1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（四十七） 几何概型命题 3 角度 长度（角度）、面积、体积 一、选择题 1.如图所示， A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点 A ，连接AA ，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为 ( ) A.12 B. 32 C.13 D.14 解析：选 C 当 AA 的长度等于半径长度时， AOA 3 ， A 点在 A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得 P232 13. 2随机地向半圆 0y 2ax x2(a 为正常数 )内掷一点，若点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比， 则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 4 的概率
2、为 ( ) A.12 1 B.12 1 C.12 D.1 解析：选 A 由题意可知半圆 0y 2ax x2是以 (a,0)为圆心、以 a 为半径的 x 轴上方的半圆，要使原点与半圆内一点的连线与 x 轴的夹角小于 4 ，则该点应该落在直线 y x 与 x 轴之间的区域，所以所求事件的概率为 P14 a2 12 a212 a2 12 1 . 3.“ 勾股定理 ” 在西方被称为 “ 华达哥拉斯定理 ” ，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅 “ 勾股圆方图 ” ，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的 “ 勾股圆方图 ” 中，四个相同的 直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大
3、正方形，若直角三角形中较小的锐角 6 ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率为 ( ) A 1 32 B. 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.4 34 D. 34 解析：选 A 由题知，直角三角形中较短的直角边长为 1，较长的直角边长为 3， 所以中间小正方形的边长为 3 1，其面积为 ( 3 1)2 4 2 3， 则飞镖落在小正方形内的概率为 4 2 34 1 32 . 4已知圆 C： x2 y2 2x 1 0，直线 3x 4y 12 0，圆 C 上任意一点 P 到直线的距离小于 2 的概率为 ( ) A.16 B.13 C.12 D.14 解析：选 D
4、 因为圆 C： (x 1)2 y2 2，圆心 C(1,0)，半径 r 2，所以圆心 C到直 线 3x 4y 12 0的距离 d 1532 2 3.若圆心 C到直线 3x 4y m 0的距离 d |3 m|32 2 1，则 m 2或 m 8(舍去 )，此时直线 AB 的方程为 3x 4y 2 0，如图所示，在 ABC 中， CD 1， CB 2，则 ABC 为等腰直角三角形，即 ACB 2 ，故所求概率 P22 14. 5设曲线 y x2 1 及直线 y 2 所围成的封闭 图形为区域 D，不等式组? 1 x1 ，0 y2 ，所确定的区域为 E，在区域 E 内随机取一点，该点恰好在区域 D 的概率
5、为 ( ) A.15 B.14 C.13 D.12 解析：选 C 作出示意图如图所示，联立曲线 y x2 1 及直线 y 2，解得 x 1 ，则曲线 y x2 1 及直线 y 2 围成的封闭图形的面积为 S ?-11 (1 x2)dx?x 13x3? 1-1 43， 不等式组? 1 x1 ，0 y2 所确定的=【 ;精品教育资源文库 】 = 区域的面积为 4， 故在区域 E 内随机取一点 ， 该点恰好在区域 D 内的概率 P43413. 6已知函数 f(x) sin x 3cos x，当 x 0， 时， f(x)1 的概率为 ( ) A.13 B.14 C.15 D.12 解析：选 D f(x
6、) sin x 3cos x 2sin? ?x 3 ， x 0， ， x 3 ? ? 3 ， 43 ， 由 f(x) 1 ，得 sin? ?x 3 12， 3 x 3 56 ， 0 x 2 ， 所求的概率为 P2 12. 7已知 ABC 内一点 O 满足 OA 2 OB 3 OC 0，若在 ABC 内任意 投一个点，则该点在 OAC 内的概率为 ( ) A.16 B.14 C.13 D.12 解析：选 C 如图，以 OB ， OC 为邻边作平行四边形 OBDC， 则 OB OC OD ，又 OA 2 OB 3 OC 0， 则 3 OD AB .作 AB 靠近 B 点的三等分点 E， 则 OC
7、BD EO ，则 O 到 AC 的距离是 E 到 AC 距离的一半， 所以 B 到 AC 的距离是 O 到 AC 的距离的 3 倍，所以 S AOC 13S ABC， 故在 ABC 内任意投 一个点，则该点在 OAC 内的概率为 13. 8在 2,2上随机地取两个实数 a， b，则事件 “ 直线 x y 1 与圆 (x a)2 (y b)2 2 有交点 ” 发生的概率为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.14 B.916 C.34 D.1116 解析：选 D 根据题意，得? 2 a2 ， 2 b2 ， 又直线 x y 1 与圆 (x a)2 (y b)2 2 有交点， 即 |a b
