1、圆锥曲线知识点归纳总结1椭圆有关知识：(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1| PF2|2a，|F1F2|2c且a c (其中a0，c0，且a，c为常数)(2)椭圆标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c22双曲线有关知识(1)双曲线定义：动点P满足：|PF1|PF2|2a，
2、|F1F2|2c且ac (其中a，c为常数且a0，c0).(2)双曲线标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1 (a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴实轴|A1A2|2a；虚轴|B1B2|2b；a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)3抛物线有关知识：(1)抛物线定义：|PF|PM|，点F不在直线l上，PMl于M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22p
3、y(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下4重要公式(1)弦长公式：|AB|x1x2|y1y2|； (2)韦达定理：x1x2，x1x2.必备结论1轨迹类型：方程1，当mn0时表示圆；当mn0或nm0时表示椭圆；当mn0时表示双曲线2椭圆结论：(1)如图1：焦点F1AF2周长CF1AF22a2c、面积SF1AF2b2tan ；ABF2的周长为：CABF24a；通径：|AC| (椭圆、双曲线通用)；图1(2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：动点角范围：0A
4、1PA2A1BA2；焦半径范围：ac|PF1|ac (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；|PO|范围：b|PO|a(长、短轴顶点到原点最远、最近； 斜率：kPA1kPA2.(3) 点P(x0，y0)和椭圆的关系：图2点P在椭圆内1.(4)椭圆扁平程度：因为e，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆3双曲线结论：(1)如图3：动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小|A2F2|ca；焦点到渐近线的距离为：|F2M|b；(2)渐近线求法结论：可直接令方程(0)等号右边的常数为0，化简解得；图34抛物线结论：如图4：抛物线y22px(p0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，
5、y2)，AB的中点E，准线为l.(1)焦半径问题：焦半径：|AF|AD|x1，|BF|BC|x2 (随焦点位置变动而改变)；焦点弦：|AB|x1x2p (其中，为直线AB的倾斜角)；(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2 (随焦点动而变)；图4(3)其他结论：SOAB(其中，为直线AB的倾斜角)；以AB为直径的圆必与准线相切于点H必备方法1直线与圆锥曲线相关问题：(1)位置关系：判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如y)得出方程Ax2BxC0：0有两个交点(相交)；0有一个交点(相切)；0没有交点(相离)(2)弦长问题：弦长公式韦达定理，即|
6、AB| x1x2| y1y2|.(3)中点问题：点差法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线斜率之间的关系.2与角有关的关联性问题：直角(垂直)数量积ab0或斜率k1k21或余弦定理cos 0或点共圆；锐角ab0或余弦定理cos 0；钝角ab0或余弦定理cos 0；3巧设直线：反设直线法，即过x轴上一点(a,0)的直线可设为xtya，这样可避免对直线斜率存在性的讨论4巧设共渐近线双曲线：与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 (0)必备细节1易混淆：椭圆a2b2c2，而双曲线c2a2b2；双曲线离心率e(1,)，而椭圆离心率e(0,1)2易忽视：椭圆、双曲线的焦点位置；抛物线为
7、化成标准方程；设直线未讨论斜率存在性；解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时，忘记判别式0这一隐含条件解析几何题型和问法整理最值问题（面积的最值、线段长的最值、基本不等式、几何意义的最值）1已知两点，动点在直线上运动，则的最小值为ABC4D52已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），抛物线的准线与轴交于点，当最大时，直线的斜率A1BCD3已知圆上存在两点，关于直线对称，则的最小值是A1B8C2D44已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长（）求点的轨迹方程；（）已知直线的方程为，过直线上一点作（）中轨迹
8、的两条切线，切点分别是，两点，求面积的最小值5已知椭圆的焦点在轴上，并且经过点，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）动直线与圆相切于点，与椭圆相交于，两点，线段的中点为，求面积的最大值，并求此时点的坐标6在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上互异的四点（点在第一象限），其中，关于原点对称，关于轴对称，且，求四边形面积的最大值7.如图：已知抛物线：与椭圆：有相同焦点，为抛物线与椭圆在第一象限的公共点，且，过抛物线准线上一点作直线，与抛物线分别相切于，两点，直线交椭圆于，两点。（1）求椭圆的方程；（2）求的面积的最小值。8. 已知椭圆经过点，离心率
9、为.（1）求C的方程；（2）直线与椭圆C交于A，B两点. 判断AMB是否是定值并给出证明； 求的最大值.9已知，为椭圆的左、右顶点，是椭圆上一点（异于，满足且斜率为的直线交椭圆于，两点，且（1）求椭圆的方程及离心率；（2）如图，设直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最大值10已知椭圆右顶点为抛物线的焦点，右焦点到抛物线的准线的距离为3，椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设上两点、满足，直线与椭圆相交于点异于点直线与轴相交于点，求面积的最大值，并求此时直线的方程11设是坐标原点，以，为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和恰好有两个交点（1）求的方程；（2）是外的一点，过的直线
10、，均与相切，且，的斜率之积为，记为的最小值，求的取值范围12设是坐标原点，以，为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和恰好有两个交点（1）求的方程；（2）是外的一点，过的直线，均与相切，且，的斜率之积为，记为的最小值，求的取值范围定值问题1已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C有且仅有一个公共点A（1）求椭圆C的方程及A点坐标；（2）设直线l与x轴交于点B过点B的直线与C交于E，F两点，记A在x轴上的投影为G，T为BG的中点，直线AE，AF与x轴分别交于M，N两点试探究|TM|TN|是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由2已知圆，点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，设为的中点，且的轨迹
