1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 33 讲 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 解密考纲 主要考查利用线性规划求目标函数的最值或解决实际应用问题，以选择题或填空题的形式出现 一、选择题 1若 x， y 满足? x3 ，x y2 ，y x，则 x 2y 的最大值为 ( D ) A 1 B 3 C 5 D 9 解析 作出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示 (三角形 ABC 及其内部 )，三个顶点分别为 A(1,1)， B(3， 1)， C(3,3)，平移直线 x 2y 0，易知当直线过点 C(3,3)时， x 2y 取得最大值，即 (x 2y)max 3 23 9.
2、 2设变量 x， y 满足约束条件? x 2y2 ，2x y4 ，4x y 1，则目标函数 z 3x y 的取值范围是( A ) A ? ? 32， 6 B ? ? 32， 1 C 1,6 D ? ? 6， 32 解析 不等式组? x 2y2 ，2x y4 ，4x y 1表示的平面区域如图中阴影部分所示由图可知，当直线 z 3x y 过点 A(2,0)时， z 取得最大值 6，过点 B? ?12， 3 时， z 取得最小值 32.故选 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 3设变量 x， y 满足约束条件? x y1 ，x y2 ，y2 ，则目标函数 z x2 y2 的取值范围为( C ) A
3、 2,8 B 4,13 C 2,13 D ? ?52， 13 解析 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，过点 O 作 OA 垂直直线 x y 2，垂足为 A，设直线 x y 1 与 y 2 交于点 B，从而可得 zmin |OA|2 ? ?|0 0 2|12 12 2 2， zmax |OB|2 32 22 13.故 z 2,13 4若实数 x， y满足? x y 20 ，kx y 20 ，y0 ，且 z y x的最小值为 2，则 k的值为 ( B ) A 1 B 1 C 2 D 2 解析 将选项中的 k 值分别代入约束条件中，则当 k 1 或 k 2
4、时，目标函数 z y x无最小值；当 k 2 时，直线 y x z 过点 (0,2)时有 zmin 2；当 k 1 时，直线 y xz 过点 (2,0)时有 zmin 2.故选 B 5设实数 x， y 满足? x y 20 ，x 2y 50 ，y 20 ，则 z yx的取值范围是 ( A ) A ? ?13， 2 B ? ?13， 52 C ? ?2， 52 D ? ?2， 103 解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示解方程组得可行域的顶点分别为 A(3,1)， B(1,2)， C(4,2)由于 yx表示可行域内的点 (x， y)与原点 (0,0)的连线的斜率，则 kOA 13，
5、kOB 2， kOC 12，所以 yx ? ?13， 2 .故选 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 6若关于 x， y 的不等式组? x y 10 ，x 10 ，ax y a为常数所表示的平面区域的面积等于 2，则 a 的值为 ( A ) A 3 B 6 C 5 D 4 解析 先作出不等式组? x y 10 ，x 10 对应的区域，如图因为直线 ax y 1 0 过定点 (0,1)，且不等式 ax y 10 表示的区域在直线 ax y 1 0 的右下方，所以 ABC为不等式组? x y 10 ，x 10 ，ax y 10对应的平面区域 因为 A 到直线 BC 的距离为 1，所以 S ABC
6、 121 BC 2， 所以 BC 4.当 x 1 时， yC 1 a， 所以 yC 1 a 4，解得 a 3. 二、填空题 7设实数 x， y 满足约束条件? x y 20 ，x y 4 0，2x y 50 ，则目标函数 z x 2y 的最大值为_25_. 解析 由 z x 2y，得 y 12x z2，作出不等式组表示的平面区域，如图所示 平移直线 y 12x z2，由图象可知，当直线 y 12x z2经过点 F 时，直线 y 12x z2在 y 轴上的截距最大，此时 z 最大由? x y 2 0，2x y 5 0， 解得 ? x 7，y 9， 即 F(7,9)，代入z x 2y，得 zmax
