1、=【 ;精品教 育资源文库 】 = 第 3 讲 圆的方程 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 圆的定义、方程 1.在平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫做圆 2.确定一个圆的基本要素是： 圆心 和 半径 3.圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r2(r0) 4.圆的一般方程 (1)一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0； (2)方程表示圆的充要条件为： D2 E2 4F0； (3)圆心坐标 ? ? D2， E2 ，半径 r 12 D2 E2 4F. 考点 2 点与圆的位置关系 1.理论依据 点 与 圆心 的距离与半径的大小关系 2.三个结论 圆的标准方程 (x
2、a)2 (y b)2 r2，点 M(x0， y0)， d 为圆心到点 M 的距离 (1)(x0 a)2 (y0 b)2 r2?点在圆上 ?d r； (2)(x0 a)2 (y0 b)2r2?点在圆外 ?dr； (3)(x0 a)2 (y0 b)20)，其中 a， b 为定值， r 是参数； (2)半径相等的圆系方程： (x a)2 (y b)2 r2(r0)，其中 r 为定值， a， b 是参数 3.圆的直径端点是 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则圆的方程是 (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0. 考点自测 1.判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “
3、”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径 ( ) =【 ;精品教 育资源文库 】 = (2)方程 (x a)2 (y b)2 t2(t R)表示圆心为 (a， b)，半径为 t 的一个圆 ( ) (3)方程 x2 2ax y2 0 一定表示圆 ( ) (4)方程 x2 Bxy y2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是 B 0， D2 E2 4F0.( ) (5)若点 M(x0， y0)在圆 x2 y2 Dx Ey F 0 外，则 x20 y20 Dx0 Ey0 F0.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.教材习题改编 圆 x2 y2 4x 6y 0 的圆心坐标是 ( )
4、 A.(2,3) B ( 2,3) C.( 2， 3) D (2， 3) 答案 D 解析 由 (x 2)2 (y 3)2 13，知圆心坐标为 (2， 3). 3.圆心在 y 轴上且通过点 (3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是 ( ) A.x2 y2 10y 0 B x2 y2 10y 0 C.x2 y2 10x 0 D x2 y2 10x 0 答案 B 解析 设圆心为 (0， b)，半径为 r，则 r |b|， 圆的方程为 x2 (y b)2 b2. 点 (3,1)在 圆上， 9 (1 b)2 b2，解得 b 5. 圆的方程为 x2 y2 10y 0. 4.2016 北京高考 圆 (x
5、 1)2 y2 2 的圆心到直线 y x 3 的距离为 ( ) A.1 B 2 C. 2 D 2 2 答案 C 解析 由题知圆心坐标为 ( 1,0)，将直线 y x 3 化成一般形式为 x y 3 0，故圆心到直线的距离 d | 1 0 3|12 ? 1?2 2.故选 C. 5.课本改编 方程 x2 y2 4mx 2y 5m 0 表示圆的充要条件是 ( ) A.141 C.m1 答案 B 解析 由 (4m)2 4 45 m0，得 m1. 6.已知圆 C 经过 A(5,1)， B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 _ 答案 (x 2)2 y2 10 解析 依题意设所求圆的方程为
6、(x a)2 y2 r2，把所给两点坐标代入方程，得? ?5 a?2 1 r2，?1 a?2 9 r2， =【 ;精品教 育资源文库 】 = 解得? a 2，r2 10， 所以所求圆的方程为 (x 2)2 y2 10. 板块二 典例探究 考向突破 考向 确定圆的方程 例 1 (1)2018 承德模拟 圆心在直线 x 2y 3 0 上，且过点 A(2， 3)， B( 2， 5)的圆的方程为 _ 答案 (x 1)2 (y 2)2 10 解析 设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x 2y 3 0 上，所以可设点 C 的坐标为 (2a 3，a) 又该圆经过 A， B 两点，所以 |CA| |CB|，
7、 即 ?2a 3 2?2 ?a 3?2 ?2a 3 2?2 ?a 5?2，解得 a 2， 所以圆心 C 的坐标为 ( 1， 2)，半径 r 10. 所求圆的方程为 (x 1)2 (y 2)2 10. (2)2016 天津高考 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x y 0 的距离为 4 55 ，则圆 C 的方程为 _ 答案 (x 2)2 y2 9 解析 设圆 C 的方程为 (x a)2 y2 r2(a0)，由题意可得? |2a|5 4 55 ，? a?2 ? 5?2 r2，解得? a 2，r2 9， 所以圆 C 的方程为 (x 2)2 y2
