1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.3 等比数列 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 1.等比数列的有关概念及运算 1.理解等比数列的概念 . 2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式 . 理解 18(1), 6分 18(1), 7分 3,5 分 10(文 ),2分 17(文 ), 约 3 分 20(1), 约 3分 17(1)(文), 约 4分 22,约 5分 2.等比数列的性质及应用 1.了解等比数列与指数函数的关系 . 2.能利用等比数列前 n项和公式及其性质求一些特殊数列 的和 . 3.能运用数列的等比关系解决实际问
2、题 . 掌握 19(文 ), 约 3分 18(2), 7分 17(2)(文), 约 4分 分析解读 1.考查等比数列的定义与判定 ,通项公式、前 n项和的求解 ,等比数列的性质等知识 . 2.等比数列与不等式结合的范围求解、大小比较、不等式证明是高考的热点 . 3.预计 2019年高考试题中 ,对等比数列的考查仍以概念、性质、通项、前 n项和等基本量为主 ,以中档题形式出现 . 五年高考 考点一 等比数列的有关概念及运算 1.(2017课标 全国 理 ,3,5 分 )我国古代数学名著算法统宗中有如下问题 :“ 远望巍巍塔七层 ,红光点点倍加增 ,共灯三百八十一 ,请问尖头几盏灯 ?” 意思是
3、:一座 7层塔共挂了 381盏灯 ,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍 ,则塔的顶层共有灯 ( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 答案 B 2.(2014重庆 ,2,5分 )对任意等比数列 an,下列说法一定正确的是 ( ) A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 答案 D 3.(2017课标全国 理 ,14,5 分 )设等比数列 an满足 a1+a2=-1,a1-a3=-3,则 a4 = . 答案 -8 4.(2017江苏 ,9,5分 )等比数列 an的各项均为实数 ,其前 n项和为
4、Sn.已知 S3= ,S6= ,则 a8= . 答案 32 5.(2016课标全国 ,15,5 分 )设等比数列 an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2?a n的最大值为 . 答案 64 6.(2014天津 ,11,5分 )设 an是首项为 a1,公差为 -1的等差数列 ,Sn为其前 n项和 .若 S1,S2,S4成等比数列 ,则 a1的值为 . 答案 - 7.(2017课标全国 文 ,17,12 分 )记 Sn为等比数列 an的前 n项和 .已知 S2=2,S3=-6. (1)求 an的通项公式 ; (2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列 . =【
5、;精品教育资源文库 】 = 解析 本题考查等差、等比数列 . (1)设 an的公比为 q,由题设可得 解得 q=-2,a1=-2. 故 an的通项公式为 an=(-2)n. (2)由 (1)可得 Sn= =- +(-1)n . 由 于 Sn+2+Sn+1=- +(-1)n =2 =2Sn, 故 Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列 . 8.(2016课标全国 ,17,12 分 )已知数列 an的前 n项和 Sn=1+a n,其中 0. (1)证明 an是等比数列 ,并求其通项公式 ; (2)若 S5= ,求 . 解析 (1)由题意得 a1=S1=1+a 1, 故 1,a 1= ,a10.(2 分
6、 ) 由 Sn=1+a n,Sn+1=1+a n+1得 an+1=a n+1-a n,即 an+1( -1)=a n.由 a10,0 得 an0, 所以 = . 因 此 an是首项为 ,公比为 的等比数列 ,于是 an= .(6分 ) (2)由 (1)得 Sn=1- . 由 S5= 得 1- = ,即 = . 解得 = -1.(12分 ) 9.(2016四川 ,19,12分 )已知数列 an的首项为 1,Sn为数列 an的前 n项和 ,Sn+1=qSn+1,其中 q0,nN *. (1)若 2a2,a3,a2+2 成等差数列 ,求数列 an的通项公式 ; (2)设双曲线 x2- =1的离心率为
7、 en,且 e2= ,证明 :e1+e2+?+e n . 解析 (1)由已知 ,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到 an+2=qan+1,n1. 又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1, 故 an+1=qan对所有 n1 都成立 . 所以 ,数列 an是首项为 1,公比为 q的等比数列 . 从而 an=qn-1.由 2a2,a3,a2+2成等差数列 ,可得 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2a3=3a2+2,即 2q2=3q+2,则 (2q+1)(q-2)=0, 由已知 ,q0,故 q=2.所以 an=2n-1(nN *). (2)由 (1)可知 ,an=qn
8、-1. 所以双曲线 x2- =1的离心率 en= = . 由 e2= = ,解得 q= . 因为 1+q2(k-1)q2(k-1),所以 qk-1(kN *). 于是 e1+e2+?+e n1+q+?+q n-1= , 故 e1+e2+?+e n . 10.(2015四川 ,16,12分 )设数列 an(n=1,2,3,?) 的前 n项和 Sn满足 Sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3成等差数列 . (1)求数列 an的通项公式 ; (2)设数列 的前 n项和为 Tn,求 Tn. 解析 (1)由已知 Sn=2an-a1, 有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2), 即 an
