1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 数列求和 A组 基础题组 1.数列 an的通项公式是 an= ,前 n项和为 9,则 n 等于 ( ) A.9 B.99 C.10 D.100 2.已知数列 an满足 an+1= + ,且 a1= ,则该数列的前 2 016项的和等于 ( ) A.1 509 B.3 018 C.1 512 D.2 016 3.在数列 an中 ,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么 S100的值为 ( ) A.2 500 B.2 600 C.2 700 D.2 800 4.已知数列 an的前 n项和 Sn=n2-6n,则 |an|的前 n项和 Tn=
2、( ) A.6n-n2 B.n2-6n+18 C. D. 5.设数列 an的前 n项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,nN *,则 a1= ,S5= . 6.(2015 课标 ,16,5 分 )设 Sn是数列 an的前 n项和 ,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= . 7.对于数列 an,定义数列 an+1-an为数列 an的 “ 差数列 ”, 若 a1=2,an的 “ 差数列 ” 的通项为 2n,则数列 an的前 n项和 Sn= . 8.(2017 北京朝阳期中 )已知数列 an(nN *)是公差不为 0的等差数列 ,若 a1=1,且 a2,a4,a8成等比数列
3、 . (1)求 an的通项公式 ; (2)若 bn= ,求数列 bn的前 n项和 Sn. 9.(2016 北京 ,15,13分 )已知 an是等差数列 ,bn是等比数列 ,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求 an的通项公式 ; (2)设 cn=an+bn,求数列 cn的前 n项和 . =【 ;精品教育资源文库 】 = B组 提升题组 10.在数 列 an中 ,an= ,若 an的前 n项和 Sn= ,则 n=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.在数列 an中 ,已知 a1=1,an+1+(-1)nan=cos(n+1), 记 Sn为数列 an的前 n项和 ,
4、则 S2 015= . 12.在数列 an中 ,a2=4,a3=15,若 Sn为 an的前 n项和 ,且数列 an+n是等比数列 ,则 Sn= . 13.(2017北京海淀二模 )已知 an是各项均为正数的等差数列 ,Sn为其前 n项和 ,且 4Sn=(an+1)2. (1)求 a1,a2的值及 an的通项公式 ; (2)求数列 的最小值 . 14.(2016北京朝阳一模 )已知数列 an的前 n项和 Sn=2n2-n,nN *. (1)求数列 an的通项公式 ; (2)若 bn=(-1)nan,求数列 bn的前 n项和 Tn. =【 ;精品教育资源文库 】 = 15.(2018北京东城期末
5、)已知 an是等差数列 ,bn是等比数列 ,且 a1=b1=2,a3+a5=22,b2b4=b6. (1)求 an和 bn的通项公式 ; (2)设 cn=an-bn,求数列 cn的前 n项和 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 精解精析 A组 基础题组 1.B a n= = - , S n=a1+a2+?+a n=( - )+( - )+?+( - )+( - )= -1, 令 -1=9,得 n=99,故选 B. 2.C 因为 a1= ,an+1= + ,所以 a2=1,从而 a3= ,a4=1,?, 可得 an= 故数列的前2 016项的和 S2 016=1 008 =1 512.
