1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 1 讲 坐标系 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 坐标变换 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：? x x? 0?，y y? 0? 的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x ， y) ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 考点 2 极坐标与直角坐标 1极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做 极点 ，自极点 O 引一条射线 Ox，叫做 极轴 ；再选定一个长度单 位、一个角度单位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 )，就建立了极坐标系 2点的极坐标：对于极
2、坐标系所在平面内的任一点 M，若设 |OM| ( 0) ，以极轴Ox 为始边，射线 OM 为终边的角为 ，则点 M 可用有序数对 ( ， )表示 3极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，射线 Ox的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系设点 P 的直角坐标为 (x， y)，它的极坐标为 ( ， )，则相互转化公式为 ? x cos ，y sin ， ? 2 x2 y2，tan yx?x0 ?. 考点 3 常用简单曲线的极坐标方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)点 P 在
3、曲线 C 上，则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标方程 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)tan 1 与 4 表示同一条曲线 ( 0) ( ) (3)点 P 的直角坐标为 ( 2， 2)，那么它的极坐标可表示为 ? ?2， 34 .( ) (4)过极点，作倾斜角为 的直线的极坐标方程可表示为 或 ( R) ( ) (5)圆心在极轴上的点 (a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2asin .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 2018 开封模拟 方程 2cos 和 4 4 2sin 的曲线的位置关系为( ) A相离 B外切 C相交 D内切 答
4、案 B 解析 方程 2cos 化为直角坐标方程为 (x 1)2 y2 1， 4 4 2sin 化为直角坐标方程为 x2 (y 2 2)2 4，两圆圆心距为 ? 1?2 ?2 2?2 3 1 2，所以两圆外切 3 2018 皖北协作区联考 在极坐标系中，直线 ( 3cos sin ) 2 与圆 4sin 的交点的极坐标为 ( ) A.? ?2， 6 B.? ?2， 3 C.? ?4， 6 D.? ?4， 3 答案 A 解析 ( 3cos sin ) 2 可化为直角坐标方程 3x y 2，即 y 3x 2. 4sin 可化为 x2 y2 4y，把 y 3x 2 代入 x2 y2 4y，得 4x2
5、8 3x 12 0，即 x2 2 3x 3 0，所以 x 3， y 1.所以直线与圆的交点坐标为 ( 3， 1)，化为极坐标为 ? ?2， 6 .故选 A. 4 2018 株洲模拟 在极坐标系中，直线 sin( 4) 2 被圆 4 截得的弦长为( ) A 2 2 B 2 3 C 4 2 D 4 3 答案 D 解析 直线 sin( 4) 2 可化为 x y 2 2 0，圆 4 可化为 x2 y2 16，由圆中的弦长公式得 2 r2 d2 2 42 ? ?2 22 2 4 3. 5 2017 北京高考 在极坐标系中，点 A 在圆 2 2 cos 4 sin 4 0 上，点 P 的坐标为 (1,0)
6、，则 |AP|的最小值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 1 解析 由 2 2 cos 4 sin 4 0，得 x2 y2 2x 4y 4 0，即 (x 1)2 (y 2)2 1， 圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1. 点 P 的坐标为 (1,0)， 点 P 在圆 C 外 又 点 A 在圆 C 上， |AP|min |PC| 1 2 1 1. 6 2017 天津高考 在极坐标系中，直线 4 cos? ? 6 1 0 与圆 2sin 的公共点的个数为 _ 答案 2 解析 由 4 cos? ? 6 1 0 得 2 3 cos 2 sin 1 0，故直线的直角坐标方程为 2 3x 2
7、y 1 0. 由 2sin 得 2 2 sin ， 故圆的直角坐标方程为 x2 y2 2y， 即 x2 (y 1)2 1.圆心为 (0,1)，半径为 1. 圆心到直线 2 3x 2y 1 0 的距离 d |21 1|?2 3?2 22 34 1， 直线与圆相交，有两个公共点 板块二 典例探究 考向突破 考向 平面直角坐标系下图形的变换 例 1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换? x 2x，y 3y 后的图形 (1)2x 3y 0； (2)x2 y2 1. 解 由伸缩变换? x 2x，y 3y， 得到 ? x 12x ，y 13y.(*) (1)将 (*)代入 2x 3y
