1、=【;精品教育资源文库】=第三章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示1函数与映射的概念函数 映射两集合A， B设 A， B 是两个非空的数集 设 A， B 是两个非空的集合对应关系f： A B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应名称称 f： A B 为从集合 A 到集合B 的一个函数称对应 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记法 y f(x)， x A 对应 f： A B 是一个映射2
2、函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数 y f(x)， x A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A叫做函数的值域显然，值域是集合 B 的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数小题体验=【;精品教育资源文库】=1(2018台
3、州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是( )A f(x) x2， g(x) x2B f(x) ， g(x) x 2x x x 2C f(x)1， g(x)( x1) 0D f(x) ， g(x) x3x2 9x 3解析：选 B 选项 A 中， f(x) x2与 g(x) 的定义域相同，但对应关系不同；选项x2B 中，二者的定义域都为 x|x0，对应关系也相同；选项 C 中， f(x)1 的定义域为R， g(x)( x1) 0的定义域为 x|x1；选项 D 中， f(x) 的定义域为 x|x3，x2 9x 3g(x) x3 的定义域为 R.2若函数 y f(x)的定义域为 M x|2 x2，值
4、域为 N y|0 y2，则函数y f(x)的图象可能是( )答案：B3(2018金华调研)已知函数 f(x) 的定义域为 M， g(x)ln(1 x)的定义域11 x2为 N，则 M(? RN)( )A x|x1 B x|x1C? D x|1 x1解析：选 A 因为函数 f(x) 的定义域为 M x|1 x1，11 x2g(x)ln(1 x)的定义域为 N x|x1，所以? RN x|x1，M(? RN) x|1 x1 x|x1 x|x1故选 A.4已知 f(x)3 x32 x1，若 f(a)2，则 f( a)_.解析： f(x)3 x32 x1， f(a) f( a)3 a32 a13( a
5、)32( a)12， f( a)2 f(a)0.答案：0=【;精品教育资源文库】=1求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域2分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成” 求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论小题纠偏1(2018嘉兴模拟)已知函数 f(x)Error!则 f _，方程 f(x)2 的解(f(12)为_解析： f f f(1)0.(f(12) (log212)当 x0 时，log 2x2，得 x4；当 x0 时， x2 x2，得 x2 或 x1(舍去)所以 f(x)2 的解为2 或 4.答案：0 2 或 4
6、2已知 f x25 x，则 f(x)_.(1x)解析：令 t ，1x x .1t f(t) .1t2 5t f(x) (x0)5x 1x2答案： (x0)5x 1x2考 点 一 函 数 的 定 义 域 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1函数 f(x)ln( x2 x)的定义域为( )A(0,1) B0,1C(，0)(1，) D(，01，)解析：选 C 由题意知， x2 x0，即 x1.则函数的定义域为(，0)(1，)，故选 C.=【;精品教育资源文库】=2(2018金华模拟)若函数 y f(x)的定义域是0,2，则函数 g(x) 的定义f 2xln x域是( )A(0,1)
7、 B0,1)C0,1)(1,4 D0,1解析：选 A 根据题意Error!解得 0 x1，故选 A.3(2018湖州模拟)若函数 f(x) 定义域为 R，则实数 a 的取值x2 a 1 x 1x2 x 1范围为( )A3，1 B1,3C1,3 D3,1解析：选 D 若函数 f(x) 定义域为 R，x2 a 1 x 1x2 x 1则 x2( a1) x10 在 R 上恒成立， ( a1) 240，解得3 a1，故选 D.4函数 f(x) (a0 且 a1)的定义域为_1 |x 1|ax 1解析：由Error!?Error!?0 x2，故所求函数的定义域为(0,2答案：(0,2谨记通法函数定义域的
