1、课程基本信息课题空间直角坐标系教科书书名：高中数学人教A版选择性必修第一册出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年 5 月教学目标教学目标：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间向量的坐标表示.教学重点：空间直角坐标系的建立.教学难点：空间向量的坐标表示教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟引入学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算. 所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.在平面向量中，我们以平面直角坐标系中的与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，建立了向量的坐标与点的坐
2、标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算. 类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题.10分钟新课问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？追问1：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系应该有哪些要素？它们需要满足什么条件？追问2：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系. 类比到空间，你能否给出空间直角坐标系的定义呢？空间直角坐标系定义：在空间选定一点和一个单位正交基底, , . 以点为原点，
3、分别以，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分.追问3：空间直角坐标系如何画呢？先回想平面直角坐标系的画法：在平面内画两条与单位正交基底向量，方向相同的数轴轴和轴，它们互相垂直、原点重合. 与画平面直角坐标系相比，画空间直角坐标系只是多画一个与轴、轴都垂直的轴而已，所以我们不妨借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系时，让轴与轴所成的角为（或），即（或），画轴与轴垂直，即.在空间直角坐标系中，让
4、右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 问题2：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？追问1：空间中任意一点与哪个向量的坐标相同？在平面直角坐标系中，点的位置由向量唯一确定，类比到空间直角坐标系中，我们可知点的坐标与从原点出发的坐标相同. 由此，确定空间直角坐标系中点的坐标，可以从确定与之对应的，以原点为起点，该点为终点的向量的坐标入手.追问2：在空间直角坐标系中如何定义的坐标呢？所以，在单位正交基底，下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间
5、直角坐标系中的坐标，记做，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标.追问3：那么对于给定的向量又该如何定义它的坐标呢？因为空间向量是自由的，我们在空间直角坐标系中可以作. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使,有序实数组，叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记为，这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 问题3:在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标，吗？过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴、轴和轴于点，和. 可以证明在轴、轴、轴上的投影向量分别为，由向量加法的意义可知，,即. 设点在轴、轴和轴上
6、的坐标分别是，和，那么，即点或者向量的坐标就是，.思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点或任意一个向量的坐标呢？10分钟知识应用问题4 如图，在长方体中，以，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）写出，四点的坐标；（2）写出向量,的坐标.追问1：题目条件中的，为什么是单位正交基底？由图可知，在轴上，且，所以，同理，在轴上，在轴上，由，知，所以，是单位正交基底，等同于我们前面用到的，.（1）写出，四点的坐标追问2：求空间点的坐标我们有哪些基本解题思路？有两种选择，一种是转化为求与该点对应的，从原点出发，指向该点的空间向量的坐标. 而后依据空间向量基本定理，把空间向量
7、用单位正交基底分解，从而求出坐标；另一种是应用几何直观，找出空间点在轴、轴、轴上的射影，进而得到坐标.追问3：观察图形，所求的，四点的位置有什么不同？ 点和点在坐标轴上，用单位正交基底分解更简单，点，在空间内，考虑用几何直观的方法更简便.空间点的坐标就是的坐标，因为点在轴上，且，根据空间向量基本定理易得 . 所以点 的坐标是,.同理，点的坐标就是的坐标，由空间向量基本定理易得.所以点的坐标是,.方法提炼：我们先来观察这两个结果可以发现，当点在空间直角坐标系的某一坐标轴上时，它在其他两个坐标轴上的坐标就是0，比较容易确定点的坐标.追问4：点在轴、轴、轴的射影点是谁？过点分别垂直于轴、轴和轴的平面
8、为：平面，平面，平面，所以点在轴、轴和轴上的射影分别是，它们在坐标轴上的坐标分别是，所以点的坐标是，. 同理，过点分别垂直于轴、轴和轴垂直的平面为：平面，平面，平面，所以点在轴、轴和轴上的射影分别是，它们在坐标轴上的坐标分别是，所以点的坐标是，.思路小结：由几何直观可知，确定空间中一个点的坐标，我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影，再根据空间向量基本定理，得到点的坐标. 所以可以总结步骤如下：1）过空间点分别作轴、轴和轴的垂面；2）确定空间点在坐标轴上的射影的坐标；3）得到空间点的坐标.（2）写出向量,的坐标.追问5：怎么求解空间给定向量的坐标？同样是转化为与之相等的、从原点出发的向量，而后
9、再用空间向量基本定理，或者几何直观的方法求解向量的坐标.追问6：观察几何体，有没有过原点的向量与所求向量相等？由相等向量的概念，在长方体中易知，根据相等向量坐标相等，转化为求以原点为起点的向量坐标，再根据我们在第（1）问中总结的方法，可得=， -，追问7：对于和，没有棱所在的向量与它们相等，那又该怎么办呢？由向量加法运算，和可以写成以原点为起点的向量的和，从而得到向量的坐标.思路小结：通过分析几何体的结构特征，根据向量相等和向量加法，将所求向量转化为空间直角坐标系坐标轴上的向量的和，最终写成基向量的和，从而得到空间向量的坐标.归纳小结课堂小结：1. 回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和
10、空间向量的坐标的？（1）类比平面直角坐标系，构建了空间直角坐标系.（2）根据空间向量基本定理，在单位正交基底下，得到空间直角坐标系中的每一个点和向量都存在唯一的有序实数组，与之对应，从而引出空间点和空间向量的坐标表示.2. 如何求空间点或向量的坐标呢？（1）根据空间向量基本定理，将点或向量用单位正交基底，来表示，它们的系数就是点或向量的坐标.（2）由几何直观，过点作垂直于轴、轴和轴的平面，依次确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标.通过本节课的探究学习，我们体会到类比思想在数学研究中的重要作用，它引领我们从二维的平面直角坐标系拓展到三维的空间直角坐标系，将空间点和空间向量与有序数组建立一一对应的关系，实现了形向数的转化，提供了解决几何问题的新思路. 希望同学们在今后的学习研究中，也能勇于猜想，大胆尝试，成为推动科学发展、社会进步的一份子.课后练习1. 在空间直角坐标系中标出下列各点：， ， ， ， ，.2. 在长方体中，与相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）写出点的坐标；（2）写出向量，的坐标.
