1、高等数学高等数学下页结束返回转化 可分离变量微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 下页高等数学高等数学下页结束返回分离变量方程的解法分离变量方程的解法(简推简推)xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 ( ( )( )dgxxxxxfd)(则有恒等式 (详见教材P300)即左右两边可同时进行积分运算. 下页yygd)(xxfd)(左边配元, 得 高等数学高等数学下页结束返回例例1.
2、 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增解也可能减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )下页高等数学高等数学下页结束返回例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2得Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y下页2ln|1| ln|y xC即高等数学
3、高等数学下页结束返回例例3. 求微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即21ddcosuxuCxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解下页221 sincosuuu 高等数学高等数学下页结束返回练习练习:.edd的通解求方程yxxy解法解法1 分离变量xyxydedeCxyee即01e)e(yxC( C 0 )解法解法2, yxu令yu1则故有uue1积分Cxuue1dCxuu)e1 (ln( C 为任意常数 )所求通解Cyyx)e1(lnuuuude1e)e1 (积分下页高等数学高等数学下页结束返回例例4. 子的含量
4、M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意, 有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为0etMM然后积分td)(已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO下页高等数学高等数学下页结束返回例例5.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 得1ln()lntmgkvCkm)0( vkgm此处利用初始条件, 得1lnln()Cmgk 代入上式后化简,
5、 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,(1 e)ktmmgvkmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kgmv t 足够大时下页高等数学高等数学下页结束返回m1*例例6. 有高1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,.cm12S开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变r解解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为tVQddhgSk2即thgSkVd2d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在d,ttt内水面高度由 h 降到 d (d,0)hhhhhdhhO下页高等数学高
6、等数学下页结束返回对应下降体积hrVdd222)1 (1hr22hh 2d(2)dVhhh 因此得微分方程定解问题:22d(2)dkSgh thhh 10th将方程分离变量3122d(2)d2thhhk Sg m1rhhdhhO下页高等数学高等数学下页结束返回两端积分, 得2tk Sg 2334( h)5225Ch 利用初始条件, 得,1514C则得容10th器内水面高度 h 与时间 t 的关系(s)737101(10068. 125234hht可见水流完所需时间为(s)10068. 14t 因此352214103(1)77152thhk Sg代入上式，以224sm8 . 9,m10,62.
7、0gSkm1rhhdhhO下页高等数学高等数学下页结束返回内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法说明说明: 通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解, 但不包含前一个解.例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数.解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 下页高等数学高等数学下页结束返回(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条
8、件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤例4例5*例6下页高等数学高等数学下页结束返回思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量(2) 方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln下页高等数学高等数学下页结束返回作业作业(习题7-2, P304)1 (1), (5), (6), (10); 2 (3); 6结束高等数学高等数学下页结束返回分离变量方程的解法分离变量方程的解法(详推详推)xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 的隐函数 y (x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样, 当 F (x) = f (x)0时, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 设左右两边的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由确定下页
