1、1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 (2)-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）一单选题1. 已知直线l1的方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的方向向量s2=(-1,2,-2)，则l1和l2夹角的余弦值为( )A. 24B. 12C. 22D. 322. 已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0)，n=(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A. 45B. 135C. 45或135D. 903. 已知直角ABC中，C=90，B=30，AB=4，D为AB的中点，沿中线将ACD折起使得AB=13，则二面角A-CD-B的大小为( )A. 60B. 9
2、0C. 120D. 1504. 如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面ABCD，若EA=1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是( )A. 120B. 45C. 135D. 605. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=a，AA1=3a，则异面直线AC1与CD1所成角的余弦值为()A. 15B. 56C. 55D. 226. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，则直线B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是A. 215B. 25C. 35D. 457. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，E、F分别是棱AB
3、、BC上的动点，且AE=BF.当A1、E、F、C1共面时，平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为( )A. 15B. 12C. 32D. 2658. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为( )A. 23B. 73C. 32D. 379. 在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AB=BC，AC=22，AA1=2，点E为A1C1的中点，点F在BC的延长线上且CF=14BC，则异面直线BE
4、与C1F所成的角为( )A. 90B. 60C. 45D. 3010. 在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，AC=22，PB平面ABC，点M，N分别为AC，PB的中点，MN=6，Q为线段AB上的点(不包括端点A，B)，若使异面直线PM与CQ所成角的余弦值为3434，则BQBA为( )A. 14B. 13C. 12D. 3411. 在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A. 15B. 25C. 35D. 4512. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是()A. 12B
5、. 63C. 32D. 62二多选题13. 如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为，平面AED1与平面AED的夹角为，则( )A. DF平面AED1B. d=43C. sin=4515D. cos=2314. 在正三棱柱A1B1C1-ABC中，AA1=3AB，则( )A. AC1与底面ABC所成角的正弦值为12B. AC1与底面ABC所成角的正弦值为32C. AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为34D. AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为134三填空题15. 已知三棱
6、柱ABC-A1B1C1所有棱长都等于1，侧棱垂直于底面，且点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_16. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1夹角的大小是_17. 如图，PA平面ABC，ACBC，PA=AC=1，BC=2，则平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为18. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、A1A的中点，则等于.点B1到平面C1MN的距离19. 在四棱台ABCD-EFGH中，底面ABCD是边长为1的正方形，DE平面ABFE，AE=DE，P为侧棱AE上的动点，若二面角
7、H-BC-A与二面角P-CD-B的大小相等.则PA的长为_ 四.解答题20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD=2，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BC/AD，ABAD，AB=BC=1，O为AD的中点(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q-AC-D的余弦值为63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由21. 如图，E是以AB为直径的半圆O上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于圆O所在的平面，且AB=2AD=2(1)求证：EAEC;(2)若异面直线AE和DC所成的角为6，求平面DCE与平面
