1、4.3 三角恒等变换,高考数学,考点一和与差的三角函数,知识清单,考点二简单的三角恒等变换1.和差公式的应用技巧(1)连续应用例:sin(+)=sin(+)+=sin(+)cos +cos(+)sin .(2)逆用例:cos 20cos 25-cos 70cos 65=cos 20cos 25-sin 20sin 25=cos 45=?.(3)拆分与组合的应用例:若cos =?,cos(+)=-?,且、都是锐角,求cos .应注意到=(+)-.,2.二倍角与半角(1)把写成2?,则sin =2sin?cos?,cos =cos2?-sin2?=1-2sin2?=2cos2?-1,tan =?.
2、(2)由上面公式得1+cos =2cos2?,1-cos =2sin2?,此公式从左到右起升幂作用,从右到左起降幂作用.,(3)将?、?化为另一种形式,得?=?,?=?.3.几个重要公式(1)1+sin 2=(sin +cos )2.(2)1-sin 2=(sin -cos )2.(3)(sin +cos )2+(sin -cos )2=2.,应用公式化简、求值的解题策略1.三角函数式的化简原则(1)一看“角”:通过看角之间的差别与联系,把角进行合理拆分,从而正确应用公式.(2)二看“函数名称”:看函数名称的差异,从而正确选用公式,常用的有“切化弦”“正、余弦互化”.(3)三看“结构特征”:分
3、析结构特征,可以找到变形的方向,如遇到分式要通分.2.求值题常见类型(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察会发现非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用得到的,方法技巧,关系,结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并消去非特殊角.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质上也可转化为“给值求值”,关键也是“变角”,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.例1(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,9)已知锐角,满足si
4、n =cos(+)sin ,则tan 的最大值为?()A.1B.?C.?D.,B,解题导引导引一:由两角和的余弦公式,把tan 表示成的函数由几何意义得最大值导引二:由两角和的余弦公式,把tan 表示成的函数由二倍角公式把tan 化为关于cos ,sin 的二次齐次式由基本不等式得最大值,解析解法一:sin =cos(+)sin ?sin =(cos cos -sin sin )sin ?sin (1+sin2)=cos cos sin ?tan =?=?(可以看作单位圆上的点(cos 2,sin 2)与点(3,0)连线的斜率的相反数).根据几何意义可得tan 的最大值为?.解法二:由解法一得
5、tan =?=?,即有tan =?,因为是锐角,则有tan =?=?,即有tan =?时,tan 有最大值?.,例2(2017浙江金华十校联考,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于点A,B,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知SOAM=?,点B的纵坐标是?.(1)求cos(-)的值;(2)求2- 的值.,解题导引(1)由三角形面积和同角三角函数关系式得sin ,cos 的值由三角函数定义和同角三角函数关系式得sin ,cos 的值由两角差的余弦公式得结论(2)由二倍角公式得sin 2,cos 2的值,进而得出2的范围结合的范围得出2-的范围求s
6、in(2-)的值得2-的值,解析(1)由SOAM=?和为锐角,知sin =?,cos =?.又点B的纵坐标是?,sin =?,cos =-?.cos(-)=cos cos +sin sin =?+?=-?.(2)cos 2=2cos2-1=2?-1=-?,sin 2=2sin cos =2?=?,2?.?,2-?.,sin(2-)=sin 2cos -cos 2sin =-?,2-=-?.,辅助角公式的应用的解题策略辅助角公式asin +bcos =?sin(+),其中tan =?.辅助角公式实质上是和角公式的逆用,它在化简、求值中有重要的地位.例3(2017浙江模拟训练冲刺卷五,14)已知sin?+sin =?,且?,则sin?=,cos =.,解题导引由两角和的正弦公式和辅助角公式,得sin?的值由两角差的余弦公式,得cos 的值,解析由sin?+sin =?,得?sin +?cos =?,即?sin +?cos =?,亦即sin?=?.又?+?,所以cos?=-?,从而有cos =cos?=cos?cos?+sin?sin?=?.,答案?;,