11、为曲线（1）求曲线的方程；（2）不过原点的直线与曲线交于、两点，已知，直线，的斜率，成等比数列，记以，为直径的圆的面积分别为，试探就是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由3已知为坐标原点，椭圆，点，为上的动点，三点共线，直线，的斜率分别为，（1）证明：；（2）当直线过点时，求的最小值；（3）若，证明：为定值4已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由5如图，过点和点的两条平行线和分别交抛物线于
12、，和，（其中，在轴的上方），交轴于点（）求证：点、点的纵坐标乘积为定值；（）分别记和的面积为和，当时，求直线的方程定点问题1已知椭圆的离心率为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为4（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，斜率为的直线（不过点与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由2已知椭圆的左、右焦点分别为，且（1）求的方程；（2）若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点离心率问题1已知双曲线的右焦点为，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且，则双曲线的离心率为ABCD22已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，与双曲线交
13、于在第一象限），两点，且，则该双曲线的离心率为ABCD3已知双曲线的右焦点为，两渐近线分别为，过作的垂线，垂足为，该垂线交于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是ABCD4已知双曲线的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF，O为坐标原点，若SOMF16，则双曲线C的离心率为（）ABCD5已知为双曲线的左焦点，是双曲线右支上一点，线段与以该双曲线实轴为直径的圆相交于，两点，则该双曲线的离心率为6双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，平分，则的离心率为7双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、在右
14、侧），若，则的离心率为8.已知椭圆C1:的右顶点为P,右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C2的顶点与C1的中心O重合,若C1与C2相交于点A、B，且四边形OAPB为菱形，则C1的离心率为 .9设椭圆与双曲线的公共焦点为，将，的离心率记为，点是，在第一象限的公共点，若点关于的一条渐近线的对称点为，则面积问题1过双曲线的左焦点作渐近线的垂线，垂足为，则为坐标原点）的面积为ABCD2已知，为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的面积为与向量结合的问题(坐标法)1已知，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，动点的轨迹为曲线，过轴上一点的直线交曲线于，两点（）求曲线的轨迹方程；（）证明：存在
15、唯一的一点，使得为常数，并确定点的坐标2若椭圆上的点到右准线的距离为，过点的直线与交于两点，且，则的斜率为ABCD3已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则A3BCD或求渐近线方程1已知双曲线的左、右顶点分别是，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为ABCD2. 如图为陕西博物馆收藏的国宝-唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作。该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:的右支与直线围成的曲边四边形ABMN绕y旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为
16、，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C共渐近线的是（ ）A. B. C. D.3已知，分别为双曲线的两个焦点，上的点到原点的距离为，且，则双曲线的渐近线方程为其他类型综合1已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是A椭圆的焦点坐标为、B椭圆的长轴长为C直线的方程为D2已知曲线的方程为，则下列结论正确的是A当时，曲线为圆B当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为C“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件D存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为3已知双曲线，、分别为双曲线的左，右顶点，、为左、右焦点，且，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别
17、为，则下列说法正确的是A当轴时，B双曲线的离心率C为定值D若为的内心，满足，则4已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，则A若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3，则抛物线的方程为B若，则直线的斜率为C若直线的斜率为，则D设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为5已知，分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，若，求直线方程6已知椭圆的右顶点为，斜率为的直线交于，两点当时，且的面积为为坐标原点）（1）求椭圆的方程；（2）设为的右焦点，垂直于的直线与交于点，与轴
18、交于点，若，且，求的值7如图，已知点在抛物线上，过点作三条直线，与抛物线分别交于点，与轴分别交于点，且（）（）求抛物线的方程；（）设直线，斜率分别为，若，求直线的方程；（）设，四边形面积分别为，在（）的条件下，求的取值范围8已知点是圆上一动点为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线（1）求曲线的轨迹方程；（2）求直线与曲线的相交弦长；（3）曲线的右顶点为，直线与椭圆相交于点，则直线，的斜率分别为，且，为垂足，问是否存在某个定点，使得以为直径的圆经过点？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由？9已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线；的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数（1）求椭圆的标准方程；（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得，三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由10已知抛物线，焦点为，为上任一点，为过点的切线（1）若的方程为，求抛物线方程；（2）求证：与的夹角等于与轴的夹角11已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在，两点关于直线对称，求的取值范围
