1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 平面向量的基本定理及坐标表示 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 平面向量基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2，称 e1， e2为基底若 e1， e2互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1， e2分别为与 x 轴， y 轴方向相同的两个单位向量，则称单位正交基底 考点 2 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x 轴、 y 轴正方向相同 的两个单位向量 i， j 作为基底，对任一向量 a，有唯一一对实数 x， y，使得
2、： a xi yj， (x， y)叫做向量 a 的直角坐标，记作 a (x， y)，显然 i (1,0)， j (0,1)， 0 (0,0) 考点 3 平面向量的坐标运算 1设 a (x1， y1)， b (x2， y2)， 则 a b (x1 x2， y1 y2)， a b (x1 x2， y1 y2)， a (x 1， y 1)， |a| x21 y21. 2设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 AB (x2 x1， y2 y1)， |AB| ?x2 x1?2 ?y2 y1?2. 考点 4 平面向量共线的坐标表示 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 (1)a
3、 b?x1y2 x2y1 0； (2)若 a0 ，则与 a 平行的单位向量为 a|a|. 必会结论 1若 a 与 b 不共线， a b 0，则 0. 2已知 OA OB OC( ， 为常数 )，则 A， B， C 三点共线的充要条件是 1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且 1 常被当作隐含条件运=【 ;精品教育资源文库 】 = 用 3平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 ( ) (2)若 a， b 不共线，且 1a 1b 2a 2b，则 1
4、 2， 1 2.( ) (3)在等边三角形 ABC 中，向量 AB与 BC的夹角为 60.( ) (4)若 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b 的充要条件可表示成 x1x2 y1y2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 2018 郑州一模 设向量 a (x,1)， b (4， x)，若 a， b 方向相反，则实数 x 的值是 ( ) A 0 B 2 C 2 D 2 答案 D 解析 由题意可得 a b，所以 x2 4，解得 x 2 或 2，又 a， b 方向相反，所以 x 2.故选 D. 3 课本改编 已知点 A( 1,5)和向量 a (2,3)，若 AB 3
5、a，则点 B 的坐标为 ( ) A (7,4) B (7,14) C (5,4) D (5,14) 答案 D 解析 设点 B 的坐标为 (x， y)，则 AB (x 1， y 5)由 AB 3a，得? x 1 6，y 5 9， 解得? x 5，y 14. 故选 D. 4 2017 山东高考 已知向量 a (2,6)， b ( 1， )若 a b，则 _. 答案 3 解析 a b， 2 6( 1) 0，解得 3. 5 2015 江苏高考 已知向量 a (2,1)， b (1， 2)，若 ma nb (9， 8)(m， n R)，则 m n 的值为 _ 答案 3 解析 ma nb (2m n， m
6、 2n) (9， 8)， ? 2m n 9，m 2n 8， ? m 2，n 5， m n 2 5 3. 板块二 典例探究 考向突破 考向 平面向量基本定理的应用 例 1 2018 许昌联考 在平行四边形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点， DE 交=【 ;精品教育资源文库 】 = AF 于 H，记 AB， BC分别为 a， b，则 AH ( ) A.25a 45b B.25a 45b C 25a 45b D 25a 45b 答案 B 解析 如图，设 AH AF， DH DE. 而 DH DA AH b AF b ? ?b 12a ， DH DE ? ?a 12b . 因此
7、， ? ?a 12b b ? ?b 12a . 由于 a， b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得? 12 ， 12 1 .解之得 45， 25. 故 AH AF ? ?b 12a 25a 45b.故选 B. 触类旁通 应用平面向量基本定理表示向量的方法 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止； (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【变式训练 1】 如图，已知 ?AB