8、 1|2 2，得 2 a b 12 ， 所以 1 a b3 ，作出平面区域如图所示， 则事件 “ 直线 x y 1 与圆 (x a)2 (y b)2 2 有交点 ” 发生的概率为 P S阴影S正方形42 123 2 121 242 1116. 二、填空题 9已知线段 AC 16 cm，先截取 AB 4 cm 作为长方体的高，再将线段 BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过 128 cm3的概率为 _ 解析：依题意，设长方体的长为 x cm，则相应的宽为 (12 x)cm， 由 4x(12 x) 128，得 x2 12x 32 0，解得 4 x 8， 因此所求的概率为 8 41
9、2 13. 答案： 13 10在区间 3,5上随机取一个数 a，则使函数 f(x) x2 2ax 4 无零点的概率为_ 解析：若使函数 f(x) x2 2ax 4 无零点， 则 4a2 160，解得 2a2， 则使函数 f(x) x2 2ax 4 无零点的概率 P 2 5 12. 答案： 12 11不等式组? x 20 ，x y0 ，x y0表示平面区域为 ，在区域 内任取一点 P(x， y)，则=【 ;精品教育资源文库 】 = 点的坐标满足不等式 x2 y22 的概率为 _ 解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中 OAB 所示，面积为 4，在 OAB 内满足 x2 y22 所表示的平面区域
10、为四分之一圆，面积为 2 ，所以所求事件的概率 P24 8. 答案： 8 12.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形 ABCD，矩形的一边 BC 在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为 _ 解析：设 AD x， AB y，则由三角形相似可得 xa a ya ，解得 y a x， 所以矩形的面积 S xy x(a x) ? ?x a x2 2 a24，当且仅当 x a x， 即 x a2时， S 取得最大值 a24，所以该点取自矩形内的最大概率为a2412 a a 12. 答案： 12 三、解答题 13某班早晨 7： 30 开始上早读课，该班学生小陈和小李
11、在早上 7： 10 至 7： 30 之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的 (1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结 果表示的区域； (2)求小陈比小李至少晚 5 分钟到班的概率 解： (1)用 x， y 分别表示小陈、小李到班的时间， 则 x 10,30， y 10,30， 所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域 ABCD，如图所示 (2)小陈比小李至少晚到 5 分钟，即 x y5 ，对应区域为 BEF， 故所求概率 P S BEFS正方形 ABCD1215152020 932. 14已知向量 a ( 2,1)， b (x， y) (1)若 x， y 分别表示将一 枚质
12、地均匀的正方体骰子 (六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)=【 ;精品教育资源文库 】 = 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 a b 1 的概率； (2)若 x， y 在连续区间 1,6上取值，求满足 a b0 的概率 解： (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次， 所包含的基本事件总数为 66 36(个 ) 由 a b 1，得 2x y 1，即 y 2x 1， 所以满足 a b 1 的基本事件为 (1,1)， (2,3)， (3,5)，共 3 个 故满足 a b 1 的概率为 336 112. (2)若 x， y 在连续区间 1,6上取值，则全部基本事件的结果为
13、(x， y)|1 x6,1 y6 ，满足 a b0 的基本事件的结果为 A (x，y)|1 x6 ， 1 y6 且 2x y0画出图形如图，矩形的面积为 S 矩形 25，阴影部分的面积为 S 阴影 25 1224 21，故满足 a b0 的概率为 2125. 1有一长、宽分别为 50 m,30 m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心 (对角线交点 )处呼唤工作人员，其声音可传出15 2 m，则工作人员能及时听到呼唤 (出现在声音可传到区域 )的概率是 ( ) A.34 B.38 C.316 D.12 332 解析：选 B 如图所示，当工作人员走
14、到 AB 或 CD 两个线段中时能及时听到呼唤，其中 OA 15 2，作 OE AB，垂足为 E，则 OE 15， AB 2 2 2 152 30，所有可能的结果为游泳池的周长 160，故 所求概率 P 230160 38. 2若不等式组? x y 10 ，x y 10 ，y 120表示的区域为 ，不等式 ? ?x 12 2 y2 14表示的区域为 M，向区域 均匀随机撒 360 粒芝麻，则落在区域 M 中的芝麻约为 ( ) A 114 粒 B 10 粒 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 150 粒 D 50 粒 解析：选 A 作 出不等式组所表示的平面区域 为图中 ABC 所示 易得 A? ? 32， 12 ， B? ?32， 12 ， C(0,1)， ABC 的面积为 12 ? ?32 32 ? ?1 12 94， 区域 M 的面积为圆 ? ?x 12 2 y2 14的面积， 即 ? ?12 2 4 ， 其中区域 和 M 不相交的部分面积即空白面积为 ?121412112 12