8、9. 触类旁通 1.用待定系数法求圆的方程的一般步骤 (1)选用圆的方程两种形式中的一 种 (若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程 )； (2)根据所给条件，列出关于 D， E， F 或 a， b， r 的方程组； (3)解方程组，求出 D， E， F 或 a， b， r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程 2.用几何法求圆的方程 利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用 . 【变式训练 1】 2015 全国卷 过三点 A(1,3)， B(4,2)， C(1， 7)的
9、圆交 y 轴于M， N 两点，则 |MN| ( ) A.2 6 B 8 C 4 6 D 10 =【 ;精品教 育资源文库 】 = 答案 C 解析 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，将点 A， B， C 代入，得? D 3E F 10 0，4D 2E F 20 0，D 7E F 50 0，解得? D 2，E 4，F 20.则圆的方程为 x2 y2 2x 4y 20 0. 令 x 0，得 y2 4y 20 0，设 M(0， y1)， N(0， y2)， 则 y1， y2是方程 y2 4y 20 0 的两根， 由根与系数的关系，得 y1 y2 4， y1y2 20， 故 |MN| |y1
10、 y2| ?y1 y2?2 4y1y2 16 80 4 6. 考向 与圆有关的对称问题 命题角度 1 两圆相互对称 例 2 圆 (x 2)2 y2 5 关于原点 (0,0)对称的圆的方程为 _ 答案 (x 2)2 y2 5 解析 因为所求圆的圆心与圆 (x 2)2 y2 5 的圆心 ( 2,0)关于原点 (0,0)对称，所以所求圆的圆心为 (2,0)，半径为 5，故所求圆的方程为 (x 2)2 y2 5. 命题角度 2 圆自身对称 例 3 若圆 (x 1)2 (y 3)2 9 上的相异两点 P， Q 关于直线 kx 2y 4 0 对称，则 k的值为 _ 答案 2 解析 圆是轴对称图形，过圆心的
11、直线都是它的对称轴已知圆的圆心为 ( 1,3)，由题设知，直线 kx 2y 4 0 过圆心，则 k( 1) 23 4 0，解得 k 2. 触类旁通 对称圆的半径不变，圆的对称 问题实际上是点的对称问题，求解过程中最重要的就是确定圆心 掌握对称圆的几何特性对于解决圆的对称问题非常重要，此类问题往往与直线的位置关系综合命题 . 考向 与圆有关的最值 命题角度 1 距离型最值 例 4 2018 沈阳模拟 已知 x， y 满足 x 2y 5 0，则 (x 1)2 (y 1)2的最小值为( ) A.45 B.25 C.2 55 D. 105 答案 A 解析 (x 1)2 (y 1)2表示点 P(x， y
12、)到点 Q(1,1)的距离的平方由已知可得点 P 在直线 l： x 2y 5 0 上，所以 |PQ|的最小值为点 Q 到直线 l 的距离， =【 ;精品教 育资源文库 】 = 即 d |1 21 5|1 22 2 55 ，所以 (x 1)2 (y 1)2的最小值为 d2 45.故选 A. 命题角度 2 建立目标函数求最值问题 例 5 已知圆 C： (x 3)2 (y 4)2 1 和两点 A( m,0)， B(m,0)(m0)若圆 C 上存在点 P，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为 ( ) A.7 B 6 C 5 D 4 答案 B 解析 解法一：由 (x 3)2 (y 4)2 1，知圆上
13、点 P(x0， y0)可化为? x0 3 cos ，y0 4 sin . APB 90 ，即 AP BP 0， (x0 m)(x0 m) y20 0， m2 x20 y20 26 6cos 8sin 26 10sin( )36 ? ?其中 tan 34 ， 00)， m |OP| OC| r， C(3,4)， r 1， |OP|6 ，即 m6. 故选 B. 触类旁通 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值 形如 y bx a形式的最值问题，可转 化为动直线斜率的最值问题； 形如 t ax by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； 形如 (x a)2 (y b)2形式
14、的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 (2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的 . 考向 与圆有关的轨迹问题 例 6 已知圆 x2 y2 4 上一定点 A(2,0)， B(1,1)为圆内一点， P， Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若 PBQ 90 ，求线段 PQ 中点的轨迹方程 解 (1)设 AP 的中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为 (2x 2,2y) 因为 P 点在圆 x2 y2 4 上，所以 (2x
15、2)2 (2y)2 4.故线段 AP 中点的轨迹方程为 (x 1)2 y2 1. (2)设 PQ 的中点为 N(x， y) 在 Rt PBQ 中， |PN| |BN|. =【 ;精品教 育资源文库 】 = 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON PQ， 所以 |OP|2 |ON|2 |PN|2 |ON|2 |BN|2， 所以 x2 y2 (x 1)2 (y 1)2 4. 故线段 PQ 中点的轨迹方 程为 x2 y2 x y 1 0. 触类旁通 与圆有关的轨迹问题的求法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程； (3)代入法 (相关点法 )：找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式 注：本章第 8 讲有详细讲解 . 【变式训练 2】 全国卷 已知点 P(2,2)，圆 C： x2 y2 8y 0，过点 P 的动直
