1、椭圆综合讲义一、知识梳理1、椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为椭圆，其中定点称为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线，定值称为椭圆的离心率.此定义为椭圆的第二定义.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axaby
2、bbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2知识拓展：1、如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|，称为通径2、焦半径椭圆上任意一点到椭圆焦点的距离称为焦半径，且，特别地，若为椭圆上的任意一点，为椭圆的左右焦点，则，其中3、椭圆1与k(其中ab0，k0)有相同的离心率4、焦点三角形为椭圆上的任意一点，为椭圆的左右焦点，称为椭圆的焦点三角形，其周
3、长为：，若，则焦点三角形的面积为：.5、过焦点三角形（焦点弦三角形）直线过椭圆的左焦点，与椭圆交于、两点，称为椭圆的过焦点三角形，其周长为：，面积为.6、点与椭圆的位置关系为平面内的任意一点，椭圆方程为：若，则在椭圆上；若，则在椭圆外；若，则在椭圆内.7、直线与椭圆的位置关系直线，椭圆：，则与相交；与相切；与相离.8、椭圆上任意两点的坐标性质为椭圆上的任意两点，且，则.【推广1】直线过椭圆的中心，与椭圆交于两点，为椭圆上的任意一点，则（均存在）.【推广2】设直线交椭圆于两点，交直线于点若为的中点，则.9、相互垂直的半径倒数的平方和为定值若、为椭圆：上的两个动点，为坐标原点，且则定值10、P为椭
4、圆（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.11、过椭圆的焦点任作一弦，则12、已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上两动点，且.（1）;（2）的最小值为;（3）的最小值是.13、设椭圆（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, ,，则有.14、 焦点弦焦点弦长公式：(为直线与焦点所在轴的夹角)，通径：(最短焦点弦)。焦点弦被焦点分成两部分，则(定值)(取通径即可)。焦点弦被焦点分为两段、,，则有(为直线与焦点所在轴的夹角)。圆锥曲线中简答题中已知(为直线与曲线两交点。)条件时，答题模板。步骤1：设(或写
5、出)直线的方程；步骤2：直线方程与曲线方程联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程(如果P为x轴上的点，则整理成关于y的一元二次方程，反之整理成关于x的一元二次方程。)；步骤3：写出根与系数的关系；步骤4：利用，找(或)的关系，代入根与系数的关系中，消去(或)，建立关于参数的方程。二、经典题型题型一：椭圆概念及椭圆方程1、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆2、已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线
6、交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线 D抛物线3、求下列椭圆的方程1）经过点，的椭圆的标准方程是 ；2）已知焦点坐标为，且的椭圆方程是_；3）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为 4）已知椭圆的中心在原点，长轴长为，离心率为，则椭圆的方程是_来源:Z|xx|k.Com5）若椭圆的离心率为，则 6）若椭圆满足条件，则椭圆的标准方程为 来源:Z+xx+k.Com7）已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，长轴与短轴之和为，焦距为，则椭圆的标准方程为_8）已知方程表示椭圆，则的取值范围_4、已知两圆C1：(x4)2y2169，C2
7、：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.15、已知圆，圆内一定点，圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程.6、已知圆，圆,动圆分别与圆相外切，与圆相内切.求动圆圆心所在的曲线的方程.7、 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆的圆心的轨迹方程8、已知的两个顶点坐标为，的周长为18，则顶点的轨迹方程为_9、一动圆与定圆内切且过定点，求动圆圆心的轨迹方程.10、已知，是圆（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为 11、若的两个顶点坐标分别是和，另两边、的斜率的乘积是，顶点的轨迹方程为 。1
8、2、已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，垂足为，点 在上，并且，求点的轨迹。题型二：椭圆的性质1、已知椭圆1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于()A5B6 C9 D102、已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()A. B. C. D.3、焦点在x轴上的椭圆方程为1(ab0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.4、 已知点F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则椭圆离心率为_，PF1F2的周长为_5、椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|_
9、.6、已知A，B是椭圆E：1(ab0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为_7、设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最小值为_.8、以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A.1 B. C.2 D.29、设F1，F2分别为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A. B C. D10、设F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB的面积
10、为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_.11、设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是（ ）A C D12、点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为2，为的中点，表示原点，则（ ）AB2C4D813、已知为椭圆上动点，为椭圆的右焦点，点的坐标为，则的最小值为（ ）A B C D14、已知椭圆方程为中，分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有（ ）焦点在轴上，其坐标为；若椭圆上有一点到的距离为，则到的距离为；焦点在轴上，其坐标为；，A个 B个 C个 D个15、已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则=_16、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭
11、圆的左焦点，则 来源:学科网ZXXK17、设是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有个不同的点，使，组成公差为的等差数列，则的取值范围为 18、椭圆的焦点为，点在椭圆上若，则 ；的大小为 19、椭圆的左、右焦点分别为、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是_（当为锐角、直角时，范围又是什么？）20、椭圆上有一点到两个焦点的连线互相垂直，则点的坐标是21、点为椭圆在第一象限内的一点，以点以及焦点，为顶点的三角形的面积为，则点的坐标是_22、已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且若的面积为，则 题型三：焦点三角形1、已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个
12、焦点在BC边上，则ABC的周长是()A.2 B.6 C.4 D.22、已知、为椭圆的两个焦点，过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长是 。3、设是椭圆上的一点，、为焦点，求的面积。4、已知点是椭圆上的一点，、为焦点，求点到轴的距离。5、已知点是椭圆上的一点，、为焦点，若，则的面积为 。6、如图，已知，为椭圆：（）的左、右焦点，过原点 的直线与椭圆交于两点（），若，则（ ）ABCD7、已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则C的方程为（ ）A.B.C.D.题型四：离心率1、已知椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A. B. C. D.2、已知F1，F2是椭
13、圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B. C. D.3、已知两定点A(1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. B. C. D.4、已知椭圆C：1(ab0)的右顶点为A，过原点O的直线l与C交于点P，Q，且直线AP与直线AQ的斜率之积为，则C的离心率是()A.BC. D5、已知P为椭圆1(ab0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，F1PF2取最大值时，cosF1PF2，则椭圆的离心率为_6、椭圆C：1
14、(ab0)的左焦点为F，若F关于直线xy0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为_7、椭圆（）的两个焦点分别为、，以、为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为 （ ） A B C D8、过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 9、设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.椭圆C的离心率 ；10、过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_11、在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的焦距为2c，
15、以O为圆心、a为半径作O.若过P作O的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为_12、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若MOA30，则该椭圆的离心率为_ 13、已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且PF1F2的周长为14，则椭圆C的离心率e为()A. B. C. D. 14、设椭圆C：1(ab0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_15、已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上一点，且P
16、Fx轴，OPAB，那么该椭圆的离心率为()A. B. C. D.16、已知，、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、（），若的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 17、设椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为_。18、已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为（ ）ABCD19、已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为( )ABCD20、已知是以为焦点的椭圆上的一点，若，则此椭圆的的离
17、心率为（ ）A B C D 21、椭圆的长轴为，为短轴的一个端点，若，则椭圆的离心率为（ ）A B C D22、已知椭圆，是椭圆长轴的一个端点，是椭圆短轴的一个端点，为椭圆的一个焦点 若，则该椭圆的离心率为 （ ）A B C D23、设是椭圆的两个焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，若，则椭圆的离心率等于_24、设椭圆：的左右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使，试求该椭圆的离心率的取值范围25、设椭圆：的长轴两端点为、，若椭圆上存在一点，使，试求该椭圆的离心率的取值范围题型五：最值问题1、设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是（ ）A C D2、已知为椭圆上动点，为椭圆的右焦点，点的坐标为，
18、则的最小值为（ ）A B C D3、过原点作两条相互垂直的直线分别与椭圆：交于、与、，则四边形面积的最小值为（ ）A B C D4、已知，是椭圆上一点，则的最大值为_5、设是椭圆上的动点，和分别是椭圆的左、右顶点，则的最小值等于 6、已知点在圆：上移动，点在椭圆上移动，求的最大值来源:Z7、若是经过椭圆中心的一条弦点，分别为椭圆的左、右焦点，求的面积的最大值.8、已知直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求的面积的最大值.9、已知为椭圆上一点,分别为圆和圆上的点,则的最小值为( )来源:学#科#网Z#X#X#KA. B. C. D.10、设椭圆C：1（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足F1MF2F1NF2，则椭圆C离心率的取值范围是（）ABCD11、已知F1，F2椭圆的左右焦点，|F1F2|4，点在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为（）A4BC5D
