1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 不等式证明 例 1： 设 0?ba ，求证： .abba baba ? 分析： 发现作差后变形、判断符号较为困难。考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与 1 的大小关系，从而证明不等式。 证明： baabbaabba bababa ba ? ? )(， 0?ba ， .0,1 ? baba 1)( ?baba abbababa .1? 又 0?abba ， .abba baba ? 。 说明： 本题考查不等式的证明方法 比较法 (作商比较法 )。作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与 1 的大小。 例 2：对于任意实数 a 、 b ，求证
2、 44 4()22a b a b? （当且仅当 ab? 时取等号）。 分析 ：这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有 4()2ab? ，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式： 222a b ab? 出发，再恰当地利 用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明： 222a b ab? （当且仅当 22ab? 时取等号） 两边同加 4 4 4 4 2 2 2( ) : 2 ( ) ( )a b a b a b? ? ? ?，即： 4 4 2 2 2()22a b a b? （ 1） 又： 222a b ab? （当且仅当 ab? 时取等号）， 两边同加 2
3、2 2 2 2( ) : 2 ( ) ( )a b a b a b? ? ? ? 22 2()a b a b? ， 2224( ) ( )a b a b? （ 2） 由（ 1）和（ 2）可得 44 4()22a b a b? （当且仅当 ab? 时取等号）。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 说明： 此题参考用综合法证明不等式。综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解。 例 3：若 10 ?x ，证明 )1(lo g)1(lo g xx aa ? ，（ 0?a 且 1?a ）。 分析 1： 用作差法来证明。需分
4、为 1?a 和 10 ?a 两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明。 解法 1： 当 1?a 时，因为 11,110 ? xx ， 所以 )1(lo g)1(lo g xx aa ? )1(lo g)1(lo g xx aa ? 0)1log 2 ? xa 。 当 10 ?a 时，因为 11,110 ? xx ， 所以 )1(lo g)1(lo g xx aa ? )1(lo g)1(lo g xx aa ? 0)(log 2 ? xa 。 综上， )1(lo g)1(lo g xx aa ? 。 分析 2： 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号。 解法 2： 作差比较法。因为 )1(l
5、o g)1(lo g xx aa ?a xa x lg )1lg(lg )1lg( ? ?)1lg()1lg(lg1 xxa ? ? ?)1lg()1lg(lg1 xxa ? 0)1l (lg 1 2 ? xa ， 所以 )1(lo g)1(lo g xx aa ? 。 说明： 解法 1 用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法 2 用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快。 补充：（比较法）已知 2?a ，求证： ? ? ? ?1loglog 1 ? aa aa 。 解法 1：? ? ? ? ? ? ? ?1lo g1lo g 11l
6、o glo g 1 ? aaaa aaaa ? ? ? ? ? ? ?1lo g 1lo g1lo g1 ? ? a aa a aa。 因为 2?a ，所以， ? ? ? ? 01lo g,01lo g ? aa aa ，所以， =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14l o g41l o g21l o g1l o g1l o g1l o g22222? ?aaaaaaaaaaaa所以， ? ? ? ? 01lo glo g 1 ? aa aa ，命题得证。 解法 2：因为 2?a ，所以， ? ? ? ? 01lo g,01lo g ?
