1、第一章 测试题考试范围：空间向量与立体几何 考试时间：120分钟，满分150分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1空间任意五个点、，则等于ABCD2已知空间向量，且与垂直，则等于（ ）A4B1C3D23已知，若，则与的值可以是（ ）A2，B，C3，2D2，24已知空间中非零向量，且，则的值为（ ）AB97CD615若向量垂直于向量和，向量(，R且，0)，则（ ）ABC不平行于，也不垂直于D以上三种情况都有可能6已知，则向量与的夹角是（
2、 ）A90B60C30D07如图，在正方体ABCD中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是A(1，2，4)B(4,1，2)C(2，2，1)D(1，2，2)8如图，在棱长为的正方体中，为棱上的动点，过点作平面分别与棱，交于，两点，若三棱锥为正三棱锥，则下列说法正确的是（ ）A与不垂直B存在点，使得平面C用过，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形D存在点，使得点到平面的距离为二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9给定下列命题，
3、其中正确的命题是（ ）A若，分别是平面的法向量，则B若，分别是平面的法向量，则C若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则D若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直10下列条件中，使点与三点一定共面的是（ ）ABCD11在正方体中，有下列说法，其中正确的有（ ）ABC的夹角为60D正方体的体积为12如图，在长方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）A当时，、三点共线B当时，C当时，平面D当时，平面第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知空间向量满足，则的值为_14已知是空间两个向量，若，则=_15已知点A（1，2，3），B（0，1
4、，2），C（1，0，），若A，B，C三点共线，则_16如图，四面体的所有棱长都等于1，、分别是四面体的棱、的中点，、是的三等分点，则_（用表示），的值为_四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17已知向量，.求：（10分）（1）；（2）.18设空间两个不同的单位向量，与向量的夹角都等于（10分）（1）求和的值；（2）求的大小19如图，在几何体中，四边形为矩形，平面平面，（12分）（1）求证：平面平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围20在正四棱柱中，为的中点（12分）求证：（1）平面.（2）平面.21如图，在三棱柱中，平
5、面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点（12分）（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值22如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点.已知，（14分）（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.参考答案1D ,故选D.2A由于与垂直，所以.3A因为，所以，解得或，4C，5B向量垂直于向量和，则，又向量，所以，所以.6A，即与的夹角为，7B设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），=（0，2，1），=（1，0，2）设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量则
6、，取y=1，得x=4，z=2=（4，1，2）是平面AEF的一个法向量因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量8D由题可知，平面与平面平行，因为平面，故与平面垂直，所以选项A不正确；因为与平面相交，故与平面不平行，所以选项B不正确；当点，重合时，截面是矩形，如下图所示：所以选项C不正确；由题可知，到平面的距离无限接近于，故存在点，使得点到平面的距离为所以选项D正确.9ACD对于A选项，若，分别是平面的法向量，则,故A选项正确B选项错误；对于C选项，若是平面的法向量，则与平面的任意直线的方向向量均垂直，所以，故C选项正确；对于D选项，两个平面的法向量垂直，则这两个平面一定垂直，反之亦然，故D
7、选项正确；故选：ACD10AB对于A：，故，故、共线，故、共面；或由得：，为共面向量，故、共面；对于B：，故、共面；对于C：由，所以点与、三点不共面.对于D：由，得，而，所以点与、三点不共面.故选：AB11AB如图所示，故A正确；，故B正确；与的夹角是夹角的补角，而的夹角为，故的夹角为，所以C错误；正方体的体积为.故选：AB.12ACD在长方体中，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系因为，所以，则、，则，.对于A选项，当时，为线段的中点，则，则，所以，、三点共线，A选项正确；对于B选项，设，由，可得，解得，所以，所以，所以与不垂直，B选项错误；对于C选项，当
8、时，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，又，所以，所以，所以，平面，所以平面，C选项正确；对于D选项，当时，所以，所以，。所以，又，所以平面，D选项正确故选：ACD1313因为，所以，则因此14因为，所以，解得，所以，151由题意，点A（1，2，3），B（0，1，2），C（1，0，），所以,若A，B，C三点共线，则，即，解得.故答案为：116 由题意得：.同理可得，所以因为四面体的所有棱长都等于1，所以，所以17（1）5；（2）.（1）由，得.（2）因为，所以.18（1）；（2）（1），、，又与的夹角为，另外，；（2），由（1）知，、是方程的解，或，同理或，或，19（1）证明：在四边形中，因
9、为，所以四边形是等腰梯形，且，所以，；又因为平面平面，交线为，所以平面又因为平面，所以平面平面（2）分别以直线，为，轴建立如图所示的空间直角坐标系设，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，因为是平面的一个法向量，所以，因为，所以当时，有最小值，最小值为当时，有最大值，最小值为，故20根据题意以所在直线为 轴，以所在直线为 轴，以所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为，则，（1）设平面的法向量，由，即，取，则，得，又，因为，所以，且平面,所以平面（2）由（1）可知平面的法向量，所以，所以平面21依题意，以为原点，分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得
10、、.（）依题意，从而，所以；（）依题意，是平面的一个法向量，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，所以，二面角的正弦值为；（）依题意，由（）知为平面的一个法向量，于是所以，直线与平面所成角的正弦值为.22（1）连接交于，连接.因为底面是矩形，所以是线段的中点.是线段的中点，.又平面，平面，平面.（2）因为底面，底面，底面，所以，.因为底面是矩形，所以.如图,以D为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，.因为是线段的中点，故，.设平面的法向量为，则，即，令，则，于是.因为底面，所以为平面的法向量.又，所以.由题知二面角是锐角，所以其余弦值为.（3）因为为直线上一点，其中，.又，且与垂直，解得.所以存在点，使得与垂直，此时，的长为.两直线所成的角为(),；直线与平面所成的角为(),；二面角的大小为(),
