1、寒假作业1 第一章空间向量与立体几何基础巩固卷一、单选题1已知，若，则的值为（ ）AB2C6D82已知平面和平面的法向量分别为，则（ ）ABC与相交但不垂直D以上都不对3若向量(1,0),(2,1,2)，且与的夹角余弦值为，则实数等于( )A0BC0或D0或4向量，其中为线段的中点，则点的坐标为（ ）ABCD5若与共线，则（ ）A2BC4D6若、两点的坐标分别是，则的取值范围是（ ）ABCD7九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，若，则（ ）ABCD8如图，空间四边形OABC中，点M在上，且，点N为
2、BC中点，则（ ）ABCD二、多选题9已知点 在平面内，平面法向量， 则下列点在内的是（ ）ABCD10在平行六面体ABCDABCD中，与向量相等的向量有（ ）AB C D11已知二面角l的两个半平面与的法向量分别为，若，则二面角l的大小为（ ）ABCD12如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）ABCD三、填空题13已知向量，若与垂直，则_.14在单位正方体中，分别为的中点，则_.15在正三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为_.16如图四棱锥中，四边形为菱形，则_四、解答
3、题17已知平行六面体，底面是正方形，设，.（1）试用、表示；（2）求的长度.18如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：（1）MN平面CC1D1D；（2）平面MNP平面CC1D1D19如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点（1）求异面直线EF与所成角的大小（2）证明：平面20如图，在长方体中，点，分别是，的中点，（1）求二面角的余弦值；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21如图，已知平面，底面为矩形，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值22如图，为圆锥的
4、顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值参考答案1C【分析】根据向量垂直的性质计算得到答案.【详解】，则，解得.故选：C.2B【分析】由法向量的坐标可判断法向量的关系，进而确定平面和平面的位置关系.【详解】解：，故选：B.3C【分析】利用向量夹角的数量积公式计算即可得出结果.【详解】向量(1,0),(2,1,2)，且与的夹角余弦值为，,解得：0或.故选：C4C【分析】直接用中点坐标公式即可得出结论.【详解】，由中点坐标公式可得，线段的中点的坐标为.故选：.5D【分析】根据与共线，由求解.【详解】与共线，即，.故选：D6B【分析
5、】利用向量模的坐标运算求得的表达式，结合三角函数的知识求得的取值范围.【详解】，所以.故选：B7C【分析】建立坐标系，坐标表示向量，求出点坐标，进而求出结果.【详解】以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨令，则，.因为，所以，则，则解得，故.故选：C8B【分析】利用空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B9AC【分析】验证各选项中的点与点连线的方向向量是否与垂直，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，记点，点在平面内；对于B选项，记点，点不在平面内；对于C选项，记点，点在平面内；对于D选项，记点，点不在平面内.故选：AC.10BC【分析】直接利用相等向量
6、的定义即可求解【详解】解：在平行六面体ABCDABCD中，与向量相等的向量有3个，分别是，故选：BC11AB【分析】由二面角的定义可以得出结论.【详解】解：由于二面角的范围是0，而二面角的两个半平面与的法向量都有两个方向，因此二面角l的大为或.故选：AB.12ABC【分析】求出等边三角形的高的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断【详解】在等边中，所以，则，则.故选：ABC13【分析】根据与垂直，可知，根据空间向量的数量积运算可求出的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.【详解】解：与垂直，则，解得：，则，.故答案为：.14#【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法
7、计算.【详解】正方体的棱长为，建立如图所示空间直角坐标系，则，.故答案为：15【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角【详解】以为坐标原点，射线为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：16【分析】根据题意得，进而得，即，再结合题意求解即可.【详解】解：因为四棱锥中，四边形为菱形，所以，所以，所以所以，故故答案为：17（1）；（2）.【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义，结合几何体确定与、的线性关系；（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.【详解】（1）.（2），.18（1）证明见解析；（2
8、）证明见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可.【详解】（1）证明：以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方体的性质，知AD平面CC1D1D，所以(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.由于(0，1，1)，则0210(1)00，所以.又MN平面CC1D1D，所以MN平面CC1D1
9、D.（2）证明：因为(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，由于(0，2，0)，(0，1，1)，则，即(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP平面CC1D1D.19（1）；（2）证明见解析【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.【详解】据题意，建立如图坐标系于是：，（1），异面直线EF和所成的角为（2），即，即又，平面且平面20（1）；（2）在线段上不存在点，使得平面，理由见解析.【分析】（1）以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解平面与平面的夹角的余弦值；（2）假设在线段上存在一点，
10、使得平面，设点的坐标为，由（1）可知平面的一个法向量为，证明与不平行，故可得出不存在点满足条件.【详解】（）以点为坐标原点，直线，为分别轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，因为点，分别是，的中点，所以，2，所以，设平面的法向量为，所以即令，则，所以由题知，平面的一个法向量为，所以又因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值是（）解：假设在线段上存在一点，使得平面设点的坐标为，所以因为平面的一个法向量为，所以与不平行所以在线段上不存在点，使得平面21（1）证明见解析；（2）【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，从而得，进而可证明平面；（2）由题意，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，对应的
11、平面向量，求出平面的法向量，由向量的夹角公式代入求解.（1）取的中点，连接，分别为，的中点，且，又为的中点，底面为矩形，且，且，故四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，故，设平面的法向量，则，得，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为.22（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证明平面，只需证明，即可；（2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的法向量为，平面的法向量为，利用公式计算即可得到答案.【详解】（1）由题设，知为等边三角形，设，则，所以，又为等边三角形，则，所以，则，所以，同理，又，所以平面；（2）过O作BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，所以，设平面的一个法向量为由，得，令，得，所以故，设二面角的大小为，则.【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.
