1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做 真命题 ，判断为假的语句叫做 假命题 考点 2 四种命题及其关系 考点 3 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p?q，则 p 是 q 的 充分 条件， q 是 p 的 必要 条件 p 是 q 的 充分不必要 条件 p?q 且 q?/ p p 是 q 的 必要不充分 条件 p?/q 且 q?p p 是 q 的 充要 条件 p?q p 是 q 的 既不充分也不必要 条件 p
2、?/q 且 q?/ p 必会结论 1.两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性 2两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系 3若 A x|p(x)， B x|q(x)，则 (1)若 A?B，则 p 是 q 的充分条件； (2)若 A?B，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 A B，则 p 是 q 的充要条件； (4)若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5)若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件； =【 ;精品教育资源文库 】 = (6)若 A B 且 A?B，则 p 是 q 的 既不充分也不必要条件 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误
3、的打 “”) (1)“ x2 2x 81，则 p 是 q 成立的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条 件 答案 A 解析 (1,2) (0， ) ， p 是 q 的充分不必要条件 4原命题 p： “ 设 a， b， c R，若 ab，则 ac2bc2” 以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 4 答案 C 解析 当 c 0 时， ac2 bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为 “ 设 a， b， c R，若 ac2bc2，则 ab” ，它是真命题；
4、由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题综上所述，真命题有 2个 5 “ a0 C.ab1 D.abb，则 a2b2” 的逆否命题； “ 若 x 3，则 x2 x 60” 的否命题； 其中真命题是 _ (写出所有真命题的序号 ) 答案 解析 “ 若 xy 1，则 x， y 互为倒数 ” 的逆命题是 “ 若 x， y 互为倒数，则 xy 1” ，是真命题； “ 四边相等的四边形是正 方形 ” 的否命题是 “ 四边不都相等的四边形不是正方形 ” ，是真命题； “ 若 a2 b2，则 a b” ，取 a 0， b 1， a2 b2，但 ab，故是假命题； “ 若 x 3，则 x2
5、x 60” ，解不等式 x2 x 60 可得 2 x3 ，而 x 4 3不是不等式的解，故是假命题 触类旁通 四种命题真假判断的方法 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键； (2)根据 “ 原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假 ” 这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假； (3)判断一 个命题为假命题可举反例 【变式训练 1】 2017 郑州模拟 给出以下四个命题： “ 若 x y 0，则 x， y 互为相反数 ” 的逆命题； “ 全等三角形的面积相等 ” 的否命题； “ 若 q 1，则 x2 x q 0 有实根 ” 的逆否命题；
6、 若 ab 是正整数，则 a， b 都是正整数 其中真命题是 _ (写出所有真命题的序号 ) 答案 解析 命题 “ 若 x y 0，则 x， y 互为相反数 ” 的逆命题为 “ 若 x， y 互为相反数，则 x y 0” ，显然 为真命题； 不全等的三角形的面积也可能相等，故 为假命题； 原命题正确，所 以它的逆否命题也正确，故 为真命题； 若 ab 是正整数，但 a， b 不一定=【 ;精品教育资源文库 】 = 都是正整数，例如 a 1， b 3，故 为假命题 考向 充分必要条件的判定 命题角度 1 定义法判断充分、必要条件 例 2 2016 四川高考 设 p：实数 x， y 满足 x1 且
7、 y1， q：实数 x， y 满足 x y2，则 p 是 q 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 x1 且 y1，则有 x y2 成立，所以 p?q；反之由 x y2 不能得到 x1 且y1.所以 p 是 q 的充 分不必要条件 命题角度 2 等价转化法判断充分、必要条件 例 3 给定两个命题 p， q.若綈 p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是綈 q 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 q?綈 p 但綈 p?/
8、q，其逆否命题为 p?綈 q但綈 q?/p，所以 p 是綈 q 的充分不必要条件 触类旁通 充分条件、必要条件的判定方法 (1)定义法：根据 p?q， q?p 进行判断，适用于定义、定理判 断性问题 (2)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题 考向 充分必要条件的应用 例 4 2018 辽宁模拟 已知命题 p： |x 4|6 ，命题 q： 1 m x1 m， m0，若綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，求实数 m 的取值范围 解 p： x 2,10， q： x 1 m,1 m， m0. 綈 p 是綈 q 的必
9、要而不充分条件，即 p?q 且 q?/p. 2,10 1 m,1 m， 即? m0，1 m 2，1 m10.解得 m9 ， 实数 m 的取值范围是 9， ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 触类旁通 根据充要条件求参数的取值范围 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式 (组 )求解；涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈 p，綈 q 之间的关系转化成 p， q 之间的关系来求解 【变式训练 2】 已知条件 p： x2 2x 30；条件 q： xa，且綈 q 的一个
10、充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是 ( ) A 1， ) B ( ， 1 C 1， ) D ( ， 3 答案 A 解析 由 x2 2x 30，得 x1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈p是綈 q的充分不必要条件，等价于 q是 p的充分不必要条件 x|xa x|x1， a1. 核心规律 判断 p 是 q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件 p 能否推得条件 q；二是由条件 q 能否推得条件 p.对于带有否定性的命题或比较难判断的 命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题 满分策略
11、1.当一个命题有大前提时，要写出其他三种命题，必须保留大前提，也就是大前提不动 2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成 “ 若p，则 q” 的形式 3.判断条件之间的关系，要注意条件之间的推出方向，正确理解 “ p 的一个充分而不必要条件是 q” 等语言 . 板块三 启智培优 破译高考 题型技法系列 1 充分必要条件的探求技巧 2018 广东六 校联考 “ 不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立 ” 的一个必要不充分条件是 ( ) A m14 B 00 D m1 解题视点 有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项 “ 推 ” 题干，还是题干
12、“ 推 ” 选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论 解析 不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立，则 1 4m14. “ 不等式 x2 xm0 在 R 上恒成立 ” 的一个必要不充分条件是 m0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 答题启示 注意区分以下两种不同的说法 ,?1?A 是 B 的充分不必要条件，是指 A?B 但B?/A； ?2?A 的充分不必要条件是 B，是指 B?A 但 A?/ B.,以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现错误判断 . 跟踪训练 下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的
13、条件是 ( ) A ab 1 B ab 1 C a2b2 D a3b3 答案 A 解析 ab 1?ab； 反之，例如 a 2， b 1 满足 ab，但 a b 1，即 ab 推不出 ab 1，故 ab 1 是 ab成立的充分而不必要的条件故选 A. 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 江西模拟 若集合 A 2,4， B 1， m2，则 “ A B 4” 是 “ m 2” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当 m 2 时，有 A B 4；若 A B 4，则 m2 4，解得 m 2 ，不能推出 m 2.故选 B
14、. 2下列命题是真命题的为 ( ) A若 1x 1y，则 x y B若 x2 1，则 x 1 C若 x y，则 x y D若 x0” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 |x 2|0?x1.由于 (1,3) ( ， 2) (1， ) ，所以 “| x 2|0” 的充分而不必要条件 4下列结论错误的是 ( ) A命题 “ 若 x2 3x 4 0，则 x 4” 的逆否命题为 “ 若 x4 ，则 x2 3x 40” B “ x 4” 是 “ x2 3x 4 0” 的充分条件 C命题 “ 若 m0，则方程 x2 x m 0 有实根 ” 的逆命题为真命题 =【 ;精品教育资源文库 】 = D命题 “ 若 m2 n2 0，则 m 0 且 n 0” 的否命题是 “ 若 m2 n20 ，则 m
