1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 合情推理与演绎推理 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 合情推理 考点 2 演绎推理 1定义：从 一般性的原理 出发，推出 某个特殊情况 下的结论，我们把这种推理称为演绎推理 2特点：演绎推理是由 一般到特殊 的推理 3模式： “ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式： =【 ;精品教育资源文库 】 = 必会结论 1合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确 2合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理 考点自测 1判断下列结论的正误 (正 确的打 “” ，错误的打 “”) (1
2、)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确 ( ) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 ( ) (3)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确 ( ) (4)“ 所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数 ” ，这是三段论推理，但其结论是错误的 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 课本改编 下面图形由小正方形组成，请观察图 1 至图 4 的规律，并依此规 律，写出第 n 个图形中小正方形的个数是 _ 答案 n?n 1?2 解析 由
3、题图知第 1 个图形的小正方形个数为 1，第 2 个图形的小正方形个数为 1 2，第 3 个图形的小正方形个数为 1 2 3，第 4 个图形的小正方形个数为 1 2 3 4， ? ，则第 n 个图形的小正方形个数为 1 2 3 ? n n?n 1?2 . 4 课本改编 在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 2，则它们的面积比为 14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1 2，则它们的体积比为 _ 答案 1 8 解析 因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方所以它们的体积比为 1 8. 5 2015
4、 陕西高考 观察下列等式 1 12 12 1 12 13 14 13 14 1 12 13 14 15 16 14 15 16 ? 据此规律，第 n 个等式可为 _ 答案 1 12 13 14 ? 12n 1 12n 1n 1 1n 2 ? 12n 解析 观察所给等式的左右可以归纳出 1 12 13 14 ? 12n 1 12n 1n 1 1n 2 ? 12n. 6 2018 东北三省模拟 在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀当他们被问到谁得到了优秀时，丙说： “ 甲没有得优秀 ” ；乙说： “ 我得了优秀 ” ；甲说： “ 丙说的是真话 ” 事实证明：在这三名同学中，只有
5、一人说的是假话，那么得优秀的同学是 _ 答案 丙 解析 分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故说假 话的只有乙，即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙 =【 ;精品教育资源文库 】 = 板块二 典例探究 考向突破 考向 归纳推理 命题角度 1 数字的归纳 例 1 2018 浙江模拟 “ 杨辉三角 ” 是中国古代重要的数学成就，它比西方的 “ 帕斯卡三角形 ” 早了 300 多年如图是杨辉三角数阵，记 an为图中第 n 行各个数之和，则 a5 a11的值为 ( ) A 528 B 1020 C 1038 D 1040 答案 D 解析 第一行数字之和为 a1 1 21 1，
6、第二行数字之和为 a2 2 22 1， 第三行数字之和为 a3 4 23 1， 第四行数字之和为 a4 8 24 1， ? 第 n 行数字之和为 an 2n 1， a5 an 24 210 1040.故选 D. 命题角度 2 式子的归纳 例 2 设函数 f(x) xx 2(x0)，观察： f1(x) f(x) xx 2， f2(x) ff1(x) x3x 4， f3(x) ff2(x) x7x 8， f4(x) ff3(x) x15x 16， ? 根据以上事实，由归纳推理可得 ： 当 n N*且 n2 时， fn(x) ffn 1(x) _. 答案 x?2n 1?x 2n =【 ;精品教育资源
7、文库 】 = 解析 根据题意知，各式中分子都是 x，分母中的常数项依次是 2,4,8,16， ? ，可知fn(x)的分母中常数项为 2n，分母中 x 的系数为 2n 1，故 fn(x) ffn 1(x) x?2n 1?x 2n. 命题角度 3 图形的归纳 例 3 如图，在平面直角坐标系的格点 (横、纵坐标均为整数的点 )处：点 (1,0)处标b1，点 (1， 1)处标 b2，点 (0， 1)处标 b3，点 ( 1， 1)处标 b4，点 ( 1,0)处标 b5，点 (1,1)处标 b6，点 (0,1)处标 b7， ? ，以此类推，则 b963处的格点的坐标为 _ 答案 (16,13) 解析 观察
