1、3.3.1 抛物线及其标准方程一、知识梳理1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形二每日一练一、单选题1已知双曲线的一条渐近线为，且经过抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为（ ）A B C D2已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为45的直线交抛物线于、.若，则抛物线的方程为（ ）ABCD3抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离是（ ）ABCD4若抛物线上一点到其焦点的距离为，则（ ）ABCD
2、5若抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（ ）ABCD6若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ ）ABCD7抛物线的准线方程为（ ）ABCD8已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为（ ）ABCD二、多选题9已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点重合，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）A双曲线的离心率 B抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C D在抛物线上存在点使得为直角三角形10设抛物线的焦点为，则下列说法正确的是（ ）A点在轴上B点的坐标为C设过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则D设过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则11(多选)
3、对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（ ）A焦点坐标为(0，1)B焦点坐标为C准线方程为y=-D准线方程为y=-112已知方程，则下面四个选项中正确的是（ ）A当时，方程表示椭圆，其焦点在轴上B当时，方程表示圆，其半径为C当时，方程表示双曲线，其渐近线方程为D方程表示的曲线不可能为抛物线三、填空题13已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点满足，则以点为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为_14已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为_.15已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则点到轴的距离为_.16在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点，则该抛物线的方程是_.
4、四、解答题17如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与AB两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.18已知抛物线的焦点为F，C上一点G到F的距离为5，到直线的距离为5.（1）求C的方程；（2）过点F作与x轴不垂直的直线l与C交于A，B两点，再过点A，B分别作直线l的垂线，与x轴分别交于点P，Q，求四边形面积的最小值.19已知F为抛物线C：x2=2py(p0)的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为.（1）求抛物线C的方程；
5、（2）设A(2，1)，B是抛物线C上异于A的一点，直线AB与直线y=x-2交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线BN恒过一定点，并求出该定点的坐标.20已知直线与抛物线相交于A，B两点，当时，在C上有且只有三个点到的距离为（1）求C的方程：（2）若点P在直线y=-2上，且BP与y轴平行，求证：直线AP恒过定点21已知抛物线C的方程为，它的焦点F到点M 的距离为.（1）求抛物线C的方程；（2）ABD是抛物线C上不同三点，且ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，求的最小.22已知抛物线的焦点F到其准线的距离为1.（1）求抛物线C的方程；（2）过F的直线与抛物线C相交于A，B两点
6、，在A，B处分别作C的切线，交点为P.（i）证明：；（ii）若直线FP交C于M，N两点(M在线段FP上)，求四边形面积的最小值.参考答案1B因为双曲线的一条渐近线为，故可设双曲线的方程为（），又因为双曲线经过抛物线的焦点，而抛物线的焦点为，所以有，即，所以有，所以双曲线的标准方程为：.2C由已知得直线的方程为，联立方程组消去得.设，由韦达定理知.因为，所以，所以，即，所以所求抛物线的方程为.3D抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，因此，抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.4B若抛物线的准线方程：，由抛物线的定义得：，解得：.5A由题意，抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，可得，解得
7、，所以，又由点)在抛物线上，代入得，解得.6A抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，7D由抛物线方程可得，开口向左，则准线方程为.8C因为是抛物线的焦点，所以，准线方程，设，所以，所以，所以线段的中点横坐标为，所以线段的中点到轴的距离为9ACD对于选项A：依题意得，得，故双曲线方程为，离心率，故A正确；对于选项B：抛物线的准线为，代入，解得，所以抛物线的准 线被双曲线所截得的线段长度为，故B错误；对于选项C：联立可得，解得（负值已舍），则，故C正确；对于选项D：若抛物线上存在点（）使得为直角三角形，由C选项知，只能是，即以线段为直径的圆与抛物线有异于，的
8、交点联立解得（舍），因为，故存在点使得为直角三角形. 故D正确.10ACD由题可得抛物线的标准方程为，所以点在轴上，且点的坐标为，所以选项A正确，选项B不正确；过点且斜率为的直线方程为，将代入，消去可得，设，则，所以，选项C正确；过点且斜率为的直线方程为，将代入，消去可得，解得或，不妨设，则，所以，选项D正确11BC由y=4x2，得，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为.12ACD由，可得，对A，当，则，所以方程表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对B，当，方程表示半径为的圆，故B错误；对C，当时，方程表示双曲线，渐近线方程为，即，故C正确；对D，该方程中并不含有一次项，所以其表示的曲线不
9、可能为抛物线，故D正确；13由抛物线方程可得，由抛物线定义可得， 则以点为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为.142设抛物线的焦点为F，15抛物线的方程可化为.设.因为点到焦点的距离为5，所以点到准线的距离为5，从而，将代入可得，所以点到轴的距离为.16由题意可知，抛物线的焦点在轴上，可设抛物线的方程为，将点的坐标代入抛物线方程，可得，解得，因此，该抛物线的方程为.17（1）；（2）.（1）因为，故，故抛物线的方程为：.（2）设，所以直线，由题设可得且.由可得，故，因为，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，则且，故，故即，解得或或.故直线在轴上的截距的范围为或或.18（1
10、）（2）（1）抛物线的焦点，准线方程为，由上一点到的距离为5，可得，由到直线的距离为5，可得，解得，所以抛物线的方程为；（2）由（1）可得，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，设，直线的方程为，令，可得，即，同理可得，所以四边形面积，设，可得当时，递增，时，递减，则的最小值为，所以四边形面积的最小值为19（1）x2=4y；（2）证明见解析，定点(2，2).解：（1）设OFM外接圆的半径为r，由题知圆心必在，且圆心到准线的距离，所以，解得p=2，所以抛物线C的方程为：x2=4y.（2）设，由题意知，则直线AB的方程：，化简得：，与y=x-2联立得，解得，把代入x2=4y得：，即，则直线BN
11、的方程：，约分得：，化简得，因为与x1无关，所以当x=2，y=2时恒成立，所以直线BN恒过定点(2，2).20（1）；（2）证明见解析（1）由题意可知斜率为1的某直线与抛物线C相切且切点到直线的距离为，因此，切点坐标为，或（舍去），所以C的方程为（2）证明：设，则，由，得，且，又直AP的方程为，令，得，故直线AP恒过定点（0，0）21（1）；（2）16.（1）由焦点F，距离公式可得，解得或者（舍），所以抛物线方程为，（2）设，由ABD是以B为直角顶点的等腰直角三角形，如图，分别作垂直和平行于轴的直线相交于，过分别作垂直和平行于轴的直线相交于则，所以，所以，所以（*），由，可得，整理可得，由互不
12、相等，所以，即，带入（*）式可得：，当时，ABD的面积最小，此时.22（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）最小值为8.解：（1）抛物线C的焦点为，准线方程为，所以焦点F到其准线的距离为，因为，解得.所以抛物线C的方程为.（2）（i）证明：由题意，直线AB的斜率一定存在，设其方程为，代入抛物线方程，整理得.设，则，.函数的导数为，故抛物线在点A处的切线方程为，化简得，同理，抛物线在点B处的切线方程为，联立上述两切线方程，解得，因为，所以，所以.（ii）显然，由（i）知，所以，因为，所以直线MN的斜率为，将替换上式中的k，可得，所以，因为，当且仅当，即时，取等号.所以，所以，当时，四边形AMBN面积的最小值为8.
