1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.1 椭圆及其性质 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 1.椭圆的定义和标准方程 1.了解圆锥曲线的实际背景 ,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 . 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程 . 掌握 21,15分 19,5分 7(文 ), 5分 7,5分 2.椭圆的几何性质 1.掌握椭圆的简单几何性质 . 2.理解数形结合的思想 . 掌握 9,5分 21(1), 7分 15(文 ), 4分 19(2), 约 7分 2,4分 分析解读 1.椭圆是圆锥曲线中最重要的内容 ,是高考
2、命题的热点 . 2.考查椭圆及其标准方程 ,椭圆的简单几何性质 . 3.考查把几何条件转化为代数形式的能力 . 4.预计 2019年高考中 ,椭圆的考查必不可少 ,考查仍然集中在椭圆及其标准方程 ,椭圆的简单几何性质 ,以及与椭圆有关的综合问题上 . 五年高考 考点一 椭圆的定义和标准方程 1.(2014大纲全国 ,6,5分 )已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点为 F1、 F2,离心率为 ,过 F2的直线 l交 C于A、 B两点 .若 AF 1B的周长为 4 ,则 C的方程为 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1 答案 A 2.(2014辽宁 ,
3、15,5分 )已知椭圆 C: + =1,点 M与 C的焦点不重合 .若 M关于 C的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN的中点在 C上 ,则 |AN|+|BN|= . 答案 12 3.(2014 安徽 ,14,5 分 )设 F1,F2分别是椭圆 E:x2+ =1(0b0)的离心率为 ,且右焦点 F到左准线 l的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程 ; (2)过 F的直线与椭圆交于 A,B两点 ,线段 AB的垂直平分线分别交直线 l和 AB于点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB的方程 . 解析 (1)由题意 ,得 = 且 c+ =3, 解得 a= ,c=1,则 b=1, 所以椭圆的标准方
4、程为 +y2=1. (2)当 AB x轴时 ,AB= ,又 CP=3,不合题意 . 当 AB与 x轴不垂直时 ,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将 AB的方程代入椭圆方程 ,得 (1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则 x1,2= ,C的坐标为 ,且AB= = = . 若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y轴 ,与左准线平行 ,不合题意 . 从而 k0, 故直线 PC 的方程为 y+ =- , 则 P点的坐标为 , 从而 PC= . 因为 PC=2AB, 所以 = , 解得 k=1. 此时直线 AB 方程为 y=x-1或 y=-
5、x+1. 5.(2015福建 ,18,13分 )已知椭圆 E: + =1(ab0)过点 (0, ),且离心率 e= . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求椭圆 E的方程 ; (2)设直线 l:x=my-1(mR) 交椭圆 E于 A,B两点 ,判断点 G 与以线段 AB为直径的圆的位置关系 ,并说明理由 . 解析 解法一 :(1)由已知得 解得 所以椭圆 E的方程为 + =1. (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为 H(x0,y0). 由 得 (m2+2)y2-2my-3=0, 所以 y1+y2= ,y1y2=- ,从而 y0= . 所以 |GH|2= + = +
6、 =(m2+1) + my0+ . = = = =(1+m2)( -y1y2), 故 |GH|2- = my0+(1+m2)y1y2+ = - + = 0,所以 |GH| . 故点 G 在以 AB为直径的圆外 . 解法二 :(1)同解法一 . (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 = , = . =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 得 (m2+2)y2-2my-3=0, 所以 y1+y2= ,y1y2=- , 从而 = +y1y2= +y1y2=(m2+1)y1y2+ m(y1+y2)+ = + + = 0, 所以 cos0.又 , 不共线 ,所以 AGB 为锐角 . 故点 G