8、AEB夹角的余弦值22. 如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=2，点E是DC的中点，将ADE沿AE折起，使平面ADE平面ABCE，连接DB、DC、EB(1)求证：AD平面BDE;(2)求平面ADE与平面BDC夹角的余弦值答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的夹角的相关知识，试题难度较易【解答】解：因为s1=(1,0,1)，s2=(-1,2,-2)，所以coss1s2|s1|s2|=-1-223=-22又两直线夹角的取值范围为0,2，所以l1和l2夹角的余弦值为222.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用空间向量求线线、线面和面面的夹角的相关知识，试题难度较易【解答】
9、解：cosm,n=mn|m|n|=112=22，=45，其补角为135，两平面所成的二面角为45或135故选C3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用空间向量求线线、线面和面面的夹角的相关知识，试题难度较易【解答】解：取CD中点E，在平面BCD内过B点作BFCD，交CD延长线于F据题意知AECD，AE=BF=3，EF=2，AB=13.且EA,FB为二面角的平面角由AB2=(AE+EF+FB)2得13=3+3+4+23cos，cosEA,FB=-12.EA,FB=120即所求的二面角为1204.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二面角、利用空间向量求面面的夹角的相关知识，试题难度一般由题意
10、以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量即可得出平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小【解答】解：以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则E(0,0，1)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，则EB=(1,0,-1)，EC=(1,1,-1)设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)则有x-z=0x+y-z=0可取n=(1,0,1)，又平面EAD的法向量为AB=(1,0,0)，所以cos=121=22，故平面ADE与平面BCE所成的锐二面角为45故选B5.【答案】C【解析】解：以D为原点
11、，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A(a,0，0)，C1(0,a，3a)，C(0,a，0)，D1(0,0，3a)，AC1=(-a,a，3a)，CD1=(0,a，-3a)，设异面直线AC1与CD1所成角为，则cos=|AC1CD1|AC1|CD1|=2a25a4a=55异面直线AC1与CD1所成角的余弦值为55故选：C以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC1与CD1所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题
12、6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了空间中的线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于基础题.通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0，1)，D1(0,0，1)，M(0,1，12)，B1(1,1，1)，A1D1=(-1,0，0)，D1M=(0,1，-12)，MB1=(1,0，12)，设平面A1D1M的法向量为m=(x,y，z)则A1D1m=0D1Mm=0-x=0y-12z=0，令y=1可得z=2，所以m=(0,1，2)设直线B1M与平面A1D1M所成角为，sin=|mMB1|m|MB1|=1552=2
13、5故选B7.【答案】B【解析】略8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、直线与平面所成角的相关知识，试题难度一般【解答】解：以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设CA=CB=a，则A(a,0，0)，B(0,a，0)，A1(a,0，2)，D(0,0，1)，E(a2,a2,1)，G(a3,a3,13)，GE=(a6,a6,23)，BD=(0,-a,1)点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，GE平面ABD，GEBD=0，解得a=2，GE=(13,13,23)，BA1=(2,-2,2)，
14、GE平面ABD，GE为平面ABD的一个法向量又cosGE,BA1=GEBA1|GE|BA1|=436323=23，A1B与平面ABD所成角的正弦值为239.【答案】B【解析】【分析】本题考查运用空间向量解决异面直线BE与C1F所成的角，属于中档题依题意，分别以BC，AB，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出C1F=(12,0,-2),BE=(1,1,2)，由cos=|BEC1F|BE|C1F|即可解题【解答】解：因为侧棱垂直于底面，ABBC，AB=BC，AC=22，AA1=2，点E为A1C1的中点，所以BC=2，分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0