7、 7 29 25. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8若点 (x， y)位于曲线 y |x 1|与 y 2 所围成的封闭区域，则 z 2x y 的最小值为 _ 4_. 解析 曲线 y |x 1|与 y 2 所围成的封闭区域如图由 z 2x y，得 y 2x z.当直线 y 2x z经过点 ( 1,2)时，直线在 y轴上的截距最大，此时 z的值最小，故 zmin 2( 1) 2 4，即 2x y 的最小值为 4. 9已知 a0，实数 x， y 满足约束条件? x1 ，x y3 ，y a x ，若 z 2x y 的最小值为 1，则 a 的值为 _12_. 解析 由题意得直线 y a(x 3)过
8、x 1 与 2x y 1 的交点 (1， 1)，因此 a 的值为 12. 三、解答题 10画出不等式组? x y 50 ，x y0 ，x3表示 的平面区域，并回答下列问题： (1)指出 x， y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ 解析 (1)不等式组? x y 50 ，x y0 ，x3表示的平面区域如图所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = 结合图中可行域得 x ? ? 52， 3 ， y 3,8 (2)由图形及不等式组知 ? x y x 5， 52 x3 且 x Z， 当 x 3 时， 3 y8 ，有 12 个整点； 当 x 2 时， 2 y7 ，有 10 个整点； 当 x 1
9、时， 1 y6 ，有 8 个整点； 当 x 0 时， 0 y5 ，有 6 个整点； 当 x 1 时， 1 y4 ，有 4 个整点； 当 x 2 时， 2 y3 ，有 2 个整点； 平面区域内的整点共有 2 4 6 8 10 12 42(个 ) 11设 x， y 满足条件? x y 50 ，x y0 ，x3.(1)求 u x2 y2的最大值与最小值； (2)求 v yx 5的最大值与最小值； (3)求 z |2x y 4|的最大值与最小值 解析 画出满足条件的可行域，如图所示 (1)x2 y2 u 表示一组同心圆 (圆心为原点 O)，且对同一圆上的点 x2 y2的值都相等，由图象可知：当 (x，
10、 y)在可行域内取值时，当且仅当圆 O 过 C 点时， u 最大，过点 (0,0)时，u 最小 又 C(3,8)，所以 umax 73， umin 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)v yx 5表示可行域内的点 P(x， y)到定点 D(5,0)的斜率，由图象可知， kBD 最大，kCD最小 又 因为 C(3,8)， B(3， 3)， 所以 vmax 33 5 32， vmin 83 5 4. (3)因为 z |2x y 4| 5 |2x y 4|5 表示可行域内点 P(x， y)到直线 2x y 4 0的距离的 5倍，由图象知 A 到直线 2x y 4 0 的距离最小， C 到直
11、线 2x y 4 0 的距离最大又因为 A? ? 52， 52 ， C(3,8)， 故当 x 52， y 52时， zmin 5 ? ?2 ? ? 52 52 45 32. 当 x 3， y 8 时， zmax 5 |23 8 4|5 18. 12 (2017 天津卷 )电视台播放甲、乙两套连续剧， 每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示 . 连续剧播放时长 /分钟 广告播放时长 /分钟 收视人次 /万 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时
12、间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍分别用 x， y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数 (1)用 x， y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲 、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解析 (1)由条件可知 x， y 满足的数学关系式为 ? 70x 60y600 ，5x 5y30 ，x2 y，x N，y N，即? 7x 6y60 ，x y6 ，x 2y0 ，x N，y N，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z 60x 25y. 考虑 z 60x 25y，将它变形为 y 125x z25，这是斜率为 125 ，随 z 变化的一族平行线 .z25为直线在 y 轴上的截距，当 z25取得最大值时， z 的值最大又因为 x， y 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 z 60x 25y 经过可行域上的点 M 时，截距 z25最大，即 z 最大 解方程组? 7x 6y 60，x 2y 0， 得点 M 的坐标为 (6,3) 所以电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多
