1、2021-2022学年度高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何测试卷一、单选题1已知空间四边形ABCD中，则等于（ ）ABCD2已知向量，则（ ）ABCD3已知空间向量，则（ ）ABCD4在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，则用基底表示向量为（ ）ABCD5给出以下命题，其中正确的是（ ）A直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直B直线l的方向向量为，平面的法向量为，则lC平面、的法向量分别为，则D平面经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面的法向量，则u+t=16若向量与向量互相垂直，则的值为（ ）A1B2C3D47在棱长
2、为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=+(1-)，当AM、BN最短时，=（ ）A-BC-D8已知空间中非零向量，且，则的值为（ ）AB97CD619如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（ ）ABCD10已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，则的取值范围为（ ）ABCD二、填空题11在z轴上求一点A，使它到点的距离为，则点A的坐标是_.12如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量，表示，则=_13已知，且，则向量与的夹角为_14如图所示，在四面体中，点是的中点，记，令
3、，则_15已知点，则_.16已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为_.17九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面ABC，且，则二面角的正弦值为_.18已知三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D，E分别为棱，的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为_19点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是_.20已知长方体，为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是_三、解答题21如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体
4、对角线上，且求证：，三点共线22如图，在四棱锥中，平面，(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的正弦值；(3)设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长23如图，在正三棱柱中，侧棱长和底面边长均为1，是的中点.（1）求证：平面；（2）试问线段上是否存在点，使平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由.24如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：平面，平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.25如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，点为的中点.（1）求证：平面；（2）若，且平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为，求四棱锥的体积.参考答案1C【
5、详解】由向量的运算法则，可得.2A【详解】由已知可得.3A【详解】因为空间向量，所以，4B【详解】连接BD，如图，因为E是PD的中点，所以，5A【详解】对于A，l与m垂直，A正确；对于B，与不共线，直线l不垂直平面，B错误；对于C，与不共线，平面与平面不平行，C错误；对于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，由n=-1-u+t=0，n=-1+3u=0，解得u=，t=，u+t=，D错误.6C【详解】因为向量与向量互相垂直，即，解得：7A【详解】由共面向量定理和共线向量定理可知，M平面BCD，N直线AC，当AM、BN最短时，AM平面BCD，BNAC，所以M为BCD的中心，N为AC的中点，此
6、时，2|=，|=，AM平面BCD，MC平面BCD，AMMC，|=.又=(+)，=(+)=-|2=-.8C【详解】，9B【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，易知平面的一个法向量为，则，所以，10D【详解】设外接球的半径为，则.设是球心，则，.11或【详解】设点A的坐标为，依题意得，解得或，所以点A的坐标为或.故答案为：或12【详解】由题意 =故答案为：13【详解】由已知条件可得，解得，所以，因此，.故答案为：.140【详解】解析：又，故答案为：015【详解】因为，所以为中点，故，故答案为：16【详解】解：根据题意，点在直线上运动，1，；设，当时，取得最小值此时点的坐标是
7、，故答案为：17【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：，设平面APC的法向量为，不妨设，则，设平面PBC的法向量为，不妨设，则，设为，则，.故答案为：18【详解】取的中点，连接，则平面，连接，则,以为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，设棱长为2，则，所以，所以.故答案为：19【详解】如下图所示：正四面体的棱长为，其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，则为正的中心，且平面，连接并延长交于点，则为的中点，且，平面，平面，则，的面积为，正四面体的体积为，设球的半径为，则，当点位于正四面体的顶点时，取最大值，因此，.故答案为：.20【详解】如下图所示：因为为对
8、角线的中点，所以，以下分类讨论：根据长方体的对称性和数量的性质：取点P时只要取顶点和每个表面的中心即可，（1）当点M、N在上下两个面时，设，则，取点， 所以，因为，所以，的取值范围是；取点，则，由于，所以，所以的取值范围是；（2）当点M、N在左右两个面时，设，则，取点， 所以，因为，所以，的取值范围是；取点，则，由于，所以，所以的取值范围是；（3）当点M、N在前后两个面时，设，则，取点， 所以，因为，所以，的取值范围是；取点，则，由于，所以，所以的取值范围是；综上得的取值范围是，故答案为：.21证明见解析【详解】证明： 连接，又，三点共线22(1)证明见解析；(2) ；(3) 【详解】证明：平
9、面，平面，、平面，平面，又平面，（2）解：过点A作于，连接，由（1）知，平面，即为平面与平面所成的角在中，在中，故平面与平面夹角的正弦值为（3）解：以为原点，、所在的直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，1，0，0，异面直线与所成的角为，解得或（舍负），23（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【详解】（1）连结交于点O，连结OD，交于点O，O是的中点，又是的中点，OD是的一条中位线， ，又平面，平面，平面.（2）假设点E在线段上，使平面，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设（），,，,在平面ADC1中，,，由可解得，又由可解得，与矛盾，所以这样的点E不存在.24（1
10、）证明见解析；（2）.【详解】解：（1）证明，在梯形中，.平面平面，平面平面，平面，又，平面.又四边形是矩形，平面，平面.（2）由（1）可建立直线，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，.设为平面的法向量，由，得，取，则.是平面的一个法向量，.，当时，有最大值，的最小值为.25（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）设点为的中点，连接，为的中点，为的中位线，且，又，且，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面.（2）以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴可建立如图所示的空间直角坐标系，.设，则，.设平面的一个法向量为，则，令，解得：，又平面的一个法向量为，平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为，解得：（舍）或，直角梯形的面积，.
