1、2021-2022人教版A版（2019）圆锥曲线的方程单元测试考试时间：120分钟；满分：150分第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1已知双曲线的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD2“”是“曲线表示椭圆”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）A2BC1D4已知是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）ABCD5如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（
2、）ABCD6已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点若，则的离心率为（ ）ABC2D7已知椭圆与双曲线：有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且，过椭圆的右焦点做倾斜角为的直线交椭圆于，两点，且，则可以取（）A4B5C7D88在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是（ ）ABCD二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9过点且的双曲线的标准方程是（ ）ABCD10设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A， B两点，则下述结论正确
3、的是（ ）AAF+BF为定值BABF的周长的取值范围是6，12C当时，ABF为直角三角形D当m=1时，ABF 的面积为11如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则（ ）ABCD12已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）A双曲线C的离心率为B的面积为C的内心在直线上D内切圆半径为第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13双曲线的右焦
4、点到渐近线的距离为_.14已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作，垂足为，若，则=_15如图，已知椭圆E的方程为(ab0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB30，则椭圆的离心率等于_16已知A，B是双曲线y21的两个顶点，点P是双曲线上异于A，B的一点，连接PO（O为坐标原点）交椭圆+y21于点Q，如果设直线PA，PB，QA的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2，假设k30，则k3的值为_.四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）
5、焦点在轴上，经过点；（2）经过、两点18（12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，求的面积.19（12分）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）直线与交于两点，求.20（12分）已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程.21（12分）如图，抛物线的焦点为F，四边形DFMN是边长为1的正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于
6、A，B两点（直线l不垂直于x轴），交直线ND于第三象限的点C（1）求抛物线E的方程；（2）若直线MA，MB，MC的斜率分别记为判断是否是定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由22（12分）已知椭圆：的左右顶点分别为，下顶点为，点到直线的距离为，且椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，为椭圆上不同的三点，且，关于原点对称，原点到直线的距离等于，求证：.参考答案1D双曲线的焦距为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选：D2B因为曲线为椭圆，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分条件.故选：B3C解：如图所示，设此抛物线的焦点为，准线过点作，垂足为则，到轴的距离，则点到点的距离与到轴的
7、距离之和为设，因此当、三点共线时，取得最小值即的最小值为，所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.故选：C.4B依题意有，所以又，所以，又，可得，即，则，故选：B.5B由抛物线定义，等于到准线的距离，因为，所以，又，从而，又因为在抛物线上，代入抛物线方程，解得故抛物线方程为故选：B6A设，则， ， ， ， ， ， 离心率，故选：A.7D由题得椭圆的焦点为不妨设在第一象限，设椭圆方程为，因为，所以，又，解得，所以椭圆的方程为由题得直线方程为即：联立直线和椭圆方程得或，所以,或当时，所以,所以所以.当时，.所以可以取8.故选：D8A设，因为点到直线、的距离之和为，所以点到点和点的距离之和为，由椭圆的
8、定义可知：点的轨迹是椭圆的一部分，以所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为正方体的体对角线，所以正方体的棱长为，则，所以，可得点的轨迹为椭圆，所以，则，因为，所以，所以，由此可得，故选：A.9AC，当焦点在轴上时，设，代入点，得，此时双曲线方程为，同理求得焦点在轴上时，双曲线方程为，故选AC.10AD设椭圆的左焦点为，则为定值，A正确；的周长为，因为为定值6，的范围是，的周长的范围是，B错误；将与椭圆方程联立，可解得，又，不是直角三角形，C不正确；将与椭圆方程联立，解得，D正确故选：AD11ABD对A，由抛物线的定义知A正确；对B，B正确；对C，由题意知，又与不一定相等
9、，与不一定相等，C错误；对D，由题意知四边形为矩形，D正确.故选：ABD12BC对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，则，所以，所以的内心在直线上，故C正确；为等边三角形,若在同一支，由对称性知轴，.,；, 设的内切圆半径为r，则，解得；若分别在左右两支，则，则，解得，离心率，设的内切圆半径为r，则，解得；所以结论一定正确的是BC.故选：BC.132由可得，所以，所以双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为故答案为：.14解：由于抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作，垂足为，若，可得点，三角形是等腰三角形，所以故答案为：15解：是与轴重合的，且四
10、边形为平行四边形，所以、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数，、两点是关于轴对称的由题知：四边形为平行四边形，所以可设， 代入椭圆方程解得：设为椭圆的右顶点，四边形为平行四边形对点：解得：根据：得：故答案为：162解：由双曲线，可得两个顶点A（2，0），B（2，0）.设P（x0，y0），则1，可得，kPA+kPB，.同理，设Q（x1，y1），由kOPkOQ得.，kQA+kQB，kPA+kPB+kQA+kQB0，kPA+kPB，kQA+kQB又kQAkQB联立解得k3kQA20.故答案为：2.17（1）；（2）.（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的方
11、程得，解得，因此，双曲线的标准方程为；（2）设双曲线的方程为，将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得，因此，双曲线的标准方程为.18（1）；（2）.解：（1）抛物线的焦点为，所以直线的方程为，由消去得，所以，由抛物线定义得，即，所以.所以抛物线的方程为.（2）由知，方程，可化为，解得，故，.所以，.则面积19（1）；（2）【分析】（1）由圆与圆的位置关系可确定，由此确定所求轨迹为椭圆；在椭圆轨迹中去除即可得到所求方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）由圆的方程知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径.设动圆，动圆半径为，动圆与圆外切，与圆内切，满足椭圆定义，则，轨
12、迹方程为；又为圆和圆的切点，的方程为.（2）将代入的方程得：，设，则， .20（1）；（2）.（1）设为双曲线上任意一点，则双曲线的顶点为，由题设知，故，代入式可得.又为双曲线上任意一点，故，所以，双曲线的渐近线方程为.（2）由椭圆的离心率，可得，故椭圆方程为，即.设，则.设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，联立式整理得，即，故，从而.所以.而直线的方程为，同理可求得.于是，由可得，整理得.结合式可得，所以椭圆的方程为，即.21（1）；（2）为定值解：（1），四边形是边长为1的正方形，代入抛物线方程得：，抛物线的方程为：（2）是定值，理由如下：由（1）可知，设直线的方程为，联立方程，消去得：，设，联立方程，得，把，代入得：，为定值22（1）（2）证明见解析（1）由题意知，所以直线BD的方程为，即，所以点到直线BD的距离为，即.因为椭圆C过点，所以.联立，得，故椭圆C的标准方程：.（2）当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为或.不妨设直线的方程为，M在第一象限，可得，则，所以.由对称性知，当直线PM的方程为时，同理可得.当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为，所以原点O到直线PM的距离为，即.设，则，联立得，整理得，则，所以.因为，所以，所以.综上得证.