8、0，得到经过伸缩变换后的图形方程是 x y 0. 因此，经过伸缩变换? x 2x，y 3y 后， 直线 2x 3y 0 变成直线 x y 0. (2)将 (*)代入 x2 y2 1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x24 y 29 1. 因此，经过伸缩变换? x 2x，y 3y 后，圆 x2 y2 1 变成椭圆 x24 y 29 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 触类旁通 平面直角坐标系下图形的变换技巧 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换? x x? 0?y y? 0?下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆
9、【变式训练 1】 求椭圆 x24 y2 1，经过伸缩变换? x 12x，y y后的曲线方程 解 由? x 12x，y y，得到? x 2x ，y y. 将 代入 x24 y2 1，得 4x24 y2 1，即 x 2 y 2 1. 因此椭圆 x24 y2 1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2 y2 1. 考向 极坐标与直角坐标的互化 例 2 2017 全国卷 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos 4. (1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM| OP| 16，求点 P 的轨迹C2的直角坐标
10、方程； (2)设点 A 的极坐标为 ? ?2， 3 ，点 B 在曲线 C2上，求 OAB 面积的最大值 解 (1)设 P 的极坐标为 ( ， )( 0)， M 的极坐标为 ( 1， )( 10) 由题设知 |OP| ， |OM| 1 4cos . 由 |OM| OP| 16 得 C2的极坐标方程为 4cos ( 0) 因此 C2的直角坐标方程为 (x 2)2 y2 4(x0) (2)设点 B 的极坐标为 ( B， )( B0) 由题设知 |OA| 2， B 4cos ，于是 OAB 的面积 S 12|OA| Bsin AOB 4cos ? ?sin? ? 3 2? ?sin? ?2 3 32
11、2 3. 当 12时， S 取得最大值 2 3. 所以 OAB 面积的最大值为 2 3. 触类旁通 直角坐标方程与极坐标方程互化的方法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 直角坐标方程化为极坐 标方程，只需把公式 x cos 及 y sin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如 cos ， sin ， 2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以 (或同除以 ) 及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验 【变式训练 2】 已知直线 l 的参数方程为? x 1 12t，y 3 3t(t 为参数 )在以坐标原点为极点
12、， x 轴非负半轴为极 轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 sin 3 cos2 0. (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标 解 (1) sin 3 cos2 0， sin 3 2cos2 0， 即 y 3x2 0. (2)将? x 1 12t，y 3 3t，代入 y 3x2 0 得， 3 3t 3? ?1 12t 2 0，即 t 0， 从而，交点坐标为 (1， 3)， 交点的一个极坐标为 ? ?2， 3 . 考向 极坐标方程及其应用 例 3 2016 全国卷 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x 6)2 y2 25. (1)以坐标原
13、点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l的参数方程是? x tcos ，y tsin (t为参数 )， l 与 C交于 A， B两点， |AB| 10，求 l 的斜率 解 (1)由 x cos ， y sin ，可得圆 C 的极坐标方程为 2 12 cos 110. (2)在 (1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R) 设 A， B 所对应的极径分别为 1， 2，将 l 的极坐标方程 代入 C 的极坐标方程，得 2 12 cos 11 0. 于是 1 2 12cos ， 1 2 11. |AB| | 1 2| ? 1 2?2 4 1 2 144cos2 44.由 |AB| 10，得 cos2 38， tan 153 .所以 l 的斜率为 153 或 153 . 触类旁通 极坐标方程及其应用的类型及解题策略 (1)求极坐标方程可在平面直角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)求点到直线的距离、线段的长度 先将极坐标系下点的坐标、直线、曲线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线、曲线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离、线段公式求解 【变式训练 3】 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为? x 2cos ，y 2 2sin