8、已知点 (1,0)处标 b1，即 b11 ，点 (2,1)处标 b9，即 b33 ，点 (3,2)处标 b25，即 b55 ， ? ，由此推断点 (n， n 1)处标 b(2n 1)(2 n 1)，因为 961 3131 时， n 16，故 b961处的格点的坐标为 (16,15)，从而 b963处的格点的坐标为 (16,13) 触类旁通 归纳推理问题的 常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解 (2)与式子有关的归纳推理 与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解 与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不
9、完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可 (3)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性 【变式训练 1】 2018 泉州模拟 已知如下等式： 2 4 6； 8 10 12 14 16； 18 20 22 24 26 28 30； ? 以此类推，则 2020 会出现在第 _个等式中 ( ) A 30 B 31 C 32 D 33 答案 B 解析 2 4 6； 8 10 12 14 16； 18 20 22 24 26 28 30， ? 其规律为：各等式首项分别为 21,2(1 3)， 2(1 3 5)， ? ， 所以第 n 个等式的首项为 21 3
10、 ? (2n 1) 2 n?1 2n 1?2 2n2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 n 31 时，等式的首项为 231 2 1922， 当 n 32 时，等式的首项为 232 2 2048， 所以 2020 在第 31 个等式中故选 B. 考向 类比推理 例 4 2018 抚顺模拟 若数列 an是等差数列，则数列 bn? ?bna1 a2 ? ann 也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列 cn是等比数列，且 dn也是等比数列，则 dn的表达式应为 ( ) A dn c1 c2 ? cnn B dn c1 c2? cnn C dnn cn1 cn2 ? cnnn D dnn c1
11、c2? cn 答案 D 解析 若 an是等差数列，则 a1 a2 ? an na1 n?n 1?2 d，所以 bn a1 n 12 d d2n a1 d2，即 bn为等差数列；若 cn是等比数列，则 c1 c2? cn cn1 q1 2 ? (n 1)cn1 qn?n 1?2 ，所以 dnn c1 c2? cn c1 qn 12 ，即 dn为等比数列故选 D. 触类旁通 类比推理的分类 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法 (1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解； (2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理
12、型问题，求解时要认真分析两者之间的联系 与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键； (3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移 【变式训练 2】 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理 c2 a2 b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为 S1， S2， S3，截面面积为 S，类比平面的结论有 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 S2 S21 S22 S23 解析 三角形类比空间中的三棱锥，线段的
13、长度类比图形的面积，于是作出猜想： S2 S21 S22 S23. 考向 演绎推理 例 5 2018 山东调研 数列 an的前 n 项和记为 Sn，已知 a1 1， an 1 n 2n Sn(nN*)证明： (1)数列 ? ?Snn 是等比数列； (2)Sn 1 4an. 证明 (1) an 1 Sn 1 Sn， an 1 n 2n Sn， (n 2)Sn n(Sn 1 Sn)，即 nSn 1 2(n 1)Sn. Sn 1n 1 2 Snn， (小前提 ) 故 ? ?Snn 是以 2 为公比， 1 为首项的等比数列 (结论 ) (大前提是等比数列的定义，这里省略了 ) (2)由 (1)可知 S
14、n 1n 1 4 Sn 1n 1(n2) ， Sn 1 4(n 1) Sn 1n 1 4 n 1 2n 1 Sn 1 4an(n2) ， (小前提 ) 又 a2 3S1 3， S2 a1 a2 1 3 4 4a1， (小前提 ) 对于任意正整数 n，都有 Sn 1 4an.(结论 ) (第 (2)问的大前提是第 (1)问的结论以及题中的已知条件 ) 触类旁通 演绎推理的结构特点 (1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含三个判断 ：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论 (2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前
