曲弯曲 三、应力状态的分类三、应力状态的分类 平面应力状态平面应力状
3、态: 轴向拉伸轴向拉伸 扭转扭转 空间应力状态空间应力状态: 8-2 平面应力状态下任意斜截面上的应力平面应力状态下任意斜截面上的应力 由由FN=0, d -d coscos -d sinsinxyAAA +d cossin+d sincos=0 xyAA 由由FT=0, d -d cossin+d sincosxyAAA -d coscos+d sinsin=0 xyAA 22=cos+sin-2sincosxyx 根据切应力互等定理根据切应力互等定理: =xy由此得由此得: 22=(-)sincos+(cos-sin)xyx 8-2 平面应力状态下任意斜截面上的应力平面应力状态下任意斜截面
4、上的应力 22=cos+sin-2sincosxyx 22=(-)sincos+(cos-sin)xyx 将三角关系式将三角关系式: 221cos=(1cos2 )21sin=(1cos2 )22sincos=sin2 代入下述二式代入下述二式, 得得: +-=+cos2 -sin222xyxyx -=sin2 +cos22xyx 平面应力状态下任平面应力状态下任 意斜截面上正应力意斜截面上正应力 和切应力计算公式和切应力计算公式 +-=+cos2 -sin222-=sin2 +cos22xyxyxxyx 公式是从平面应力状态的一般情况导出公式是从平面应力状态的一般情况导出 的的, 因此因此,
5、 它适用于所有平面应力状态。它适用于所有平面应力状态。 +-=+cos2 -sin222-=sin2 +cos22xyxyxxyx 应力分量凡与图中的方向一致者为正应力分量凡与图中的方向一致者为正, 反之为负反之为负, 即即: +-=+cos2 -sin222-=sin2 +cos22xyxyxxyx 例例8-1 求求a-b面上的正应力和切应力。面上的正应力和切应力。 41.9 N 3067.3 解解: 此例中此例中=30。 =80MPa, =40MPa, =20MPaxyx804080+40=+cos60 +20sin60MPa22 =67.3MPa8040=sin6020cos60MPa2
6、 =41.9MPa8-3 主应力和极值切应力主应力和极值切应力 +-=+cos2 -sin222-=sin2 +cos22xyxyxxyx 一、主应力一、主应力 1. 主应力的概念主应力的概念 当某截面上的切应力等于零时当某截面上的切应力等于零时, 将该截面称为主平面将该截面称为主平面, 即切应即切应 力等于零的截面称为主平面。主平面上的正应力则称为主应力。力等于零的截面称为主平面。主平面上的正应力则称为主应力。2. 主平面的位置主平面的位置 设主平面的方位角为设主平面的方位角为0, 则根据主平面的定义有则根据主平面的定义有: 00-sin2+cos2=02xyx02tan2=xxy 3. 主
7、应力的计算公式主应力的计算公式 2222+-=+22-=22xyxyxxyxyx 主主主主由三角函数知由三角函数知: 00tan2(+90 )=tan2 2222+-=+22-=22xyxyxxyxyx 主主主主4. 主应力值的特点主应力值的特点 +-=+cos2 -sin222-=sin2 +cos22xyxyxxyx d=2sin22cos2=0d2xyx 2tan2=xxy 02tan2=xxy 由此求得由此求得: 可见可见: 0= +-=+cos2 -sin222-=sin2 +cos22xyxyxxyx 二、极值切应力二、极值切应力 11d=2cos22sin2=0d2xyx 1ta
8、n2=2xyx 由此求得由此求得: 2max2min-=2xyx切应力极值的计算公式切应力极值的计算公式: 归纳归纳: 切应力等于零的截面称为主平面切应力等于零的截面称为主平面, 主平面上的主应力主平面上的主应力 称为主应力。称为主应力。 平面应力状态下平面应力状态下, 任一点处一般均存在一对不为零的任一点处一般均存在一对不为零的 主应力主应力, 二主应力的所在截面相差二主应力的所在截面相差90。 任一点的主应力值是任一点的主应力值是 过该点的垂直于纸面各截面过该点的垂直于纸面各截面 上主应力中的极值。上主应力中的极值。 例例8-2 由受力杆件中围绕某点截取的单元体如图所示由受力杆件中围绕某点