15、，0)，C1(2,0，2)，E(1,1，2)，C(2,0，0)，由于CF=14BC，故F(52,0,0)，故C1F=(12,0,-2),BE=(1,1,2)，故cos=|BEC1F|BE|C1F|=|12-2322|=12，故异面直线BE与C1F所成的角为60故选B10.【答案】A【解析】解：易知PB，BC，BA两两垂直，故以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0，0)，C(0,2，0)，M(1,1，0)，A(2,0，0)，BM=2，又MN=6，BN=MN2-BM2=2，PB=4，则P(0,0，4)，设BQBA=，则BQBA=，且01，Q(2,
16、0，0)，易知PM=(1,1，-4)，CO=(2,-2,0)，PMCQ=12+1(-2)+(-4)0=2-2，|PM|=12+12+(-4)2=32，|CQ|=42+4，异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为3434，cos=|PMCQ|PM|CQ|=|2-2|3242+4=3434，解得=14或=4(舍去)，BQBA=1411.【答案】D【解析】【分析】本题考查立体几何中的异面直线所成角，属于基础题先通过平移将两条异面直线平移到同一个点B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形A1BC1中用余弦定理求解即可【解答】解：如图，连接BC1,A1C1，因为AD1/BC1，所以A1BC1是
17、异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，A1B=C1B=5a，A1C1=2a，故选D12.【答案】B【解析】解：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，则E(0,0，1)，F(1,1，0)，A(2,0，0)，D1(0,0，2)，AD1=(-2,0，2)，EF=(1,1，-1)，设直线AD1与EF所成角为，则cos=|AD1EF|AD1|EF|=483=63直线AD1与EF所成角的余弦值是63故选：B以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线A
18、D1与EF所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直线所成角的定义、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题13.【答案】BCD【解析】略14.【答案】BC【解析】取A1C1的中点E，AC的中点F，连接EF，EB1，则EB1，EC1，EF两两垂直，则以E为原点，EB1，EC1，EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，则AA1=23A1(0,-1,0)，C1(0,1，0)，A(0,-1,23)，C(0,1，23)，B1(3,0，0)，AC1=(0,2，-23)，底面ABC的一个法向量为m=(0,0，23)，AC1与底面ABC所成角的正弦
19、值为|cosm，AC1|=mAC1m|AC1|=-12423=32，A错，B对;取A1B1的中点K，K的坐标为(32,-12,0)，侧面AA1B1B的一个法向量为KC1=(-32,32,0)，AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为|cos|=|AC1KC1|AC1|KC1|=343=34，故C对，D错15.【答案】60【解析】【分析】本题考查了直线与平面所成角、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角的相关知识，试题难度较易【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(32,12,0)，D(0,12,12)，AD=(-32,0,12)，平面BB1C1C的一个法向量为n=(1,0,0)，cosA
20、D,n=ADn|AD|n|=-3234+141=-32，sin=32，cos=1-(32)2=12，=60AD与平面BB1C1C所成角的大小是6016.【答案】30【解析】【分析】本题考查了利用空间向量求线线、线面和面面的夹角的相关知识，试题难度较易根据题意建立直角坐标系，设出正方体棱长，从而表示出点E、F、A1、C1的坐标，再得到向量坐标，根据公式得到cosEF,A1C1=EFA1C1|EF|A1C1|=32，得到异面直线夹角【解答】解：建立如图的直角坐标系，设正方体棱长为2，则E(0,1，2)、F(2,2，1)、A1(0,0，0)、C1(2,2，0)，EF=(2,1,-1)，A1C1=(2
21、,2,0)，cosEF,A1C1=EFA1C1|EF|A1C1|=32，EF,A1C1=30异面直线EF与A1C1夹角为30故答案为：3017.【答案】33【解析】略18.【答案】301033【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值与点到平面的距离的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，属拔高题以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面C1MN的法向量，进而可得点B1到平面C1MN的距离【解答】解：直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱AA1=2，以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，依
