1、2021-2022学年高二数学(人教A版2019选择性必修一)第一章 空间向量与立体几何 单元检测试卷(A)一、单选题。本大题共8小题,每小题只有一个选项符合题意。1对于空间任意两个非零向量 是的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2设平面与平面的夹角为,若平面的法向量分别为,则( )ABCD3已知点A的坐标为A(1,1,0),向量(4,0,2),则点B的坐标为( )A(7,1,4)B(9,1,4)C(3,1,1)D(1,1,1)4已知直线过定点,且方向向量为,则点到的距离为( )ABCD5在长方体中,则直线与平面所成角的正弦值为( )ABCD6在下列结论中:
2、若向量共线,则向量所在的直线平行;若向量所在的直线为异面直线,则向量一定不共面;若三个向量两两共面,则向量共面;已知空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得其中正确结论的个数是( )A0B1C2D37如图,在四面体中,分别是,的中点,则( )ABCD8九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,例如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图,在堑堵ABCA1B1C1中,ACB90,若AB,AA12,当鳖臑A1ABC体积最大时,直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为( )ABCD二、多选题。本大题
3、共4小题,每小题有两项或以上符合题意。9已知点是平行四边形所在的平面外一点,如果,对于结论: ; ; 是平面的法向量; 其中正确的是( )ABCD10已知向量,下列等式中正确的是( )ABCD11给出下列命题,其中正确的命题是( )A若,则是钝角B若为直线l的方向向量,则也是直线l的方向向量C若,则可知D在四面体中,若,则12在以下命题中,不正确的命题有( )A是、共线的充要条件B若,则存在唯一的实数,使C对空间任意一点和不共线的三点、,若,则、四点共面D若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底三、填空题。本大题共4小题。13如图,在正三棱柱中,分别是的中点设D是线段上的(包括两个端点)动点
4、,当直线与所成角的余弦值为,则线段的长为_14如图,四面体中,、分别是线段、的中点,已知,(1);(2);(3);(4)存在实数,使得则其中正确的结论是_(把你认为是正确的所有结论的序号都填上)15三棱锥ABCD中,平面ABC平面BCD,ABBCBD,ABCDBC120,则二面角ABDC的平面角的正切值是_16已知球内切于正四面体,且正四面体的棱长为,线段是球的一条动直径(,是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的最大值是_四、解答题。本大题共6小题,解答过程必修有必要的文字说明,公式和解题过程。17如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设,M,N,P分别是AA1,BC,
5、C1D1的中点,试用表示以下各向量:(1);(2)18如图:直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,E,F分别为边AD和BC上的点,且EFAB,AD=2AE=2AB=4FC=4,将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置,使AD=AE.(1)求证:BC平面DAE;(2)求四棱锥DAEFB的体积;(3)求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值.19正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,求AC1与侧面ABB1A1的夹角20在等腰梯形ABCD中,ADBC,ABADBC2,E是BC的中点,将BAE沿着AE翻折成B1AE,使平面B1AE平面AECD,M为线段AE的中点(1)求证:CDB1
6、D;(2)求二面角DAB1E的余弦值;(3)在线段B1C上是否存在点P,使得直线MP平面B1AD,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由21如图,在四棱锥SABCD中底面ABCD是直角梯形,侧棱SA底面ABCD,AB垂直于AD和BC,M为棱SB上的点,SAABBC2,AD1(1)当SM2MB时,求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值;(2)在第(1)问条件下,设点N是线段CD上的动点,MN与平面SAB所成的角为,求当sin取最大值时点N的位置22如图,在三棱锥PABC中,PA,AB,AC两两垂直,PAABAC3,且D为线段BC的中点(1)证明:BC平面PAD;(2)若,求平面PAB与平
7、面PDE所成角的正弦值参考答案1B【解析】显然,包括向量同向共线和反向共线两种情形故选:B2B【解析】由题意,因平面与平面的夹角与其法向量的夹角相等或互补,所以.故选:B3B【解析】由题意,即点坐标为故选:B4A【解析】因为,所以,则,由点到直线的距离公式得,故选:A.5D【解析】以点为坐标原点,以所在的直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,为平面的一个法向量直线与平面所成角的正弦值为故选:D6A【解析】平行向量就是共线向量,它们的方向相同或相反,未必在同一条直线上,故错两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内,故错.三个向量两两共面,这三个向量未必共面,如三棱锥中,两两共面,
8、但它们不是共面向量,故错根据空间向量基本定理,需不共面才成立,故错故选:A7A【解析】在四面体中,分别是,的中点,故选:A8A【解析】解:在堑堵ABCA1B1C1中,ACB90,AB,AA12,当鳖臑A1ABC体积最大时,ACBC1,以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,B1(0,1,2),C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),设平面ABB1A1的法向量,则,取x1,得,设直线B1C与平面ABB1A1所成角为,则,所以直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为故选:A9ABC【解析】,所以,所以,故 正确;,所以,所以,故正确;因为与不平行,所