8、CD 的边 BC， CD 的中点分别是 K， L，且 AK e1， AL e2，试用 e1， e2表示 BC， CD. 解 设 BC x， CD y，则 BK 12x， DL 12y. 由 AB BK AK， AD DL AL，得 ? y 12x e1， x 12y e2， ( 2)，得 12x 2x e1 2e2，即 x 23(e1 2e2) 23e1 43e2， BC 23e143e2. 同理可得 y 23( 2e1 e2)，即 CD 43e1 23e2. 考向 平面向量的坐标表示 例 2 已知 A( 2,4)， B(3， 1)， C( 3， 4)设 AB a， BC b， CA c，且
9、CM3c， CN 2b， =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 3a b 3c； (2)求满足 a mb nc 的实数 m， n； (3)求 M， N 的坐标及向量 MN的坐标 解 由已知得 a (5， 5)， b ( 6， 3)， c (1,8) (1)3a b 3c 3(5， 5) ( 6， 3) 3(1,8) (15 6 3， 15 3 24) (6， 42) (2) mb nc ( 6m n， 3m 8n)， ? 6m n 5， 3m 8n 5， 解得 ? m 1，n 1. (3)设 O 为坐标原点， CM OM OC 3c， OM 3c OC (3,24) ( 3， 4) (0
10、,20) M(0,20)又 CN ON OC 2b， ON 2b OC (12,6) ( 3， 4) (9,2)， N(9,2) MN (9， 18) 触类旁通 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、 数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标 (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程 (组 )来进行求解，并注意方程思想的应用 【变式训练 2】 2018 山东日照一中月考 在 ABC 中，点 P 在 BC 上，点 Q 是 AC 的中点，且 BP 2PC.若 PA (4,3)， PQ (1,5)，则 BC等于 (
11、 ) A ( 6,21) B ( 2,7) C (6， 21) D (2， 7) 答案 A 解析 由题知， PQ PA AQ (1,5) (4,3) ( 3,2) 又因为点 Q 是 AC 的中点，所以 AQ QC. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 PC PQ QC (1,5) ( 3,2) ( 2,7) 因为 BP 2PC，所以 BC BP PC 3PC 3( 2,7) ( 6,21)故选 A. 考向 平面向量共线的坐标表示 例 3 2018 正定检测 已知 a (1,0)， b (2,1) (1)当 k 为何值时， ka b 与 a 2b 共线； (2)若 AB 2a 3b， BC
12、a mb，且 A， B， C 三点共线，求 m 的值 解 (1) a (1,0)， b (2,1)， ka b k(1,0) (2,1) (k 2， 1)， a 2b (1,0) 2(2,1) (5,2)， ka b 与 a 2b 共线， 2(k 2) ( 1)5 0， k 12. (2)AB 2(1,0) 3(2,1) (8,3) BC (1,0) m(2,1) (2m 1， m) A， B， C 三点共线， AB BC， 8m 3(2m 1) 0， m 32. 触类旁通 利用两向量共线解题的技巧 (1)一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a( R)，然后结合其他条
13、件列出关于 的方程，求出 的值后代 入 a 即可得到所求的向量 (2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用 “ 若 a (x1， y1)， b (x2，y2)，则 a b 的充要条件是 x1y2 x2y1” 解题比较方便 【变式训练 3】 平面内给定三个向量 a (3,2)， b ( 1,2)， c (4,1) (1)求满足 a mb nc 的实数 m， n； (2)若 (a kc) (2b a)，求实数 k； (3)若 d 满足 (d c) (a b)，且 |d c| 5，求 d 的坐标 解 (1)由题意得 (3,2) m( 1,2) n(4,1)， =【 ;精品教育资源文库 】
14、 = ? m 4n 3，2m n 2， 解得 ? m 59，n 89.(2)a kc (3 4k,2 k)， 2b a ( 5,2)， 由题意得 2(3 4k) ( 5)(2 k) 0， 解得 k 1613. (3)设 d (x， y)，则 d c (x 4， y 1)， 又 a b (2,4)， |d c| 5， ? 4?x 4? 2?y 1? 0，?x 4?2 ?y 1?2 5， 解得 ? x 3，y 1 或 ? x 5，y 3. d 的坐标为 (3， 1)或 (5,3) 核心规律 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解 2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运 算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题 3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用 满分策略 1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况 2.若 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则