22、题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),C1(0,0,2),B1(0,1,2)，B(0,1，0)，A(1,0，0)，BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2)，BA1CB1=10+(-1)1+22=3，|BA1|=6,|CB1|=5，又M,N分别为A1B1,A1A的中点，M(12,12,2),N(1,0,1)，则C1M=(12,12,0),C1N=(1,0,-1),C1B1=(0,1,0)，设平面C1MN的法向量为n=x,y,z，则nC1M=12x+12y=0nC1N=x-z=0,取x=1，得n=1,-1,1，所以nC1B1=-1，n=3，点B1到平面C1MN的距离为nC1B1n=1
23、3=33，故答案为3010；3319.【答案】23【解析】解：DE平面ABFE，DEAB，又ABAD，AB平面ADHE，过点P作PMAD，过点H作HNAD，则PM平面ABCD，HN平面ABCD，过点N作NKBC，则PDM为二面角P-CD-B的平面角，HKN为二面角H-BC-A的平面角，又AE=DE，PAD=45，tanHKN=HNNK=HN,tanPDM=PMMD，由题意，HN=PMMD，设PA=x，则PM=22x,MD=1-22x,HN=AEsin45=12，12=22x1-22x，解得x=23故答案为：23如图，作辅助线，可得PDM为二面角P-CD-B的平面角，HKN为二面角H-BC-A的
24、平面角，再根据题意可得HN=PMMD，设PA=x，由此建立关于x的方程，解出即可本题考查空间中二面角的求法，考查线线，线面间的位置关系，考查数形结合思想，转化与化归思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题20.【答案】解：(1)在PAD中，PA=PD=2，O为AD的中点，所以POAD，侧面PAD底面ABCD，所以PO平面ABCD又在直角梯形ABCD中，OCAD，所以OC，OD，OP两两垂直以O为坐标原点，直线OC为x轴，直线OD为y轴，直线OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示则O(0,0，0)，A(0,-1,0)，P(0,0，1)，B(1,-1,0)，PB=(1,-1,-1)，OA=
25、(0,-1,0)，所以cosPB,OA=33，又AO平面POC，所以直线PB与平面POC所成角的余弦值为63(2)由(1)知C(1,0，0)，D(0,1，0)假设存在满足题意的点Q，设PQ=PD(01)，因为PD=(0,1,-1)，所以Q(0,1-)，所以AQ=(0,+1,1-)又AC=(1,1,0)，设平面CAQ的法向量为m(a,b,c)，则mAC=a+b=0mAQ=(+1)b+(1-)c=0所以取m=(1-,-1,+1)，平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1)，因为二面角Q-AC-D的余弦值为63，所以|nm|n|m|=63，所以32-10+3=0，所以=13或=3(舍去)，所以PQQ
26、D=12【解析】本题考查了利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、直线与平面所成角、二面角的相关知识，试题难度一般21.【答案】解析 (1)证明：易知BCAB，平面ABCD垂直于圆O所在的平面，且两平面的交线为AB，BC平面ABCD，BC垂直于圆O所在的平面又EA在圆O所在的平面内，BCEAAB为圆O的直径，AEB=90，BEEA，又BCBE=B，BC，BE平面EBC，EA平面EBC，EC平面EBC，EAEC(2)取AB的中点F，连接OF，以点O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，过点O作与BC平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz由异面直线AE和DC所成的角为6，AB/
27、DC知BAE=6，OBE=3，E(32,12,0)，由题设可知D(0,-1,1)，C(0,1，1)，DE=(32,32,-1)，CE=(32,-12,-1).设平面DCE的法向量为p=(x0,y0,z0)，则DEp=0,CEp=0,即32x0+32y0-z0=032x0-12y0-20=0取x0=2，得y0=0，z0=3，p=(2,0，3).易知平面AEB的一个法向量为q=(0,0，1)，cos=pq|p|q=322+(3)2=217.故平面DCE与平面AEB夹角的余弦值217【解析】考查了空间中线线垂直的证明和平面与平面夹角的求解答题要领 (1)由面面垂直的性质可证得BCEA，再根据线面垂直
28、的判定定理和性质定理可证得(2)取AB的中点F，连接OF，以点O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，过点O作与BC平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz.先求两平面的法向量，再利用向量法求平面DCE与平面AEB夹角的余弦值22.【答案】取AE的中点O，连接DO，DA=DE，DOAE，又平面ADE平面ABCE，平面ADE平面ABCE=AE，DO平面ABCE，过E作直线EF/DO以E为原点，EA、EB、EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，AD=DE=2，ADE=90，AE=BE=22，则E(0,0，0)，A(22,0，0)，B(0,22,0)，D(2,0，
29、2)，C(-2,2,0)(1)证明：易知AD=(-2,0，2)，BD=(2,-22,2)，EB=(0,22,0)，ADBD=(-2)2+0(-22)+22=0，ADEB=(-2)0+022+20=0，ADBD，ADEB，即ADBD，ADEB，又BDBE=B，BD，BE平面BDE，AD平面BDE(2)设平面ADE的法向量为n1，易知n1=(0,1，0)易知CB=(2,2,0)，DB=(-2,22,-2)，设平面BDC的法向量为n2=(x,y，z)，则n2CB=0,n2DB=0,即2x+2y=0,-2x+22y-2z=0,令x=1，得y=-1，z=-3，平面BDC的法向量为n2=(1,-1,-3)，cos=n1n2|n1|n2|=-1112+(-1)2+32=-1111，平面ADE与平面BDC夹角的余弦值为1111【解析】略