8、求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)抽象函数：若已知函数 f(x)的定义域为 a， b，其复合函数 f(g(x)的定义域由不等式 a g(x) b 求出；若已知函数 f(g(x)的定义域为 a， b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x a， b时的值域考 点 二 求 函 数 的 解 析 式 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领(1)已知 f x2 ，求 f(x)的解析式；(x1x) 1x2(2)已知 f lg x，求 f(x)的解析式；(2x 1)=【;精品教育资源文库】=(
9、3)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)0， f(x1) f(x) x1，求 f(x)；(4)已知函数 f(x)满足 f( x)2 f(x)2 x，求 f(x)的解析式解：(1)(配凑法)由于 f x2 22，(x1x) 1x2 (x 1x)所以 f(x) x22， x2 或 x2，故 f(x)的解析式是 f(x) x22， x2 或 x2.(2)(换元法)令 1 t 得 x ，代入得 f(t)lg ，又 x0，所以 t1，2x 2t 1 2t 1故 f(x)的解析式是 f(x)lg ， x1.2x 1(3)(待定系数法)设 f(x) ax2 bx c(a0)，由 f(0)0，知 c0， f
10、(x) ax2 bx，又由 f(x1) f(x) x1，得 a(x1) 2 b(x1) ax2 bx x1，即 ax2(2 a b)x a b ax2( b1) x1，所以Error! 解得 a b .12所以 f(x) x2 x， xR.12 12(4)(解方程组法)由 f( x)2 f(x)2 x，得 f(x)2 f( x)2 x，2，得，3 f(x)2 x1 2 x.即 f(x) .2x 1 2 x3 f(x)的解析式是 f(x) .2x 1 2 x3由题悟法求函数解析式的 4 种方法=【;精品教育资源文库】=即时应用1已知 f( 1) x2 ，求 f(x)的解析式x x解：法一：(换元
11、法)设 t 1，x则 x( t1) 2， t1，代入原式有f(t)( t1) 22( t1) t22 t12 t2 t21.故 f(x) x21， x1.法二：(配凑法) x2 ( )22 11( 1) 21，x x x x f( 1)( 1) 21， 11，即 f(x) x21， x1.x x x2设 y f(x)是二次函数，方程 f(x)0 有两个相等实根，且 f( x)2 x2，求 f(x)的解析式解：设 f(x) ax2 bx c(a0)，则 f( x)2 ax b2 x2， a1， b2， f(x) x22 x c.又方程 f(x)0 有两个相等实根， 44 c0，解得 c1.故 f
12、(x) x22 x1.考 点 三 分 段 函 数 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与方程、不等式问题 =【;精品教育资源文库】=题点全练角度一：分段函数的函数求值问题1(2018杭州四校联考)已知函数 f(x)Error!则 f(f(4)的值为( )A B919C. D919解析：选 C 因为 f(x)Error!所以 f(f(4) f(2) .19角度二：分段函数的自变量求值问题2(2018杭州模拟)设函数 f(x
13、)Error!，则 f(f(4)_；若 f(a)1，则a_.解析：函数 f(x)Error!则 f(4)24 2131.f(f(4) f(31)log 2(131)5.当 a1 时， f(a)1，可得2 a211，解得 a1；当 a1 时， f(a)1，可得 log2(1 a)1，解得 a .12答案：5 1 或12角度三：分段函数与方程、不等式问题3(2018湖州模拟)已知函数 f(x)Error!则 f(f(2)_；若 f(x)2，则实数 x 的取值范围是_解析：由分段函数的表达式得 f(2)log 221，f(1)2 12，则 f(f(2)2.若 x0，由 f(x)2 得 2x2，所以
14、x1，若 x0，由 f(x)2 得 log2( x)2，即 x4，所以 x4，综上，实数 x 的取值范围为(，41，)答案：2 (，41，)通法在握1分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验=【;精品教育资源文库】=2分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来演练冲关1(2018杭州六校联考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2 f(x)，且当 0 x1时， f(x) x2 x，则 f ( )(32)A B12 14C D18 116解析：选 D f(x1)2 f(x)， f(x) f(x1)，12 f f f(32) 121 ( 32) 12( 12) f f ，14(1 12) 14(12)又当 0 x1 时， f(x) x2 x， f .14(12) 14 (12)2 12 116原式 ，故选 D.1162设函数 f(x)Error!则满足 f(f(a)
