1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（十六） 导数与函数的综合问题 一般难度题 全员必做 1 (2017 全国卷 )设函数 f(x) (1 x2)ex. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 x0 时， f(x) ax 1，求 a 的取值范围 解： (1)f( x) (1 2x x2)ex. 令 f( x) 0，得 x 1 2或 x 1 2. 当 x ( ， 1 2)时， f( x) 0； 当 x ( 1 2， 1 2)时， f( x) 0； 当 x ( 1 2， ) 时， f( x) 0. 所以 f(x)在 ( ， 1 2)， ( 1 2， ) 上单调递减，在 ( 1 2， 1
2、 2)上单调递增 (2)f(x) (1 x)(1 x)ex. 当 a1 时，设函数 h(x) (1 x)ex，则 h( x) xex 0(x 0) 因此 h(x)在 0， ) 上单调递减， 又 h(0) 1，故 h(x)1 ， 所以 f(x) (x 1)h(x) x 1 ax 1. 当 0 a 1 时，设 函数 g(x) ex x 1， 则 g( x) ex 1 0(x 0)， 所以 g(x)在 0， ) 上单调递增，而 g(0) 0， 故 ex x 1. 当 0 x 1 时， f(x) (1 x)(1 x)2， (1 x)(1 x)2 ax 1 x(1 a x x2)， 取 x0 5 4a
3、12 ， 则 x0 (0,1)， (1 x0)(1 x0)2 ax0 1 0， 故 f(x0) ax0 1. 当 a0 时，取 x0 5 12 ， 则 x0 (0,1)， f(x0) (1 x0)(1 x0)2 1 ax0 1. 综上， a 的取值范围是 1， ) 2 (2018 沈阳监测 )已知函数 f(x) aln x(a0)， e 为自然对数的底数 (1)若过点 A(2， f(2)的切线斜率为 2，求实数 a 的值； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当 x0 时，求证 f(x) a? ?1 1x ； (3)若在区间 (1， e)上 exa e1a x0)， 则 g( x) a?
4、?1x 1x2 . 令 g( x)0，即 a? ?1x 1x2 0，解得 x1， 令 g( x)x 1ln x. 令 h(x) x 1ln x，则 h( x)ln x 1 1xx 2 ， 由 (2)知，当 x (1， e)时， ln x 1 1x0， h( x)0，即 h(x)在 (1， e)上单调递增， h(x)0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 k 2 时， f( x) 1x2 2x ? ?1x 1 2 11 ，当且仅当 x 1 时，等号成立 所以函数 f(x)的图象的切线斜率中的最大值为 1. (2)因为关于 x 的方程 f(x) k 有解，令 g(x) f(x) k 1x kl
5、n x k，则问题等价于函数 g(x)存在零点 g( x) 1x2 kx kx 1x2 .当 k0， g(e1 1k) 1e1 1k k? ?1 1k k 1e1 1k 10 时，令 g( x) 0，得 x 1k.g( x)，g(x)随 x 的变化情况如下表： x ? ?0， 1k 1k ? ?1k， g( x) 0 g(x) 极小值 所以 g? ?1k k k kln 1k kln k 为函数 g(x)的最小值，当 g? ?1k 0，即 00，所以函数 g(x)存在零点综上，当 k0， f(x)在 (1， ) 单调递 增 所以，存在 x01 ，使得 f(x0)1，故当 x ? ?1， a1
6、a 时， f( x)0.f(x)在 ? ?1， a1 a 单调递减，在 ? ?a1 a， 单调递增 所以，存在 x01 ，使得 f(x0)aa 1，所以不合题意 若 a1，则 f(1) 1 a2 1 a 12 0 恒成立，则函数 f(x)在 (0， ) 上单调递增，无单调递减区间； 当 m0 时，由 f( x) 1 mxx 0，得 x ? ?0， 1m ， 由 f( x) 1 mxx 0 时，函数 f(x)的单调递增区间是 ? ?0， 1m ，单调递减区间是 ? ?1m， . (2)由 (1)知：当 m0 时， f(x)在 (0， ) 上单调递增， f(1) 0，显然不符合题意； =【 ;精品
7、教育资源文库 】 = 当 m0 时， f(x)max f? ?1m ln 1m 1 m m ln m 1， 只需 m ln m 10 即 可 令 g(x) x ln x 1，则 g( x) 1 1x x 1x ， x (0， ) ， g(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1， ) 上单调递增 g(x)min g(1) 0. g(x)0 对 x (0， ) 恒成立， 也就是 m ln m 10 对 m (0， ) 恒成立， 由 m ln m 1 0，解得 m 1. 若 f(x)0 在 (0， ) 上恒成立，则 m 1. (3)证明： f b f ab a ln b ln a a bb a ln
