1、第一章 空间向量与立体几何（A）一、单选题1如图在四面体中，分别在棱，上且满足，点是线段的中点，用向量，表示向量应为（ ）ABCD2已知空间三点，在一条直线上，则实数的值是（ ）A2B4C-4D-23长方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）ABCD4已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（ ）ABCD5我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，其中，与都是等边三角形，且二面角与相等，则长度的取值范围为（ ）A（2,14）B（2,8）C（0,12）D（2,12
2、）6在正方体中，在正方形中有一动点P，满足，则直线与平面所成角中最大角的正切值为（ ）A1BCD7已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ）ABC2D28如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是（）A30B45C60D90二、多选题9已知为直线的方向向量分别为平面的法向量(不重合)，那么下列说法中，正确的有（ ）A BC D10已知，,且与夹角为，则的取值可以是（ ）A17B-17C-1D111如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则（
3、）A直线BM，EN是相交直线B直线EN与直线AB所成角等于90C直线EC与直线AB所成角等于直线EC与直线AD所成角D直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角12如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，底面ABCD，且，M、N分别为PC、PB的中点.则（ ）ABC平面ANMDDBD与平面ANMD所在的角为30三、填空题13已知，1，0，则_14已知向量若，则实数x的值是_15在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA11，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是_16如图：二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BD
4、l，ABACBD1，则CD的长等于_四、解答题17如图，在长方体中，为的中点. 平面与棱交于点.（1）证明：平面；（2）点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的大小.18如图1，在四边形ABCD中，ADBC，D90，BC3，ADDC1把ACD沿着AC翻折至ACD1的位置，D1平面ABC，连结BD1，如图2（1）当BD12时，证明：平面ACD1平面ABD1；（2）当三棱锥D1ABC的体积最大时，求点B到平面ACD1的距离，19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA12AB2，D为AA1的中点，点C在平面ABB1A1内的射影在线段BD上（1）求证：B1D平面CBD；（2）若CBD是正三角形，求二面
5、角C1BDC的余弦值20如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，点E是PC的中点（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值21已知三棱锥中，为中点，点在棱上，且.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.22如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为梯形，(1)证明:;(2) 若为正三角形,求二面角的余弦值.参考答案1A【解析】解：在四面体中，分别在棱、上，且满足，点是线段的中点，.故选：A.2C【解析】解：因为空间三点，在一条直线上，所以 ,故.所以 .故选：C.3A【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则：设平面的法向量为则可得：取则 =设直线与平面的夹角为则，.故选：A.
6、4A【解析】解：设平面内一点，则：， 是平面的法向量，由得把各选项的坐标数据代入上式验证可知适合故选：5A【解析】由于与都是等边三角形，且边长为，故高为.当和趋向于时，如下图所示.当和趋向于时，如下图所示.所以的取值范围是.故选：A6D【解析】正方体中,正方形内的点P满足可知是平面内,以为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线与平面所成最大角时,点位于圆心E与C点连线上此时取得最小值.则即为直线与平面所成的角设正方体的边长为2,则, 所以故选:D7B【解析】故故选：8B【解析】以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，所以,设平面D1B1E的法
7、向量为，则，可取，又，设AB1与平面B1D1EF所成的角为，则，故AB1与平面B1D1EF所成的角为故选：B9AB【解析】平面不重合，平面的法向量平行(垂直)等价于平面平行(垂直)，AB正确;直线的方向向量平行(垂直)于平面的法向量等价于直线垂直(平行)于平面，CD都错误.故选AB.10AC【解析】解:因为,且，,与夹角为.所以,解得或.故选:AC11ABD【解析】解：点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，BM平面BDE，EN平面BDE，BM是BDE中DE边上的中线，EN是BDE中BD边上的中线，直线BM，EN是相交直线，故A正确；取CD中点
8、G，连接NG，可知NGCD，则ENCD，又ABCD，ENAB，即直线EN与直线AB所成角等于90，故B正确；由题意，ECD60为直线EC与直线AB所成角，由AD平面ECD，可知直线EC与直线AD所成角为90，故C错误；过M作MHCD于H，连接BH，则MBH为直线BM与平面ABCD所成角，ENG为直EN平面ABCD所成角由图可知，直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角，故D正确故选：ABD12CD【解析】对A，若，又，则面，与底面ABCD矛盾，故A错误；对B，若，则平面，则，在题中给出的直角梯形中，显然不可能，故B错误；对C，所以平面ANMD ，故C正确；对D，连接DN，因为
9、平面ADMN，所以是BD与平面ADMN所成的角在中，所以BD与平面ADMN所成的角为，故D正确；故选：CD. 13【解析】，故答案为：144或1【解析】解：因为向量，所以3（x4）+2（x2+2）+3x0，整理得到x2+3x40，解得x4或1故答案为：4或115【解析】在长方体在 ， ， ， ， ， ，设点到平面的距离为， ，解得： ，故答案为：162【解析】A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，因为，所以，因为，所以故答案为：217（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由长方体的性质知：面面，且、面，面，平面.（2）构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐
10、标系，则，平面与棱交于点，易知，而为的中点，为中点，则，若为面的一个法向量，则，令，即，又，则，直线与平面所成角为.18（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：在图1中，则图2中，在中，可得，又，平面，平面，平面平面；（2）解：当三棱锥的体积最大时，平面平面，过作，则平面，并求得，设点到平面的距离为，由，得，即故点到平面的距离为19（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：设点C在平面ABB1A1内的射影E，则EBD，CE平面CBD，CE平面ABB1A1，因为B1D平面ABB1A1，所以CEB1D在ABD中，ABAD1，则，在A1B1D中，A1B1A1D1，则，故，故BDB1D，因CE
11、BDE，故B1D平面CBD（2）以D为坐标原点，所在的直线分别为x，y轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(0，1，0)，B1()，由CBD是正三角形可知C()，C1()，平面CBD的一个法向量，设面C1BD的法向量，则，令，得，由图可知二面角C1BDC的平面角为锐角，二面角C1BDC的余弦值为20（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接AC，与BD相交于F，连接EF底面ABCD是正方形，F为AC中点，又E是PC的中点，平面，平面，平面（2）PD底面ABCD，平面，又底面ABCD是正方形，两两垂直.以D为原点，分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标
12、系，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，可得，令，得，即，.二面角的余弦值为.21（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接，在三角形中：，则，.在中：，为的中点，则，且.在中：，满足：根据勾股定理逆定理得到，故平面；（2）因为，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示.因为，则，由所以，设平面的法向量为，则 令，得.因为平面，所以为平面的法向量，所以与所成角的余弦为.所以二面角的余弦值为.22（1）证明见解析 （2）【解析】（1）证明：因为，又底面为直角梯形面底面因为面底面,平面ABCD,所以BD平面所以.（2）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为所以，令设平面的法向量为令设二面角的平面角为 .由图观察为钝角