9、=2an-1(n2). 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为 a1,a2+1,a3成等差数列 ,即 a1+a3=2(a2+1). 所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2. 所以 ,数列 an是首项为 2,公比为 2的等比数列 . 故 an=2n. (2)由 (1)得 = . 所以 Tn= + +?+ = =1- . 教师用书专用 (11 16) 11.(2013江西 ,3,5分 )等比数列 x,3x+3,6x+6,? 的第四项等于 ( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 答案 A 12.(2013课标全国 ,3,5 分 )等比数列 an的 前 n项和为 Sn
10、,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( ) A. B.- C. D.- =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 13.(2013江苏 ,14,5分 )在正项等比数列 an中 ,a5= ,a6+a7=3.则满足 a1+a2+?+a na1a2?a n的最大正整数 n的值为 . 答案 12 14.(2014江苏 ,7,5分 )在各项均为正数的等比数列 an中 ,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6的值是 . 答案 4 15.(2014课标 ,17,12 分 )已知数列 an满足 a1=1,an+1=3an+1. (1)证明 是等比数列 ,并求 an的通项公式 ; (2)证明
11、 + +?+ Sn- S2- = - =- . 综上 ,对于 nN *,总有 - S n- . 所以数列 Tn最大项的值为 ,最小项的值为 - . 教师用书专用 (7 9) 7.(2013福建 ,9,5分 )已知等比数列 an的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+?+a m(n-1)+m,cn=am(n-1)+1a m(n-1)+2?a m(n-1)+m(m,nN*),则以下结论一定正确的 是 ( ) A.数列 bn为等差数列 ,公差为 qm B.数列 bn为等比数列 ,公比为 q2m C.数列 cn为等比数列 ,公比为 D.数列 cn为等比数列 ,公比为 答案 C
12、8.(2014广东 ,13,5分 )若等比数列 an的各项均为正数 ,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1+ln a2+?+ln a20= . 答案 50 9.(2013北京 ,10,5分 )若等比数列 an满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q= ;前 n项和 Sn= . 答案 2;2n+1-2 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点一 等比数列的有关概念及运算 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1.(2018浙江镇海中学期中 ,2)等比数列 an的前 n项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 等于 ( ) A.-3 B.5 C.-31
13、D.33 答案 D 2.(2017浙江温州十校期末联考 ,8)已知数列 an的首项 a1=1,前 n项和为 Sn,且满足 2an+1+Sn=2,则满足0,则 a10 B.若 T2n+10 D.若 T4n+1 + - =0,即 cn+1cn, 因此数列 cn是单调递增的 ,所以 (cn)min=c1= .(9分 ) (3)证明 :当 n2 时 , =( - )+( - )+?+(S 4-S2)+(S2-S1)+S1= + +?+c 2+c1+S1,由 (2)知 ?c 2,又 c1= ,S1=1,c2= ,所以 (n -1)c2+c1+S1= (n-1)+ +1= .(15 分 ) 7.(2017
14、浙江温州模拟考 (2 月 ),22)设数列 an满足 an+1= -an+1(nN *),Sn为数列 an的前 n项和 ,证明 : (1)当 0a 11 时 ,0a n1; (2)当 a11时 ,an(a1-1) ; (3)当 a1= 时 ,n- 1,所以 an1(nN *). 从而 an+1-1=( -an+1)-1= -an=an(an-1), 即 =ana 1,(6分 ) 于是 an-1(a 1-1) ,即 an(a1-1) (n2,nN *), 经检验 ,当 n=1时 ,不等式也成立 , 故当 a11时 ,an(a1-1) .(8分 ) (3)当 a1= 时 ,由 (1)知 ,0bn+10(nN *), 由 an+1= -an+1,可得 =bn-bn+1,(10分 ) 从而 + +?+ =(b1-b2)+(b2-b3)+?+(b n-bn+ 1)=b1-bn+1n , 故 n n- , 所以当 a1= 时 ,n- Snn.(15分 ) C组 2016 2018 年模拟 方法题组 方法 1 等比数列中 “ 基本量法 ” 的解题策略 1.(2016浙江高考模拟冲刺 (五 ),17)已知等差数列 an,等比数列 bn满足 :a1+a2=a3,b1b2=b3,且 a3,a2+b1,a1+b2成等差数列 ,a1,a2,b2成等比数列 .