9、截取的单元体如图所示, 试求试求 该点的主应力。该点的主应力。 22+-=+22xyxyx 主主22-=22xyxyx 主主22406040+60=MPa+20 MPa22=40MPa, =60MPa, =20MPaxyx 解解: =43.8MPa22406040+60=MPa20 MPa22=63.8MPa 8-4 平面应力状态下的几种特殊情况平面应力状态下的几种特殊情况 任意斜截面上的应力计算公式任意斜截面上的应力计算公式: 主应力计算公式主应力计算公式: 切应力极值计算公式切应力极值计算公式: +-=+cos2 -sin222-=sin2 +cos22xyxyxxyx (8-1) (8-
10、2) 2222+-=+22-=22xyxyxxyxyx 主主主主(8-4) 2max2min-=2xyx(8-6) 一、轴向拉伸一、轴向拉伸 此时此时: =0, =0yx任意斜截面上的应力计算公式变为任意斜截面上的应力计算公式变为: 主应力计算公式变为主应力计算公式变为: 切应力极值计算公式变为切应力极值计算公式变为: =(1+cos2 )2x =, =0 x主主主主maxmin=2x =sin22x 二、扭转二、扭转 此时此时: =0, =0 xy任意斜截面上的应力计算公式变为任意斜截面上的应力计算公式变为: =sin2x =cos2x 主应力计算公式变为主应力计算公式变为: =, =xx
11、主主主主切应力极值计算公式变为切应力极值计算公式变为: maxmin=x =, =xx 主主主主=, =xx 主主主主 例例8-3 受扭圆杆直径受扭圆杆直径d=50mm, Me=400Nm, 求求1-1截面边缘处截面边缘处A点的主应力。点的主应力。 解解: 绕绕A点截取一单元体点截取一单元体; 计算单元体上的应力计算单元体上的应力: x是是1-1截面截面(横截面横截面)上上A点的切应力点的切应力, 根据扭转应力计算公根据扭转应力计算公 式式, 得得: P=xTW e33316 400N m=16.3MPa0.05 m16Md 按主应力公式计算主应力按主应力公式计算主应力: =16.3MPax
12、主主=16.3MPax 主主三、弯曲三、弯曲 此时此时: =0y 任意斜截面上的应力计算公式变为任意斜截面上的应力计算公式变为: =+cos2 -sin222xxx =sin2 +cos22xx 主应力计算公式变为主应力计算公式变为: 22=+,22xxx 主主22=22xxx 主主切应力极值计算公式变为切应力极值计算公式变为: 2max2min=2xx 例例8-4 图示矩形截面简支梁图示矩形截面简支梁, 在梁的在梁的1-1截面处截面处, 从从1、2、3、4、5各点截取五个单元体各点截取五个单元体, 其中其中, 点点1和点和点5位于上、下边缘位于上、下边缘, 点点3 位于位于h/2处。试画出每
13、个单元体上的应力情况处。试画出每个单元体上的应力情况, 并注明其方向。并注明其方向。 8-6 空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力 空间应力状态下空间应力状态下, 同样存在主平面与主同样存在主平面与主 应力应力, 其概念与平面应力状态完全相同其概念与平面应力状态完全相同, 即即 切应力等于零的平面为主平面切应力等于零的平面为主平面, 主平面上的主平面上的 正应力为主应力正应力为主应力. 任一点均存在三个主应力任一点均存在三个主应力 且三个主应力所在的主平面相互垂直且三个主应力所在的主平面相互垂直, 三个三个 主应力具有以下关系主应力具有以下关系: 1
