1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 2 圆与圆的位置关系 ( O1、 O2半径 r1、 r2， d |O1O2|) =【 ;精品教育资源文库 】 = 必会结论 1关注一个直角三角形 当直线与圆相交时，由弦心距 (圆心到直线的距离 )、弦长的一半及半径构成一个直角三角形 2圆心在过切点且垂直于切线的直线上 3两圆相交时公共弦的方程 设圆 C1： x2 y2 D1x E1y F1 0， 圆 C2： x2 y2 D2x E2y F2 0， 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由 所得，即： (D1 D2)x
2、 (E1 E2)y (F1 F2) 0. 4两圆相切时，切点与两圆心三点共线 5两圆不同的位置关系与对应公切线的条数 (1)两圆外离时，有 4 条公切线； (2)两圆外切时，有 3 条公切线； (3)两圆相交时，有 2 条公切线； (4)两圆内切时，有 1 条公切线； (5)两圆内含时，没有公切线 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)“ k 1” 是 “ 直线 x y k 0 与圆 x2 y2 1 相交 ” 的必要 不充分条件 ( ) (2)过圆 O： x2 y2 r2上一点 P(x0， y0)的圆的切线方程是 x0x y0y r2.( ) (3)如果两
3、个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切 ( ) (4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 ( ) (5)“ m 0” 是 “ 直线 x y m 0 与圆 (x 1)2 (y 1)2 2 相切 ” 的充分不必要条件 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 课本改编 直线 l： x y 1 0 与圆 C： x2 y2 4x 2y 1 0 的位置关系是 ( ) A相离 B相切 C相交且过圆心 D相交但不过圆心 答案 D 解析 圆的方程化为 (x 2)2 (y 1)2 4，圆心为 (2,1)，半径为 2，圆心到直线 l 的距离为 |2 1 1|2 20， 所以直
4、线 l 与圆 C 相交故选 A. 解法二：因为圆心 (0,1)到直线 l 的距离 d |m|m2 10?相交， 0?相切，r?相离 【变式训练 1】 2018 深圳模拟 已知点 M(a， b)在圆 O： x2 y2 1 外，则直线 axby 1 与圆 O 的位置关系是 ( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 答案 B 解析 因为 M(a， b)在圆 O： x2 y2 1 外，所以 a2 b21，而圆心 O 到直线 ax by 1的距离 d |a0 b0 1|a2 b2 1a2 b24，所以点 M 在圆 C 外部当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x 3，即 x 3 0. 又点 C(1
5、,2)到直线 x 3 0 的距离 d 3 1 2 r， 即此时满足题意，所以直线 x 3 是圆的切线 当切线的斜率存在时，设切线方程为 y 1 k(x 3)，即 kx y 1 3k 0，则圆心 C到切线的距离 d |k 2 1 3k|k2 1 r 2，解得 k 34. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以切线方程为 y 1 34(x 3)，即 3x 4y 5 0. 综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x 3 0 或 3x 4y 5 0. 因为 |MC| ?3 1?2 ?1 2?2 5，所以过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC|2 r2 5 4 1. 触类旁通 圆的切线有关的结论 (
6、1)过圆 x2 y2 r2上一点 P(x0， y0)的切线方程为 x0x y0y r2. (2)过圆 (x a)2 (y b)2 r2上一点 P(x0， y0)的切 线方程为 (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r2. (3)过圆 x2 y2 r2外一点 P(x0， y0)作圆的两条切线，切点为 A， B，则过 A、 B 两点的直线方程为 x0x y0y r2. (4)过圆 x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F0)外一点 P(x0， y0)引圆的切线，切点为 T，则切线长为 |PT| x20 y20 Dy0 Ey0 F. (5)过圆 C： (x a)2 (y b)2 r
7、2(r0)外一点 P(x0， y0)作圆 C 的两条切线，切点分别为 A， B，则切点弦 AB 所在直线方程为 (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r2. (6)若圆的方程为 (x a)2 (y b)2 r2(r0)，则过圆外一点 P(x0， y0)的切线长 d ?x0 a?2 ?y0 b?2 r2. 【变式训练 2】 2015 广东高考 平行于直线 2x y 1 0 且与圆 x2 y2 5 相切的直线的方程是 ( ) A 2x y 5 0 或 2x y 5 0 B 2x y 5 0 或 2x y 5 0 C 2x y 5 0 或 2x y 5 0 D 2x y 5 0 或 2x
8、y 5 0 答案 A 解析 设与直线 2x y 1 0 平行的直线方程为 2x y m 0(m1) ，因为直线 2x y m 0 与圆 x2 y2 5 相切，即点 (0,0)到直线 2x y m 0 的距离为 5，所以 |m|5 5，|m| 5.故所求直线的方程为 2x y 5 0 或 2x y 5 0. 命题角度 2 圆的弦长问题 例 3 过点 ( 4,0)作直线 l 与圆 x2 y2 2x 4y 20 0 交 于 A， B 两点，若 |AB| 8，则直线 l 的方程为 ( ) A 5x 12y 20 0 B 5x 12y 20 0 或 x 4 0 C 5x 12y 20 0 D 5x 12