8、 b ln ab a 1ln baba 1 1a 1. 由 (2)得 f(x)0 在 (0， ) 上恒成立，即 ln x x 1，当且仅当 x 1 时取等号 又由 01， 0ln baba 1，即ln baba 11. 则ln baba 1 1a 11a 1 1 aa 1 a2a a 1a a . 较高难度题 学霸做 1 (2017 天津高考 )设 a， b R， |a|1. 已知函数 f(x) x3 6x2 3a(a 4)x b， g(x) exf(x) (1)求 f(x)的单调区间； (2)已知函数 y g(x)和 y ex的图象在公共点 (x0， y0)处有相同的切线， 求证： f(x)
9、在 x x0处的导数等于 0； 若关于 x 的不等式 g(x)e x在区间 x0 1， x0 1上恒成立，求 b 的取值范围 解： (1)由 f(x) x3 6x2 3a(a 4)x b， 可得 f( x) 3x2 12x 3a(a 4) 3(x a)x (4 a) 令 f( x) 0，解得 x a，或 x 4 a. 由 |a|1 ，得 a 4 a. 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， a) (a,4 a) (4 a， ) =【 ;精品教育资源文库 】 = f( x) f(x) 所以 f(x)的单调递增区间为 ( ， a)， (4 a， ) ，单调递减区间为
10、 (a,4 a) (2) 证明：因为 g( x) exf(x) f (x)， 由题意知? g x0 ex0，g x0 ex0， 所以? f x0 x0 ex0，ex0f x0 f x0 ex0， 解得? f x0 1，f x0 0. 所以 f(x)在 x x0处的导数等于 0. 因为 g(x)e x， x x0 1， x0 1， 由 ex 0，可得 f(x)1. 又因为 f(x0) 1， f( x0) 0， 所以 x0为 f(x)的极大值点，结合 (1)知 x0 a. 另一方面，由于 |a|1 ，故 a 1 4 a， 由 (1)知 f(x)在 (a 1， a)内单调递增，在 (a， a 1)内
11、单调递减， 故当 x0 a 时， f(x) f(a) 1 在 a 1， a 1上恒成立，从而 g(x)e x在 x0 1， x0 1上恒成立 由 f(a) a3 6a2 3a(a 4)a b 1， 得 b 2a3 6a2 1， 1 a1. 令 t(x) 2x3 6x2 1， x 1,1， 所以 t( x) 6x2 12x，令 t( x) 0， 解得 x 2(舍去 )或 x 0. 因为 t( 1) 7， t(1) 3， t(0) 1， 因此 t(x)的值域为 7,1 所以 b 的取值范围是 7,1 2 (2016 四川高考 )设函数 f(x) ax2 a ln x， g(x) 1x eex，其中
12、 a R， e 2.718为自然对数的底数 (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明：当 x 1 时， g(x) 0； (3)确定 a 的所有可能取值，使得 f(x) g(x)在区间 (1， ) 内恒成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1)由题意得 f( x) 2ax 1x 2ax2 1x (x 0) 当 a0 时， f( x) 0， f(x)在 (0， ) 内单调递减 当 a 0 时，由 f( x) 0 得， x 12a， 当 x ? ?0， 12a 时， f( x) 0， f(x)单调递减； 当 x ? ?12a， 时， f( x) 0， f(x)单调递增 (2)证明：令 s
13、(x) ex 1 x，则 s( x) ex 1 1. 当 x 1 时， s( x) 0，所以 ex 1 x， 从而 g(x) 1x 1ex 1 0. (3)由 (2)知，当 x 1 时， g(x) 0. 当 a0 ， x 1 时， f(x) a(x2 1) ln x 0. 故当 f(x) g(x)在区间 (1， ) 内恒成立时，必有 a 0. 当 0 a 12时， 12a 1. 由 (1)有 f? ?12a f(1) 0，而 g? ?12a 0， 所以此时 f(x) g(x)在区间 (1， ) 内不恒成立 当 a 12时，令 h(x) f(x) g(x)(x1) 当 x 1 时， h( x) 2ax 1x 1x2 e1 x x 1x 1x2 1x x3 2x 1x2 x2 2x 1x2 0. 因此， h(x)在区间 (1， ) 上单调递增 又因为 h(1) 0，所以当 x 1 时， h(x) f(x) g(x) 0 恒成立， 综上， a ? ?12， .