14、23例如例如: 1=40MPa 2=50MPa 3=60MPa 最大切应力计算公式为最大切应力计算公式为: 13max=2 对于本单元体对于本单元体: 13max=2 40( 60)=50MPa2 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 123=, =0, =0 x轴向压缩时则为轴向压缩时则为: 123=0, =0, =x 扭转扭转 =, =xx 主主主主因此有因此有: 123=, =0, =xx 主主主主 弯曲弯曲 从受弯杆件中截取单元体从受弯杆件中截取单元体, 该点的两个该点的两个 主应力为主应力为: 22=+,22xxx 主主22=22xxx 主主(该主应力为正值该主应力为正值) (该主应力为负值
15、该主应力为负值) 按三个主应力数值排列按三个主应力数值排列, 则为则为: 221=+,22xxx 主主2=0, 223=22xxx 主主8-7 广义胡克定律广义胡克定律 单向应力状态时的胡克定律单向应力状态时的胡克定律: =E纵向应变纵向应变 =E 横向应变横向应变: =E 广义胡克定律广义胡克定律: 空间应力状态下应力与应变间的关系。空间应力状态下应力与应变间的关系。 11=E 21=E 31=E 111=+11231=(+)E 312=EEE 11=E 21=E 31=E 111=+11231=(+)E 312=EEE 1123223133121=(+)1=(+)1=(+)EEE 空间应力
16、状态下广空间应力状态下广 义义 胡克定律表达式胡克定律表达式 1123223133121=(+)1=(+)1=(+)EEE 主应变主应变 1122213121=1=+EEE 当单元体各面上还有切应力时当单元体各面上还有切应力时, 由进一步的理论研究可知由进一步的理论研究可知, 对各向同对各向同 性材料来说性材料来说, 只要应力不超过比例极只要应力不超过比例极 限且变形是微小的限且变形是微小的, 上述关系仍然成上述关系仍然成 立立, 例如图示单元体例如图示单元体: 1=1=+xxyyyxzxyEEE 1=1=+xxyyyxzxyEEE 例例8-7 某点应力状态如图示某点应力状态如图示, 已知已知
17、E=2105MPa, =0.3, 求求 该点沿该点沿x方向的线应变方向的线应变x。 解解: 该点为平面应力状态该点为平面应力状态, 根据胡克定根据胡克定 律有律有: 1=xxyE 51=300.3 ( 40) MPa2 10 MPa =0.00021 1=1=+xxyyyxzxyEEE 例例8-8 边长为边长为10mm的正方体钢块放置在刚性槽内的正方体钢块放置在刚性槽内, 刚性槽的刚性槽的 高、宽均为高、宽均为10mm. 钢块的顶面上作用有钢块的顶面上作用有q=120106N/m2=120MPa的均布压力的均布压力, 已知钢材的已知钢材的=0.3, 试求钢块中沿试求钢块中沿x、y、z三方向的正
18、三方向的正应力应力x、y、z。 解解: 钢块在钢块在q作用下要发生变形作用下要发生变形, 由于槽是刚性的由于槽是刚性的, 钢块沿钢块沿x方向无线应方向无线应 变而有正应力变而有正应力; 沿沿z方向有线应变而无方向有线应变而无 正应力正应力; 沿沿y方向有方向有q作用作用, y方向既有方向既有 正应力又有变形且相当于轴向压缩正应力又有变形且相当于轴向压缩: = =120MPayq 1=0 xxyE =xy=0.3 (120MPa) =36MPa =36MPa=120MPa=0 xyz 8-8 强度理论强度理论 一、强度理论的概念一、强度理论的概念 在第在第2章、第章、第3章和第章和第6章中章中,
19、 对杆件进行强度计算时对杆件进行强度计算时, 总是先总是先 计算横截面上的最大正应力或最大切应力计算横截面上的最大正应力或最大切应力, 然后分别从两个方面然后分别从两个方面 建立其强度条件建立其强度条件, 即即: 正应力强度条件正应力强度条件: Nmax= FA(单向拉伸或压缩单向拉伸或压缩) maxmax=zMW(弯曲弯曲) 切应力强度条件切应力强度条件: S,max,maxmax= zzFSI bSmax= FA(剪切剪切) maxp= TW(扭转切应力扭转切应力) (弯曲切应力弯曲切应力 ) 8-8 强度理论强度理论 一、强度理论的概念一、强度理论的概念 正应力强度条件正应力强度条件:
20、Nmax= FA(单向拉伸或压缩单向拉伸或压缩) maxmax=zMW(弯曲弯曲) 切应力强度条件切应力强度条件: S,max,maxmax= zzFSI bSmax= FA(剪切剪切) maxp= TW(扭转切应力扭转切应力) (弯曲切应力弯曲切应力 ) 工程中有些受力杆件的危险点工程中有些受力杆件的危险点, 不是像拉伸那样处于单向应不是像拉伸那样处于单向应 力状态力状态, 而是处于二向或三向应力状态而是处于二向或三向应力状态, 即处于复杂应力状态。即处于复杂应力状态。 8-8 强度理论强度理论 一、强度理论的概念一、强度理论的概念 二、常用的四种强度理论二、常用的四种强度理论 1. 材料的
21、破坏形式材料的破坏形式 塑性流动塑性流动(一般指塑性材料一般指塑性材料): 当应力达到材料的屈服极限时当应力达到材料的屈服极限时, 材料要发生明显的屈服现象材料要发生明显的屈服现象, 这时材料发生较大的塑性变形这时材料发生较大的塑性变形, 尽尽 管这时材料没有完全破坏管这时材料没有完全破坏, 但由于塑性变形比较大但由于塑性变形比较大, 工程中则认工程中则认 为已经不能正常工作为已经不能正常工作, 所以将塑性流动看成为一种破坏形式。所以将塑性流动看成为一种破坏形式。 脆性断裂脆性断裂(一般指脆性材料一般指脆性材料): 脆性材料脆性材料(例如铸铁例如铸铁)拉伸时拉伸时, 不不 出现屈服现象出现屈服
22、现象, 也不发生明显的塑性变形也不发生明显的塑性变形, 当应力达到一定值时当应力达到一定值时, 材料发生断裂材料发生断裂, 这种破坏形式称为脆性断裂。这种破坏形式称为脆性断裂。 进一步的研究表明进一步的研究表明, 材料的破坏形式不是唯一的材料的破坏形式不是唯一的, 它还与材它还与材 料所处的应力状态有关。破坏形式与应力状态间的关系比较复料所处的应力状态有关。破坏形式与应力状态间的关系比较复 杂杂, 这里不作详细讨论。下面就上述两种破坏形式介绍四种强这里不作详细讨论。下面就上述两种破坏形式介绍四种强 度理论。度理论。 2. 常用的四种强度理论常用的四种强度理论 最大拉应力理论最大拉应力理论(又称
23、第一强度理论又称第一强度理论) 这个理论认为这个理论认为, 最大正应力最大正应力(拉应力或压应力拉应力或压应力)是材料达到极是材料达到极 限状态的决定因素。即在一个单元体的三个主应力中限状态的决定因素。即在一个单元体的三个主应力中, 只要任何只要任何 一个主应力达到由单向拉伸一个主应力达到由单向拉伸(压缩压缩)试验测得的极限应力试验测得的极限应力0时时, 材材 料就达到了极限状态。料就达到了极限状态。 按此理论按此理论, 材料的极限条件为材料的极限条件为: 01=考虑一定的安全储备考虑一定的安全储备, 强度条件为强度条件为: 01K 1 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论(又称第二强度理论又
24、称第二强度理论) 按此理论按此理论, 材料的极限条件为材料的极限条件为: 01=根据广义胡克定律根据广义胡克定律: 11231=()E 轴向拉伸材料断裂时的最大伸长线应变为轴向拉伸材料断裂时的最大伸长线应变为: 00=E 因此因此, 材料发生脆性断裂的条件为材料发生脆性断裂的条件为: 01231() =EE 即即: 0123()= 考虑一定的安全储备考虑一定的安全储备, 强度条件为强度条件为: 123() 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论(又称第二强度理论又称第二强度理论) 最大切应力理论最大切应力理论(又称第三强度理论又称第三强度理论) 按此理论按此理论, 材料的极限条件为材料的极限条件
25、为: 0max=复杂应力状态下的最大切应力复杂应力状态下的最大切应力: 13max=2 单向拉伸材料发生塑性流动时的最大切应力为单向拉伸材料发生塑性流动时的最大切应力为: 00=2 因此因此, 材料发生塑性流动的条件为材料发生塑性流动的条件为: 013=22 考虑一定的安全储备考虑一定的安全储备, 强度条件为强度条件为: 013= 13 形状改变比能理论形状改变比能理论(又称第四强度理论又称第四强度理论) 也称为能量理论也称为能量理论, 它认为形状改变比能是使材料达到危险状它认为形状改变比能是使材料达到危险状 态的决定因素。该理论认为态的决定因素。该理论认为, 材料发生塑性流动材料发生塑性流动