6、3.B 当 n为奇数时 ,an+2-an=0?an=1,当 n为偶数时 ,an+2-an=2?an=n,故 an= 于是S100=50+ =2 600. 4.C 由 Sn=n2-6n 知 an是等差数列 ,且首项为 -5,公差为 2. a n=-5+(n-1)2=2n -7, n3 时 ,an3时 ,an0, 易得 Tn= 5. 答案 1;121 解析 由 an+1=2Sn+1,得 a2=2S1+1,即 S2-a1=2a1+1,又 S2=4,4 -a1=2a1+1,解得 a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,S n+1-Sn=2Sn+1,即 Sn+1=3Sn+1,则 Sn+1+ =3 ,又 S
7、1+ = , 是首项为 ,公比为 3的等比数列 , S n+ = 3 n-1,即 Sn= , =【 ;精品教育资源文库 】 = S 5= =121. 6. 答案 - 解析 a n+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1, S n+1-Sn=Sn+1Sn,又由 a1=-1,知 Sn0, - =1, 是等差数列 ,且公差为 -1,而 = =-1, =-1+(n-1)( -1)=-n,S n=- . 7. 答案 2n+1-2 解析 由题意知 an+1-an=2n, 当 n2 时 ,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a 2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+?+2 2+2+
8、2 = +2=2n-2+2=2n, 又 a1=2 满足上式 ,a n=2n(nN *), S n= =2n+1-2. 8. 解析 (1)设 an的公差为 d(d0), 因为 a2,a4,a8成等比数列 , 所以 =a2a 8. 即 (a1+3d)2=(a1+d)(a 1+7d), 即 d2=a1d. 又 a1=1,且 d0, 所以 d=1. 所以 an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n. (2)由 (1)知 bn= = = - . =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 Sn=1- + - +?+ - , 即 Sn=1- = . 9. 解析 (1)等比数列 bn的公比 q= = =3,
9、所以 b1= =1,b4=b3q=27. 设等差数列 an的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27, 所以 1+13d=27,即 d=2. 所以 an=2n-1(n=1,2,3,? ). (2)由 (1)知 ,an=2n-1,bn=3n-1. 因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列 cn的前 n项和 Sn=1+3+? +(2n-1)+1+3+? +3n-1 = + =n2+ . B组 提升题组 10.D 由 an= =1- 得 Sn=n- =n- ,Sn= =n- ,将各选项中的值代入验证得n=6. 11. 答案 -1 006 解析 由 a1=1,an+1+(-
10、1)nan=cos(n+1) ,得 a2=a1+cos 2 =1+1=2,a3=-a2+cos 3 =-2-1=-3, a4=a3+cos 4 =-3+1=-2,a5=-a4+cos 5 =2-1=1,? , 由此可知 ,数列 an是以 4为周期的周期数列 ,且 a1+a2+a3+a4=-2,所以 S2 015=503 (a1+a2+a3+a4)+a2 013+a2 014+a2 015=503 (-2)+a1+a2+a3=-1 006. 12. 答案 3n- -1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 析 an+n是等比数列 , 数列 an+n的公比 q= = = =3, 则 an+n的通项
11、为 an+n=(a2+2) 3n-2=6 3n-2=2 3n-1, 则 an=2 3n-1-n, Sn= - =3n- -1. 13. 解析 (1)因为 4Sn=(an+1)2, 所以 ,当 n=1时 ,4a1=(a1+1)2, a1=1, 所以 ,当 n=2时 ,4(1+a2)=(a2+1)2,解得 a2=-1或 a2=3, 因为 an是各项均为正数的等差数列 ,所以 a2=3, 所以 an的公差 d=a2-a1=2, 所以 an的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n-1. (2)因为 4Sn=(an+1)2, 所以 Sn= =n2, 所以 Sn- an=n2- (2n-1)=n2-7
12、n+ = - . 所以 ,当 n=3或 n=4时 ,Sn- an取得最小值 - . 故数列 的最小值为 - . 14. 解析 (1)Sn=2n2-n, 当 n 2 时 ,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2-(n-1)=4n-3. 当 n=1时 ,a1=S1=1,又 4 1-3=1, a1=1 满足上式 , 所以数列 an的通项公式为 an=4n-3,n N*. (2)由 (1)可得 bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3), 当 n 为偶数时 ,Tn=-1+5-9+13-17+? +(4n-3)=4 =2n. 当 n 为奇数时 ,n+1为偶数 , =【 ;精品教育资源文库 】
13、 = Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1. 综上 ,Tn= 15. 解析 (1)设等差数列 an的公差为 d,等比数列 bn的公比为 q. 因为 a3+a5=2a4=22,所以 a4=11=2+3d, 解得 d=3. 又因为 b2b4=b1b5=b6=qb5,所以 q=b1=2. 所以 an=3n-1,bn=2n,n N*. (2)由 (1)知 ,an=3n-1,bn=2n,n N*. 因此 cn=an-bn=3n-1-2n, 数列 an的前 n项和为 = , 数列 bn的前 n项和为 =2n+1-2. 所以 ,数列 cn的前 n项和为 -2n+1+2,n N*.