9、以是平面所以是平面的法向量,故正确因为,因为,所以与不平行,故错误所以选项ABC正确,故选:ABC10BCD【解析】A.左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边右边,左边=右边,因此正确.C.左边,右边左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=,左边=右边,因此正确.故选:BCD11CD【解析】对于A,当时,若,但,不是钝角,所以A错;对于B,当时,不是直线的方向向量,所以B错;对于C,所以C对;对于D,如图,过P作平面ABD交平面于O点,连CO交AB于M,连AO交BC于N,连BO交AC于T,同理为垂心,所以,从而,所以D对;故选:CD.12ABC【解析】对于A选项,充分性:若,则、
10、方向相反,且,充分性成立;必要性:若、共线且方向相同,则,即必要性不成立,所以,是、共线的充分不必要条件,A选项错误;对于B选项,若,则,但不存在实数,使得,B选项错误;对于C选项,对空间任意一点和不共线的三点、,若、四点共面,可设,其中、,则,可得,由于,此时,、四点不共面,C选项错误;对于D选项,假设、共面,可设,由于为空间的一个基底,可得,该方程组无解,假设不成立,所以,构成空间的另一个基底,D选项正确.故选:ABC.13【解析】解:如图以为坐标原点建立空间直角坐标系:则设,则,设直线与所成角为所以解得,所以,故答案为:14(1)(3)【解析】解:(1)是线段的中点,正确;(2)取的中点
11、,连接,则,因此不正确;(3),因此正确;(4)、分别是线段、的中点,与平面不平行,不存在实数,使得综上可得:只有(1)(3)正确故答案为:(1)(3)15-2【解析】解:平面ABC平面BCD,ABBCBD,ABCDBC120,设AB1,作AOBC于点O,连DO,以点O为原点,OD,OC,OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向,建立坐标系,得下列坐标:O(0,0,0),D(,0,0),B(0,0),C(0,0),A(0,0,),显然(0,0,1)为平面BCD的一个法向量,设平面ABD的法向量为(x,y,1)则(x,y,1)=(x,y,1)0(x,y,1)=(x,y,1)0解得x1,y,则显然(0
12、,0,1)为平面BCD的法向量设二面角ABDC大小为,则为钝角,则|cos|,即cos,则sin,则tan2,故答案为:2168【解析】解:由正四面体棱长为,其内切圆的半径为,由题意,是直径的两端点,可得,则,当点在正四面体顶点时,最大,且最大值为,则的最大值为,故答案为:17(1);(2)【解析】解:(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,P是C1D1的中点,(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M是AA1的中点,又18(1)证明见解析;(2);(3).【解析】(1)证明:直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,E,F分别为边AD和BC上的点,且EFAB,CFDE,CF面C
13、BF,DE面CBF,则DE面CBF;FBAE,FB 面CBF,AE面CBF,则AE面CBF;又AEDE=E,DEAE面DAE面CBF面DAE又BC面CBF,所以BC平面DAE(2)取AE的中点H,连接DHEFED,EFEA,EDEA=EEF平面DAE又DH平面DAE,EFDHAE=ED=DA=2,DHAE,DH=,又AEEF=EDH面AEFB所以四棱锥DAEFB的体积(3)如图以AE中点为原点,AE为x轴建立空间直角坐标系则A(1,0,0),D(0,0,),B(1,2,0),E(1,0,0),F(1,2,0)因为,所以C(,2,)易知是平面ADE的一个法向量,=(0,2,0)设平面BCD的一个
14、法向量为=(x,y,z)由令x=2,则y=2,z=2,=(2,2,2),cos=所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为1930【解析】如图,以点为坐标原点,以所成直线为轴,以所在直线为轴,以经过原点且与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系由已知得,0,取的中点,于是有,连,有,且,由,所以,面,与所成的角就是与侧面所成的角,所以,与所成的角,即与侧面所成的角为20(1)证明见解析;(2);(3)存在;【解析】(1)证明:由题意可知四边形ABED是平行四边形,所以AMME,故B1MAE又因为ABBE,M为AE的中点,所以BMAE,即DMAE又因为ADBC,ADCE2所以四边形ADCE是平
15、行四边形所以AECD故CDDM因为平面B1AE平面AECD,平面B1AE平面AECDAE,B1M平面AECD所以B1M平面AECDB1MAE因为CD平面AECD,所以B1MCD因为MDB1MM,MD、B1M平面B1MD,所以CD平面B1MD(2)解:以ME为x轴,MD为y轴,MB1为z轴建立空间直角坐标系,则C(2,0),B1(0,0,),A(1,0,0),D(0,0)平面AB1E的法向量为设平面DB1A的法向量为,因为,所以,令z1得,所以,因为二面角DAB1E为锐角,所以二面角DAB1E的余弦值为(3)解:存在点P,使得MP平面B1AD设在线段B1C上存在点P,使得MP平面B1AD,设,(
16、01),C(2,0),因为所以,因为MP平面B1AD,所以,所以2+0,解得,又因为MP平面B1AD,所以在线段B1C上存在点P,使得MP平面B1AD,.21(1) ;(2)当时,sin最大【解析】解(1)SA底面ABCD,SAAD,SAAB,又ADAB,以A为原点,以AD,AB,AS所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系如图,SAABBC2,AD1,SM2MB,A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),S(0,0,2),M(0,),D(1,0,0)由上可知AD平面SAB,(1,0,0)可作为平面SAB的法向量;设平面MAC的法向量为,则,即,即取x1,则y1,z2,即,设平面
17、SAB与平面AMC所成锐二面角为,则(2)如图,作NQBC,DRAB,NQ,DR交于P,则,设QNm,则PNm1,DP2M2,N(m,2m2,0),|,当时取等号,此时,所以当时,最大22(1)证明见解析;(2)【解析】(1)证明:因为ABAC,D为线段BC的中点,所以ADBC又PA,AB,AC两两垂直,且ABACA,所以PA平面ABC,则PABC因为ADPAA,所以BC平面PAD(2)解:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),P(0,0,3),D(,0),可设E(0,t,0),则(0,t,3),(,0),t1,则(,0),(0,13),设平面PDE的法向量为(x,y,z),则,即,令z1,得(-1,3,1)平面PAB的一个法向量为(0,1,0),则则故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为