26、(屈服屈服)是由能量是由能量 引起的引起的, 当复杂应力状态下积蓄在单位体积内的应变能当复杂应力状态下积蓄在单位体积内的应变能(指形状改指形状改 变能变能)达到一定数值时达到一定数值时, 材料就发生塑性流动。材料就发生塑性流动。 按该理论导出的强度条件为按该理论导出的强度条件为: 2221223311+ 2第一强度理论中的相当应力第一强度理论中的相当应力: 11=r第二强度理论中的相当应力第二强度理论中的相当应力: 2123=()r 第三强度理论中的相当应力第三强度理论中的相当应力: 313=r 第四强度理论中的相当应力第四强度理论中的相当应力: 22241223311=+2r1 r2 r3
27、r4 r 例例8-9 由由3号钢制成的某一受力杆件号钢制成的某一受力杆件, 其危险点处的应力情况其危险点处的应力情况 如图所示如图所示, 已知已知=160MPa. 试分别用第三和第四强度理论校核试分别用第三和第四强度理论校核 该危险点处的强度。该危险点处的强度。 解解: 先求该点的主应力先求该点的主应力, 然后求相当应力然后求相当应力. 22+-=+22xyxyx 主主22-=22xyxyx 主主22603060+30=MPa+40 MPa22=75.2MPa22603060+30=MPa+40 MPa22=45.2MPa按主应力数值排列按主应力数值排列, 则为则为: 123=75.2MPa,
28、 =0, =45.2MPa 例例8-9 由由3号钢制成的某一受力杆件号钢制成的某一受力杆件, 其危险点处的应力情况其危险点处的应力情况 如图所示如图所示, 已知已知=160MPa. 试分别用第三和第四强度理论校核试分别用第三和第四强度理论校核 该危险点处的强度。该危险点处的强度。 123=75.2MPa, =0, =45.2MPa 按第三强度校核按第三强度校核 相当应力相当应力: 313=r =75.2MPa( 45.2MPa) =120.4MPa 满足满足! 按第四强度校核按第四强度校核 相当应力相当应力: 22241223311=+2r 2221=75.20+ 045.2+45.275.2
29、MPa2=105.3MPa 满足满足! 解解: 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图; 校核正应力强度校核正应力强度: 梁跨中梁跨中: max=50.3kN mM74=458 10 mzI63=382 10 mzW3maxmax6359.3 10 N m=382 10 mzMW =131.7MPa 满足满足! 74=458 10 mzI 校核切应力强度校核切应力强度: ,max=123kNSF63,max=222 10 mzSS,max,maxmax=zzFSI b 363742123 10 N222 10 m=458 10 m1 10 m =59.5MPa 满足满足! 74=458 10 mzI
30、74=458 10 mzI 按强度理论校核截面按强度理论校核截面C(或或D)上上 E点点(或或F点点)的强度的强度: =ExzMyI 37449 10 N m=0.108m458 10 m=115.4MPaSE=zxzF SI b 363742122 10 N 164 10 m=458 10 m1 10 m =43.7MPa=115.4MPa, =0,=43.7MPaxyx74=458 10 mzIE点的主应力点的主应力: 22+-=+22xyxyx 主主=115.4MPa, =0,=43.7MPaxyx22-=22xyxyx 主主E点的主应力点的主应力: 22+-=+22xyxyx 主主=115.4MPa, =0,=43.7MPaxyx22-=22xyxyx 主主22=+22xxx 22=22xxx 1= 3= 2=0 采用第三强度理论采用第三强度理论: 313=r 22=22xx 22=24xx 22= 115.4 +4 43.7 MPa=144.8MPa 满足满足!