7、 在以 AB为直径的圆外 . 教师用书专用 (6) 6.(2014江苏 ,17,14分 )如图 ,在平面直角坐标系 xOy中 ,F1、 F2分别是椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点 ,顶点 B的坐标为 (0,b),连接 BF2并延长交椭圆于点 A,过点 A作 x轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. (1)若点 C的坐标为 ,且 BF2= ,求椭圆的方程 ; (2)若 F1CAB, 求椭圆离心率 e的值 . 解析 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0). (1)因 为 B(0,b),所以 BF2= =a. 又 BF2= ,故 a= . 因为点 C 在椭圆上 ,所以 +
8、 =1,解得 b2=1. 故所求椭圆的方程为 +y2=1. (2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上 , 所以直线 AB 的方程为 + =1. 解方程组 得 =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以点 A的坐标为 . 又 AC垂直于 x轴 ,由椭圆的对称性 ,可得点 C的坐标为 . 因为直线 F1C的斜率为 = ,直线 AB 的斜率为 - ,且 F1CAB, 所以 =-1.又 b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故 e2= .因此 e= . 考点二 椭圆的几何性质 1.(2017浙江 ,2,4分 )椭圆 + =1的离心率是 ( ) A. B. C. D. 答案 B 2.(201
9、3浙江 ,9,5分 )如图 ,F1,F2是椭圆 C1: +y2=1与双曲线 C2的公共焦点 ,A,B分别是 C1,C2在第二、四象限的公共点 .若四边形 AF1BF2为矩形 ,则 C2的离心率是 ( ) A. B. C. D. 答案 D 3.(2017课标全国 文 ,12,5 分 )设 A,B是椭圆 C: + =1 长轴的两个端点 .若 C上存在点 M满足 AMB=120, 则m的取值范围是 ( ) A.(0,19, +) B.(0, 9,+) C.(0,14,+) D.(0, 4,+) 答案 A 4.(2017课标全国 理 ,10,5 分 )已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右顶点分别
10、为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切 ,则 C的离心率为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. B. C. D. 答案 A 5.(2016课标全国 ,11,5 分 )已知 O为坐标原点 ,F是椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点 ,A,B分别为 C的左 ,右顶点 .P为 C上一点 ,且 PFx 轴 .过点 A的直线 l与线段 PF交于点 M,与 y轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE的中点 ,则 C的离心率为 ( ) A. B. C. D. 答案 A 6.(2016江苏 ,10,5分 )如图 ,在平面直角坐标系 xOy中 ,F是椭圆 +
11、=1(ab0)的右焦点 ,直线 y= 与椭圆交于B,C两点 ,且 BFC=90, 则该椭圆的离心率是 . 答案 7.(2014江西 ,15,5分 )过点 M(1,1)作斜率为 - 的直线与椭圆 C: + =1(ab0)相交于 A,B两点 ,若 M是线段 AB的 中点 ,则椭圆 C的离心率等于 . 答案 8.(2016浙江 ,19,15分 )如图 ,设椭圆 +y2=1(a1). (1)求直线 y=kx+1被椭圆截得的线段长 (用 a,k表示 ); (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点 ,求椭圆离心率的取值范围 . 解析 (1)设直线 y=kx+1被椭圆截得的线段为 A
12、P, 由 得 (1+a2k2)x2+2a2kx=0, 故 x1=0,x2=- . =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此 |AP|= |x1-x2|= . (2)假设圆与椭圆的公共点有 4个 ,由对称性可设 y轴左侧的椭圆上有两 个不同的点 P,Q,满足 |AP|=|AQ|. 记直线 AP,AQ的斜率分别为 k1,k2,且 k1,k20,k1k 2. 由 (1)知 ,|AP|= ,|AQ|= , 故 = , 所以 ( - )1+ + +a2(2-a2) =0. 由于 k1k 2,k1,k20得 1+ + +a2(2-a2) =0, 因此 =1+a2(a2-2), 因为 式关于 k1,k2的方程
