1、第三章 圆锥曲线的方程 综合测评卷(B卷)一、单选题1设是双曲线上的动点,则到该双曲线两个焦点的距离之差为( )A4BCD2已知分别是椭圆的焦点,过点的直线交椭圆于两点,则的周长是ABCD3已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,且,则的面积等于( )A24B26CD4椭圆与双曲线有相同的焦点,则的值为( )A1BC2D35已知为椭圆的左右顶点,直线与轴交于点,与直线交于点,且平分,则此椭圆的离心率为( )ABCD6某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,则该卫星远地点离地面的距离为()Ar+RBr+RCr+RDr+R7设
2、P是椭圆上一点,M、N分别是两圆:和上的点,则的最小值和最大值分别为( )A9,12B8,11C8,12D10,128已知点,点P为函数图象上的一点,则的最小值为( )AB7C3D不存在二、多选题9已知双曲线的焦距为4,两条渐近线的夹角为,则下列说法正确的是( )AM的离心率为BM的标准方程为CM的渐近线方程为D直线经过M的一个焦点10已知双曲线C:的左、右焦点分别为,则能使双曲线C的方程为的是( )A离心率为B双曲线过点C渐近线方程为D实轴长为411(多选)设抛物线的准线与对称轴交于点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为和,则( )A点坐标为B直线的方程为CD12为椭圆:上的动点,过作切线交
3、圆:于,过,作切线交于,则( )A的最大值为B的最大值为C的轨迹是D的轨迹是三、填空题13已知椭圆的左、右焦点分别是,椭圆上任意一点到,的距离之和为,过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于,两点,若线段的长度为,则椭圆的方程为_14已知椭圆,为右顶点.过坐标原点O的直线交椭圆C于P,Q两点,线段AP的中点为M,直线QM交x轴于N(2,0),椭圆C的离心率为,则椭圆C的标准方程为_.15已知F为双曲线的左焦点,直线l经过点F,若点,关于直线l对称,则双曲线C的离心率为_16已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线交双曲线于P,Q两点,且,则双曲线的离心率为_.四、解答题17已知椭圆上有一点,它关于原点的对称
4、点为,点为椭圆的右焦点,且满足,设,且,求该椭圆的离心率的取值范围18已知动直线垂直于轴,与椭圆交于,两点,点在直线上,(1)求点的轨迹的方程;(2)直线与椭圆相交于,与曲线相切于点,为坐标原点,求的取值范围19椭圆与双曲线有公共焦点、,是它们的一个公共点(1)用和表示;(2)设,求20已知椭圆,且椭圆C上恰有三点在集合中.(1)求椭圆C的方程;(2)若点O为坐标原点,直线AB与椭圆交于A、B两点,且满足,试探究:点O到直线AB的距离是否为定值.如果是,请求出定值:如果不是,请明说理由.(3)在(2)的条件下,求面积的最大值.21已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点相同,且椭圆过点(1)求椭圆方程;
5、(2)过点的直线交椭圆于,两点,为椭圆上一点,且满足(,为原点),当时,求实数的取值范围22对于双曲线,定义为其伴随曲线,记双曲线的左、右顶点为、.(1)当时,记双曲线的半焦距为,其伴随椭圆的半焦距为,若,求双曲线的渐近线方程;(2)若双曲线的方程为,弦轴,记直线与直线交点为,求动点的轨迹方程;(3)过双曲线的左焦点,且斜率为的直线与双曲线交于、两点,求证:对任意的,在伴随曲线上总存在点,使得.参考答案1A【解析】由双曲线方程可得,则.故选:A.2D【解析】因为椭圆方程为,所以 ,由椭圆的定义得: ,所以,所以的周长是8故选:D3A【解析】由题意,椭圆,所以,所以,又,所以,因为,所以,所以,
