1、2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）第一章 空间向量与立体几何 单元检测试卷（A）一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。1对于空间任意两个非零向量 是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2设平面与平面的夹角为，若平面的法向量分别为，则( )ABCD3已知点A的坐标为A(1，1，0)，向量(4，0，2)，则点B的坐标为（ ）A(7，1，4)B(9，1，4)C(3，1，1)D(1，1，1)4已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）ABCD5在长方体中，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD6在下列结论中：
2、若向量共线，则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量两两共面，则向量共面；已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得其中正确结论的个数是（ ）A0B1C2D37如图，在四面体中，分别是，的中点，则（ ）ABCD8九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABCA1B1C1中，ACB90，若AB，AA12，当鳖臑A1ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ）ABCD二、多选题。本大题
3、共4小题，每小题有两项或以上符合题意。9已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，对于结论： ； ； 是平面的法向量； 其中正确的是（ ）ABCD10已知向量，下列等式中正确的是（ ）ABCD11给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A若，则是钝角B若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量C若，则可知D在四面体中，若，则12在以下命题中，不正确的命题有（ ）A是、共线的充要条件B若，则存在唯一的实数，使C对空间任意一点和不共线的三点、，若，则、四点共面D若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底三、填空题。本大题共4小题。13如图，在正三棱柱中，分别是的中点设D是线段上的（包括两个端点）动点
4、，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_14如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，（1）；（2）；（3）；（4）存在实数，使得则其中正确的结论是_（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）15三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，ABBCBD，ABCDBC120，则二面角ABDC的平面角的正切值是_16已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是_四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设，M，N，P分别是AA1，BC，
5、C1D1的中点，试用表示以下各向量：（1）；（2）18如图：直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE.（1）求证：BC平面DAE；（2）求四棱锥DAEFB的体积；（3）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值.19正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角20在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABADBC2，E是BC的中点，将BAE沿着AE翻折成B1AE，使平面B1AE平面AECD，M为线段AE的中点（1）求证：CDB1
6、D；（2）求二面角DAB1E的余弦值；（3）在线段B1C上是否存在点P，使得直线MP平面B1AD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21如图，在四棱锥SABCD中底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SAABBC2，AD1（1）当SM2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（2）在第（1）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求当sin取最大值时点N的位置22如图，在三棱锥PABC中，PA，AB，AC两两垂直，PAABAC3，且D为线段BC的中点（1）证明：BC平面PAD；（2）若，求平面PAB与平
7、面PDE所成角的正弦值参考答案1B【解析】显然，包括向量同向共线和反向共线两种情形故选：B2B【解析】由题意，因平面与平面的夹角与其法向量的夹角相等或互补，所以.故选：B3B【解析】由题意，即点坐标为故选：B4A【解析】因为，所以，则，由点到直线的距离公式得，故选：A.5D【解析】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，为平面的一个法向量直线与平面所成角的正弦值为故选：D6A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故错两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，
8、但它们不是共面向量，故错根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故错故选:A7A【解析】在四面体中，分别是，的中点，故选：A8A【解析】解：在堑堵ABCA1B1C1中，ACB90，AB，AA12，当鳖臑A1ABC体积最大时，ACBC1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），设平面ABB1A1的法向量，则，取x1，得，设直线B1C与平面ABB1A1所成角为，则,所以直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为故选：A9ABC【解析】，所以，所以，故 正确；，所以，所以，故正确；因为与不平行，所