7、aa aa ， 所以， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1lo g1lo g 11lo g 1lo g11lo glo g 1? aaa aaaaaaaaa ， 由解法 1 可知：上式 1? 。故命题得证 。 例 4：已知 a 、 b 、 cR? ， 1abc? ? ? ，求证 1 1 1 9.abc? ? ? 分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把 1 1 1abc? 通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明。由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如 baab? ，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧。
8、证明： 1abc? ? ? 1 1 1abc? a b c a b c a b ca b c? ? ? ? ? ? ? ? (1 ) ( 1 ) ( 1 )b c a c a ba a b b c c? ? ? ? ? ? ? ? ?3 ( ) ( ) ( )b a c a c ba b a c b c? ? ? ? ? ? 22b a b aa b a b? ? ? ?，同理： 2caac?， 2cbbc?。 1 1 1 3 2 2 2 9 .abc? ? ? ? ? ? ? 说明： 此题考查了变形应用综合法证明不等式。题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先
9、对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的。 例 5： 已知 cba ? ，求证： accbba ? 111 ? 0。 分析： 此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程。 =【 ;精品教育资源文库 】 = （分析法书写过程） 证明 1： 为了证明 accbba ? 111 ? 0 只需要证明 cbba ? 11 ? ca?1 cba ? 0,0 ? cbbaca cbcaba ? 1,11 ? ? 0 cbba ? 11 ? ca?1 成立 accbba ? 111 ? 0 成立 （综合法书写过程）证明 2： cba
10、? 0,0 ? cbbaca ba?1 ? ca?1 ， cb?1 ? 0， cbba ? 11 ? ca?1 成立， accbba ? 111 ? 0 成立 说明： 学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚。 例 6： 已知 0?ba ，求证： bbaabbaaba 8 )(28 )( 22 ? 。 分析： 欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单” 的形式，因而用分析法证明较好。 证明： 欲证 bbaabbaaba 8 )(28 )( 22 ? ，只须证 bbaabbaaba 4 )(24 )( 22 ? 。 即要证 222
11、2)(2 ? ? ? bbabaaba，即要证bbabaaba 22 ?。 即要证b baa ba 212 ?，即要证b baa ba ? 2。 即要证 121 ?baab，即baab ?1，即要证 baab ?1 （ *） 0?ba ，（ *）显然成立，故 bbaabbaaba 8 )(28 )( 22 ? 说明： 分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件。分析法通常采用“欲证 只要证 即证 已知”的格式。 例 7： 设 n 是正整数，求证 121211121 ? nnn ?。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 分析： 要求一个 n 项分式 nnn 212111 ? ?的范围，它
12、的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围。 证明： 由 ),2,1(2 nknknn ? ，得 nknn 1121 ? 。 当 1?k 时， nnn 11121 ? ；当 2?k 时， nnn 12121 ? . 当 nk? 时， nnnn 1121 ? ， 1212111221 ? nnnnnnn ?。 说明 1： 用放缩 法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境。例如证明4712111 222 ? n?。由kkk 11112 ?，如果从第 3 项开始放缩，正好可证明；如果从第2 项放缩，可得小于 2。当放缩方式不同，结果也在变化。 说明 2： 放缩法一般
13、包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和。 例 8： 求证 2131211 222 ? n?。 证明： )2(111)1( 11112 ? nnnnnnnn， ? ? ? ? 312121111131211 222 n 212111 ? ? nnn。 说明： 此题证明过程并不复杂，但思路难寻。本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法， 即放缩法。这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键。 例 9：证
14、明不等式： nn 2131211 ? ?， ? ?Nn? 。 讲解 ：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解法 1：当 1?n 时命题成立。 假设 ? ?Nkkn ? 时命题成立，即： kk 2131211 ? ?。 则当 1?kn 时，不等式的左端11131211 ? kk? 112 ? kk不等式的右端 12 ? k 。 由于 12 ?k ? ? 112 kk? ? ?1112 ? kkk 112 ? kk01111 2 ? kkk。 所以，112 ? kk 12 ? k，即 1?kn 时命题也成立。 由可知：原不等式得证。 从上述证法可以看出：其中用到了 1? kk 这一事实，从而达到了kk ?12和11?k之间的转化，也即 ? ?kk ?12 和11?k之间的转化，这就提示我们，本题是否可以直接利用这一关系进行放缩 ？观察原不等式，若直接证明，直接化简是不可能的，但如果利用 ? ?12121 ? kkkkk进行放缩，则可以达到目的，由此得解 2。 解法 2：因为对于任意自然数 k ，都有 ? ?12121 ? kkkkk，所以，? ? ? ? ? ? ? ?nnnn212232122012131211?，从而不等式得证。