6、故的面积.故选:A.4A【解析】由双曲线知:且,而其与椭圆有相同焦点,且,解得,故选:A5D【解析】如图,由三角形性质可得:,;,因为平分,所以,解得,即离心率.故选:D.6A【解析】由题意,椭圆的离心率,(c为半焦距;a为长半轴)地球半径为R,卫星近地点离地面的距离为r,可得 联立方程组,如图所示,设卫星近地点的距离为,远地点的距离为,所以远地点离地面的距离为r+故选:A7C【解析】如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为,恰好是椭圆的两个焦点,由椭圆定义知,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时最小,最小值为;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时最大,最大值为故选:C
7、8B【解析】解:,得设点,即点为双曲线的上、下焦点由双曲线的定义得,则.故选:B9ACD【解析】解:依题意得,则,因为两条渐近线的夹角为,所以两条渐近线的倾斜角分别为,所以,所以,所以双曲线方程为,离心率,渐近线方程为,焦点坐标为、,显然直线过点;故选:ACD10ABC【解析】因为双曲线C:的左、右焦点分别为,所以焦点在x轴上,且c=5;A选项,若离心率为,则a=4,所以b=3,此时双曲线的方程为:,故A正确;B选项,若双曲线过点,则,解得,又,解得:b=3;此时双曲线的方程为:,故B正确;C选项,若双曲线的渐近线方程为,则,又 解得,所以此时双曲线的方程为:,故C正确;D选项,若,则,所以故
8、D错误;故选:ABC.11ABC【解析】由得,则焦点,其准线方程为,A正确;设切线方程为,由得,令,解得切点,因此直线的方程为,B正确;又,从而,即,C正确;,D错误故选:ABC12AC【解析】根据题意,作图如下:不妨设点的坐标为,点坐标为,故切点所在直线方程为:;又点为椭圆上的一点,故切线方程所在直线方程为:;故可得.即不妨设直线交于点,故设直线方程为:,故,又,故可得三角形的面积,当且仅当,且时,即时取得最大值.因为点在椭圆上,故,又,故可得,整理得.故动点的轨迹方程为:.故选:.13【解析】解:由题知,得,设,代入椭圆,即,解得,所以,得,所以椭圆的方程为.故答案为:.14【解析】解:设
9、,则由;线段的中点为,则,;由题意,三点共线,;即;可得;所以,由椭圆的离心率为,得,;故椭圆的标准方程为:故答案为:15【解析】为双曲线:的左焦点, ,又点,关于直线对称,可得直线的方程为,又,中点在直线上,整理得,又,故,解得,.故答案为:.16【解析】解:如图,可设为双曲线右支上一点,由,在直角三角形中,由双曲线的定义可得:,由,即有,即为,解得,由勾股定理可得:,可得.故答案为:.17【解析】如图所示,设椭圆的左焦点为,连接,则四边形为矩形,椭圆的离心率18(1);(2).【解析】(1)设,则由题知,由在椭圆上可得,所以,故点的轨迹的方程为;(2)当直线的斜率不存在时,;当直线的斜率存
10、在时,设其方程为,联立,消去y化简可得,令可得,则,所以,联立,消去y化简可得,所以,则,令,则,所以,所以当时,即时,取最大值3,当时,即时,取最小值;综上,的取值范围为19(1);(2).【解析】(1)令,在中,由余弦定理得:,所以和,因为是椭圆上的点,则,因为是双曲线上的点,则,所以,即,整理得:(2)由(1)可得,整理得:,由(1)可知,所以,所以20(1)(2)点O到直线AB的距离为定值(3)【解析】(1)和关于原点对称,故由题意知,椭圆C必过此两点,又当椭圆过点时,此时满足,符合题意.所以椭圆.又当椭圆过点时,此时,不符合题意.综上:椭圆.(2)设,若斜率存在,则设直线,由,得,由
11、知,代入得,又原点到直线AB的距离,且当AB的斜率不存在时,可得,依然成立.所以点O到直线AB的距离为定值.(3)由(2)知,由(2)知,;因为,当且仅当,即时等号成立.所以;易知当AB斜率不存在时,所以,综上得的面积的最大值为.21(1);(2).【解析】(1),焦点,所以,椭圆焦点为,因为椭圆过点,所以,所以,所以,椭圆方程为(2)设,当斜率是0时,不合题意当斜率不为0时,设直线的方程是,联立方程代入得,所以,所以,所以因为,即,整理得,所以,所以又,所以,所以,所以又点在椭圆上,代入方程得,所以,又,所以,解得或故的取值范围为22(1);(2);(3)证明见解析.【解析】(1)由题意可得,由,得,即,可得,因此,的渐近线方程为;(2)设,设点,又、,所以,直线的方程为,直线的方程为,由得,由得,上述两个等式相乘可得,在双曲线上,可得,化简可得;(3)证明:点的坐标为,直线的方程为,设、的坐标分别为、则由,得,即,当时,由韦达定理可得,由,知,双曲线的伴随曲线是圆,圆上任意一点到的距离,所以,对任意的,在伴随曲线上总存在点,使得.