9、y 20 0 或 x 4 0 答案 B 解析 圆的标准方程为 (x 1)2 (y 2)2 25， 由 |AB| 8 知，圆心 ( 1,2)到直线 l 的距离 d 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 的方程为 x 4 时，符合题意 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(x 4)，即 kx y 4k 0. 则有 |3k 2|k2 1 3， k 512. 此时直线 l 的方程为 5x 12y 20 0. 命题角度 3 圆中的最值问题 斜率型最值 例 4 已知实数 x， y 满足方程 x2 y2 4x 1 0，则 yx的最大值为 _，最小值为
10、_ 答案 3 3 解析 原方程可化为 (x 2)2 y2 3，表示以 (2,0)为圆心， 3为半径的圆 .yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 yx k， 即 y kx. 当直线 y kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值 (如图 )，此时 |2k 0|k2 1 3，解得k 3. 所以 yx的最大值为 3，最小值为 3. 截距型最值 例 5 2018 郑州模拟 已知实数 x， y 满足 x2 y2 4(y0) ，则 m 3x y 的取值范围是 ( ) A ( 2 3， 4) B 2 3， 4 C 4,4 D 4,2 3 答案 B 解析 由于 y0 ，所以 x2 y2 4(y0
11、) 为上半圆 . 3x y m 0 是直线 (如图 )，且斜率为 3，在 y 轴上截距为 m，又当直线过点 ( 2,0)时， m 2 3， 所以 ? m 2 3，d r， 即? m 2 3，| m|2 2 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 m 2 3， 4，选 B. 触类旁通 直线与圆综合问题的解题策略 (1)用几何法求圆的弦长：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则 ? ?l2 2 r2 d2. (2)求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解 (3)对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子
12、函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求 出最值 【变式训练 3】 2015 江苏高考 在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1,0)为圆心且与直线 mx y 2m 1 0(m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 _ 答案 (x 1)2 y2 2 解析 解法一：设 A(1,0)，由 mx y 2m 1 0，得 m(x 2) (y 1) 0，则直线过定点 P(2， 1)，即该方程表示所有过定点 P 的直线系方程 当直线与 AP 垂直时，所求圆的半径最大 此时，半径为 |AP| ?2 1?2 ? 1 0?2 2. 故所求圆的标准方程为 (x
13、1)2 y2 2. 解法二：设圆的半径为 r，根据直线与圆相切的关系得 r |m 1|1 m2 m2 2m 1m2 1 1 2mm2 1， 当 m0 时， m2 12 m(当且仅当 m 1 时取等号 ) 所以 r 1 1 2，即 rmax 2， 故半径最大的圆的方程为 (x 1)2 y2 2. 考向 两圆的位置关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例 6 (1)2016 山东高考 已知圆 M： x2 y2 2ay 0(a0)截直线 x y 0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N： (x 1)2 (y 1)2 1 的位置关系是 ( ) A内切 B相交 C外切 D相离 答案 B 解析
14、由题意知圆 M 的圆心为 (0， a)，半径 R a，因为圆 M 截直线 x y 0 所得线段的长度为 2 2，所以圆心 M 到直线 x y 0 的距离 d |a|2 a2 2(a0)，解得 a 2，又知圆 N 的圆心为 (1,1)，半径 r 1，所以 |MN| 2，则 R r0)的公共弦的长为 2 3，则 a _. 答案 1 解析 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为 (x2 y2 2ay 6) (x2 y2) 04?y 1a，又 a0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知 1a 22 ? 3?2 1?a 1. 触类旁通 如何处理两圆的位置关系 判断两圆的位置关
15、系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2、 y2项得到 【变式训练 4】 已知圆 C1： x2 y2 2mx 4y m2 5 0 与圆 C2： x2 y2 2x 2my m2 3 0，若圆 C1与圆 C2相外切，则实数 m ( ) A 5 B 5 或 2 C 6 D 8 答案 B 解析 对于圆 C1与圆 C2的方程，配方得圆 C1： (x m)2 (y 2)2 9，圆 C2： (x 1)2(y m)2 4，则圆 C1的圆心 C1(m， 2)，半径 r1 3，圆 C2的圆心 C2( 1， m)，半径 r2 2.如果圆 C1与圆 C2相外切，那么有 |C1C2| r1 r2，即 ?m 1?2 ?m 2?2 5，则 m2 3m 10 0，解得 m 5 或 m