13、有解的充要条件是 1+a2(a2-2)1,所以 a . 因此 ,任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点的充要条件为 1b0)的左焦点为 F(-c,0),右顶点为 A,点 E的坐标为 (0,c),EFA的面积为 . (1)求椭圆的离心率 ; (2)设点 Q在线段 AE上 ,|FQ|= c,延长线段 FQ与椭圆交于点 P,点 M,N在 x轴上 ,PMQN, 且直线 PM与直线 QN间的距离为 c,四边形 PQNM 的面积为 3c. (i)求直线 FP的斜率 ; (ii)求椭圆的方程 . 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识 .考查用代数方法研究 圆锥曲
14、线的性质和方程思想 .考查运算求解能力 ,以及综合分析问题和解决问题的能力 . (1)设椭圆的离心率为 e.由已知 ,可得 (c+a)c= . 又由 b2=a2-c2,可得 2c2+ac-a2=0,即 2e2+e-1=0. 又因为 00),则直线 FP 的斜率为 . 由 (1)知 a=2c,可得直线 AE 的方程为 + =1,即 x+2y-2c=0,与直线 FP的方程联立 ,可解得 x= ,y= ,即点 Q的坐标为 .由已知 |FQ|= c,有 + = ,整理得 3m2-4m=0,所以 m= ,即直线 FP 的斜率为 . (ii)由 a=2c,可得 b= c,故椭圆方程可以表示为 + =1.
15、由 (i)得直线 FP的方程为 3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去 y, 整理得 7x2+6cx-13c2=0, 解得 x=- (舍去 ),或 x=c.因此可得点 P ,进而可得 |FP|= = ,所以 |PQ|=|FP|-|FQ|= - =c. 由已知 ,线段 PQ的长即为 PM与 QN 这两条平行直线间的距离 ,故直线 PM和 QN都垂直于直线 FP. 因为 QNFP, 所以 |QN|=|FQ|tanQFN= = ,所以 FQN 的面积为 |FQ|QN|= ,同理 FPM 的面积等于,由四边形 PQNM的面积为 3c,得 - =3c,整理得 c2=2c,又由 c0,得 c=2.
16、所以 ,椭圆的方程为 + =1. 10.(2015重庆 ,21,12分 )如图 ,椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2的直线交椭圆于 P,Q两点 ,且 PQPF 1. (1)若 |PF1|=2+ ,|PF2|=2- ,求椭圆的标准方程 ; (2)若 |PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e. 解析 (1)由椭圆 的定义 ,有 2a=|PF1|+|PF2|=(2+ )+(2- )=4,故 a=2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1PF 2,得 2c=|F1F2|= = =2 ,即 c= ,从而b= =1. 故所求椭圆的标准方程为
17、+y2=1. (2)解法一 :连接 F1Q,如图 ,设点 P(x0,y0)在椭圆上 ,且 PF1PF 2, 则 + =1, + =c2, 求得 x0= ,y0= . 由 |PF1|=|PQ|PF2|得 x00, 从而 |PF1|2= + =2(a2-b2)+2a =(a+ )2. 由椭圆的定义 ,有 |PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a. 从而由 |PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有 |QF1|=4a-2|PF1|. 又由 PF1PF 2,|PF1|=|PQ|,知 |QF1|= |PF1|. 因此 (2+ )|PF1|=4a,即 (2+ )(a+ )=4a,
18、于是 (2+ )(1+ )=4, 解得 e= = - . 解法二 :连接 F1Q,由椭圆的定义 ,有 |PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由 |PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由 PF1PQ,|PF 1|=|PQ|,知 |QF1|= |PF1|, 因此 ,4a-2|PF1|= |PF1|,得 |PF1|=2(2- )a, 从而 |PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2- )a=2( -1)a. 由 PF1PF 2,知 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2, =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此 e= = = = = - . 教师用书专用 (11 15) 11.(2013辽宁 ,15,5分 )已知椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点为 F,C与过原点的直线相交于 A,B两点 ,连接AF,BF.若 |AB|=10,|AF|=6,cosABF= ,则 C的离心率 e=
