1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 几何概型 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 几何概型 1几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 (面积或体积 )成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 2几何概型的两个基本特点 考点 2 几何概型的概率公式 P(A) 构成事件 A的区域长度 ?面积或体积 ?试验的全部结果所构成的区域长度 ?面积或体积 ?. 必会结论 几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关； (2)与面积有关 的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量
2、分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零 . ( ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等 ( ) (3)在几何概型定义中的区 域可以是线段、平面图形、立体图形 ( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 ( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 ( ) =【 ;精品
3、教育资源文库 】 = (6)从区间 1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 P 19.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 2017 全国卷 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( ) A.14 B. 8 C.12 D. 4 答案 B 解析 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1， S 正方形 4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑 S 白 12S 圆 2 ，所以由几何概型知所求概率
4、 P S黑S正方形24 8.故选 B. 3 2018 重庆一中 模拟 在 2,3上随机取一个数 x，则 (x 1)(x 3)0 的概率为( ) A.25 B.14 C.35 D.45 答案 D 解析 由 (x 1)(x 3)0 ，得 1 x3. 由几何概型得所求概率为 45. 4 2018 衡水中学调研 已知正方体 ABCD A1B1C1D1内有一个内切球 O，则在正方体 ABCD A1B1C1D1内任取点 M，点 M 在球 O 内的概率是 ( ) A. 4 B. 8 C. 6 D.12 答案 C 解析 设正方体棱长为 a，则正方体的体积为 a3，内切球的体积为 43 ? ?a2 3 16 a
5、3，故 M 在球 O 内的概率为16 a3a3 6. 5 2016 全国卷 从区间 0,1随机抽取 2n 个数 x1， x2， ? ， xn， y1， y2， ? ， yn，构成 n 个数对 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 ( ) A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn 答案 C 解析 设由? 0 xn10 yn1 ，构成的正方形的面积为 S， x2n y2n0，解得0x4 或 8x12，在数轴上表示为 由几何概型概率公式，得概率
6、为 812 23.故选 C. (2)某路公共汽车每 5 分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过 3 分钟的概率是 _ 答案 35 解析 本题可以看成向区间 0,5 内均匀投点，设 A 某乘客候车时间不超过 3分钟 ，则 P(A) 区间 2， 5的长度区间 0， 5的长度 35. 考向 与面积有关的几何概型 命题角度 1 与平面图形面积有关的问题 例 2 2015 陕西高考 设复数 z (x 1) yi(x， y R)，若 |z|1 ，则 y x 的概率为 ( ) A.34 12 B.12 1 C.14 12 D.12 1 答案 C 解析 |z|1 ， (x 1)2 y2
7、1 ，表示以 M(1,0)为圆心， 1 为半径的圆及其内部，该圆的面积为 . 易知直线 y x 与圆 (x 1)2 y2 1 相交于 O(0,0)， A(1,1)两点，作图如右： =【 ;精品教育资源文库 】 = OMA 90 ， S 阴影 4 1211 4 12. 故所求的概率 P S阴 影S M4 12 1412 . 命题角度 2 与线性规划交汇的问题 例 3 2018 湖北联考 在区间 0,4上随机取两个实数 x， y，使得 x 2y8 的概率为 ( ) A.14 B.316 C.619 D.34 答案 D 解析 如图所示，? 0 x4 ，0 y4 表示的平面区域为正方形 OBCD 及其
8、内部， x 2y8( x，y 0,4)表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率 P44 124244 34.故选 D. 命题角度 3 随机模拟估算 例 4 如图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为 96 颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为 ( ) A 7.68 B 8.68 C 16.32 D 17.32 答案 C 解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内 的概率为 300 96300 0.68.由几何概=【 ;精品教育资源文库 】 = 型的概率计算公式，可 得 S椭圆S矩形 0.68，而 S 矩形 64 24，则 S 椭圆 0.682
9、4 16.32. 触类旁通 利用 落在椭圆内的黄豆数落在矩形内的黄豆数 椭圆的面积矩形的面积 求解 考向 与体积有关的几何概型 例 5 有一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 _ 答案 23 解析 圆柱的体积 V 柱 R2h 2 ， 半球的体积 V 半球 12 43 R3 23. 圆柱内一点 P到点 O的距离小于等于 1的概率为 13. 点 P到点 O的距离大于 1的概率为 1 13 23. 触类旁通 与体积有关的几何概型求法的关键点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积
10、 (总空间 )以及事件的体积(事件空间 )，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求 【变式训练 2】 已知正三棱锥 S ABC 的底面边长为 4，高为 3，则在正三棱锥内任取一点 P，则点 P 满足 V 三棱锥 P ABC12V 三棱锥 S ABC的概率是 _ 答案 78 解析 设三棱锥 P ABC 的高为 h.由 V 三棱锥 P ABC12V 三棱锥 S ABC，得 13S ABC h12 13S ABC3 ，解得 h32，即点 P 在三棱锥的中截面以下的空间 点 P 满足 V 三棱锥 P ABC12V 三棱锥 S ABC的概率是 P 11314S ABC3213S ABC3 78. 考向
11、与角度有关的几何概型 例 6 2017 鞍山模拟 过等腰 Rt ABC的直角顶点 C在 ACB内部随机作一条射线，设射线与 AB 相交于点 D，求 ADAC 的概率 解 在 AB上取一点 E，使 AE AC，连接 CE(如图 )，则当射线 CD落在 ACE内部时， ADAC.=【 ;精品教育资源文库 】 = 易知 ACE 67.5 ， ADAC 的概率 P 67.590 0.75. 触类旁通 与角度有关的几何概型的求解方法 (1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为 P(A) 构成事件 A的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度 . (2)解决此类问题时注意事件的全
12、部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算 【变式训练 3】 如图所示，在 ABC 中， B 60 ， C 45 ，高 AD 3，在 BAC内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM1 的概率 解 因 为 B 60 ， C 45 ，所以 BAC 75 ，在 Rt ABD 中， AD 3， B60 ，所以 BD ADtan60 1， BAD 30. 记事件 N 为 “ 在 BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM1” ，则可得 BAM BAD 时事件 N 发生由几何概型的概率公式，得 P(N) 3075 25. 核心规律 几何概型中的转化思想 (1)一般地，
13、一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可 (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型 =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型 满分策略 几何概型求解中的注意事项 (1)计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题 (如时间问题等 )转化为相应类型的几何概型问题 (2)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 (3)几
14、何概型适用于解决一 切均匀分布的问题，包括 “ 长度 ”“ 角度 ”“ 面积 ”“ 体积 ” 等，但要注意求概率时作比的上下 “ 测度 ” 要一致 . 板块三 启智培优 破译高考 数学思想系列 11 转化与化归思想解决几何概型的应用问题 2018 珠海模拟 某校早上 8： 00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7： 307： 50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 _ (用数字作答 ) 解题视点 先设出两人到校的时间，得到两变量满足的不等式组，再在平面直角坐标系中画出不等式组表示的区域，最后根 据面积型几何概型求概率 解析 设小张和小王的到校时间分别为 7： 00 后第 x 分钟，第 y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示则总事件所占的面积为 (50 30)2 400.小张比小王至少早 5 分钟到校表示
