1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 对数与对数函数 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 对数的定义 如果 ax N(a0，且 a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x logaN，其中 a叫做对数的底数， N 叫做真数 考点 2 对数的运算法则 如果 a 0 且 a1 ， M 0， N 0，那么 (1)loga(M N) logaM logaN， (2)logaMN logaM logaN， (3)logaMn nlogaM(n R) 考点 3 对数函数的图象与性质 a1 00，则 loga(MN) logaM logaN.( ) (2)logaxlo
2、g ay loga(x y) ( ) (3)对数函数 y logax(a0 且 a1) 在 (0， ) 上是增函数 ( ) (4)函数 y ln 1 x1 x与 y ln (1 x) ln (1 x)的定义域相同 ( ) (5)对数函数 y logax(a0 且 a1) 的图象过定点 (1,0)且过点 (a,1)， ? ?1a， 1 ，函数图象只在第一、四象限 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 2018 广东深圳模拟 已知 a 0.30.3， b 1.20.3， c log1.20.3，则 a， b， c 的大小关系为 ( ) A c1， c log1.20.30)，则
3、 log23a _. 答案 3 解析 因为 a23 49(a0)，所以 a ? ?4932 ? ?23 3，故 log23a log23? ?23 3 3. 5 2018 陕西模拟 已知 4a 2， lg x a，则 x _. 答案 10 解析 4a 22a 2， a 12. lg x 12， x 10. 6 2015 天津高考 已知 a0， b0， ab 8，则当 a 的值为 _时， log2alog 2(2b)取得最大值 答案 4 解析 由于 a0， b0， ab 8，所以 a 8b，所以 log2alog 2(2b) log28blog 2(2b)(3 log2b)(1 log2b) (
4、log2b)2 2log2b 3 (log2b 1)2 4，当 b 2 时，有最大值 4，此时 a 4. 板块二 典例探究 考向突破 考向 对数的化简与求值 例 1 (1)lg 52 23lg 8 lg 5lg 20 (lg 2)2的值为 _ 答案 3 解析 原式 2lg 5 2lg 2 lg 5(1 lg 2) lg2 2 2(lg 5 lg 2) lg 5 lg 2(lg 2 lg 5) 2 lg 5 lg 2 3. (2)已知 3a 4b 12，则 1a 1b _. 答案 2 解析 因为 3a 4b 12，所以 a log3 12， b log4 12， 1a log 12 3， 1b
5、log 12 4， 所以 1a 1b log 12 3 log 12 4 log 12 12 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)2016 浙江高考 已知 ab1.若 logab logba 52， ab ba，则 a _， b_. 答案 4 2 解析 由于 ab1，则 logab (0,1)，因为 logab logba 52，即 logab 1logab 52，所以 logab 12或 logab 2(舍去 )，所以 a12 b，即 a b2，所以 ab (b2)b b2b ba，所以 a 2b， b2 2b，所以 b 2(b 0 舍去 )， a 4. 触类旁通 对数运算的一般思
6、路 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并； (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用 【变式训练 1】 (1)计算： lg 5(lg 8 lg 1000) (lg 23)2 lg 16 lg 0.06_. 答案 1 解析 原式 lg 5(3lg 2 3) 3(lg 2)2 lg ? ?160.06 3lg 5lg 2 3lg 5 3(lg 2)2 2 3lg 2 3lg 5 2 1. (2)计算： (log32 log92)(log 43 log83) _. 答案 54 解析 原式 ? ?log3212
7、log32 ?12log2313log23 32log3256log2354. 考向 对数函数的图象及应用 例 2 当 02，解得 a 22 ， 22 0 时， f(x)f(0) 0，且 f( x)0， g(x) xf(x)，则 g( x) f(x) xf( x)0， g(x)在 0， ) 上递增 a g( log25.1) g(log25.1)，由对数函数 y log2x的性质，知 3 log28log25.1log24 220.8， cab.故选 C. 命题角度 2 解简单的对数不等式 例 4 2018 西安模拟 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在 0， ) 上为增函数，f? ?
8、13 0，则不等式 f(log18x)0 的解集为 _ 答案 ? ?0， 12 (2， ) 解析 f(x)是 R 上的偶函数， 它的图象关于 y 轴 对称 f(x)在 0， ) 上为增函数， f(x)在 ( ， 0上为减函数， 由 f? ?13 0，得 f? ? 13 0. f(log18x)0?log18x13?x2 或 00，得 x3 或 x0， 解得 01,00， log5b a， lg b c,5d 10，则下列等式一定成立的是( ) A d ac B a cd C c ad D d a c 答案 B 解析 由已知得 5a b,10c b， 5a 10c， 5d 10， 5dc 10c
9、，则 5dc 5a， dc a.故选 B. 4 2018 西安模拟 已知函数 f(x) loga(2x b 1)(a0， a1) 的图象如图所示，则a， b 满足的关系是 ( ) A.01.函数图象与 y 轴的交点坐标为(0， logab)，由函数图象可知 10 且 u(x)在该区间单调递增解 x2 2x 8 (x 4)(x 2)0，得 x4； u(x) x2 2x 8 的图象开口向上，对称轴为 x 1，所以 x4 时 u(x)单调递增，所以 f(x) ln (x2 2x 8)的单调递增区间为 (4， ) 故选 D. 7 2018 安徽江淮联考 已知 a0， b0，且 a1 ，则 “log a
10、b0” 是 “( a 1)(b 1)0”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 a0， b0 且 a1 ，若 logab0，则 a1， b1 或 00；若 (a 1)(b 1)0，则? a 10，b 10 或 ? a 11， b1 或 00， “log ab0” 是 “( a 1)(b 1)0” 的充分必要条件 8 2015 浙江高考 若 a log43，则 2a 2 a _. 答案 4 33 解析 原式 2log43 2 log43 3 13 4 33 . 9已知函数 f(n) logn 1(n 2)(n N*)，定义使 f(1) f(2) f(3)? f(k)为整数的数 k(k N*)叫做企盼数，则在区间 1,2017内这样的企盼数共有 _个 答案 9 解析 令 g(k) f(1) f(2) f(3)? f(k)， f(k) logk 1(k 2) lg ?k 2?lg ?k 1?， g(k) lg 3lg 2 lg 4lg 3? lg ?k 2?lg ?k 1? lg ?k 2?lg 2