9、以是平面所以是平面的法向量，故正确因为，因为，所以与不平行，故错误所以选项ABC正确，故选：ABC10BCD【解析】A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B.左边右边，左边=右边，因此正确.C.左边，右边左边=右边，因此正确.D.由C可得左边=，左边=右边，因此正确.故选：BCD11CD【解析】对于A，当时，若，但，不是钝角，所以A错；对于B，当时，不是直线的方向向量，所以B错；对于C，所以C对；对于D，如图，过P作平面ABD交平面于O点，连CO交AB于M，连AO交BC于N，连BO交AC于T，同理为垂心，所以，从而，所以D对；故选：CD.12ABC【解析】对于A选项，充分性：若，则、
10、方向相反，且，充分性成立；必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；对于B选项，若，则，但不存在实数，使得，B选项错误；对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、，若、四点共面，可设，其中、，则，可得，由于，此时，、四点不共面，C选项错误；对于D选项，假设、共面，可设，由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.故选：ABC.13【解析】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：则设，则，设直线与所成角为所以解得，所以，故答案为：14（1）（3）【解析】解：（1）是线段的中点，正确；（2）取的中点
11、，连接，则，因此不正确；（3），因此正确；（4）、分别是线段、的中点，与平面不平行，不存在实数，使得综上可得：只有（1）（3）正确故答案为：（1）（3）15-2【解析】解：平面ABC平面BCD，ABBCBD，ABCDBC120，设AB1，作AOBC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标：O（0，0，0），D（，0，0），B（0，0），C（0，0），A（0，0，），显然（0，0，1）为平面BCD的一个法向量，设平面ABD的法向量为（x，y，1）则（x，y，1）=（x，y，1）0（x，y，1）=（x，y，1）0解得x1，y，则显然（0
12、，0，1）为平面BCD的法向量设二面角ABDC大小为，则为钝角，则|cos|，即cos，则sin，则tan2，故答案为：2168【解析】解：由正四面体棱长为，其内切圆的半径为，由题意，是直径的两端点，可得，则，当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为，则的最大值为，故答案为：17（1）；（2）【解析】解：（1）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，P是C1D1的中点，（2）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，又18（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）证明：直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，CFDE，CF面C
13、BF，DE面CBF，则DE面CBF；FBAE，FB 面CBF，AE面CBF，则AE面CBF；又AEDE=E，DEAE面DAE面CBF面DAE又BC面CBF，所以BC平面DAE（2）取AE的中点H，连接DHEFED，EFEA，EDEA=EEF平面DAE又DH平面DAE，EFDHAE=ED=DA=2，DHAE，DH=，又AEEF=EDH面AEFB所以四棱锥DAEFB的体积（3）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系则A(1，0，0)，D(0，0，)，B(1，2，0)，E(1，0，0)，F(1，2，0)因为，所以C(，2，)易知是平面ADE的一个法向量，=(0，2，0)设平面BCD的一个
14、法向量为=(x，y，z)由令x=2，则y=2，z=2，=(2，2，2)，cos=所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为1930【解析】如图，以点为坐标原点，以所成直线为轴，以所在直线为轴，以经过原点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系由已知得，0，取的中点，于是有，连，有，且，由，所以，面，与所成的角就是与侧面所成的角，所以，与所成的角，即与侧面所成的角为20（1）证明见解析；（2）；（3）存在；【解析】（1）证明：由题意可知四边形ABED是平行四边形，所以AMME，故B1MAE又因为ABBE，M为AE的中点，所以BMAE，即DMAE又因为ADBC，ADCE2所以四边形ADCE是平
15、行四边形所以AECD故CDDM因为平面B1AE平面AECD，平面B1AE平面AECDAE，B1M平面AECD所以B1M平面AECDB1MAE因为CD平面AECD，所以B1MCD因为MDB1MM，MD、B1M平面B1MD，所以CD平面B1MD（2）解：以ME为x轴，MD为y轴，MB1为z轴建立空间直角坐标系，则C（2，0），B1（0，0，），A（1，0，0），D（0，0）平面AB1E的法向量为设平面DB1A的法向量为，因为，所以，令z1得，所以，因为二面角DAB1E为锐角，所以二面角DAB1E的余弦值为（3）解：存在点P，使得MP平面B1AD设在线段B1C上存在点P，使得MP平面B1AD，设，（
16、01），C（2，0），因为所以，因为MP平面B1AD，所以，所以2+0，解得，又因为MP平面B1AD，所以在线段B1C上存在点P，使得MP平面B1AD，.21（1） ；（2）当时，sin最大【解析】解（1）SA底面ABCD，SAAD，SAAB，又ADAB，以A为原点，以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，SAABBC2，AD1，SM2MB，A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），S（0，0，2），M（0，），D（1，0，0）由上可知AD平面SAB，（1，0，0）可作为平面SAB的法向量；设平面MAC的法向量为，则，即，即取x1，则y1，z2，即，设平面
17、SAB与平面AMC所成锐二面角为，则（2）如图，作NQBC，DRAB，NQ，DR交于P，则，设QNm，则PNm1，DP2M2，N（m，2m2，0），|，当时取等号，此时，所以当时，最大22（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为ABAC，D为线段BC的中点，所以ADBC又PA，AB，AC两两垂直，且ABACA，所以PA平面ABC，则PABC因为ADPAA，所以BC平面PAD（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，0），可设E（0，t，0），则（0，t，3），（，0），t1，则（，0），（0，13），设平面PDE的法向量为（x，y，z），则，即，令z1，得（-1，3，1）平面PAB的一个法向量为（0，1，0），则则故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为
