1、2021-2022学年度高中数学选择性必修一期末模拟试卷（二）一、单选题1已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则下列几组解中可能正确的是（ ）ABCD2圆的圆心坐标和半径分别是（ ）A(-1，0)，3B(1，0)，3CD3椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则m的值是（ ）ABCD4“”是“曲线表示椭圆”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：；若，则为单位向量；.其中真命题的个数为（ ）ABCD6已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ）AB2C3D47已知、，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是（
2、 ）ABCD8如图，在棱长都相等的正三棱柱中，是棱的中点，是棱上的动点.设，随着增大，平面与底面所成锐二面角的平面角是（ ）A增大B先增大再减小C减小D先减小再增大9若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（ ）ABCD10已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为ABCD二、多选题11如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD4，AA13，以直线DA，DC，DD1分
3、别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（）A点B1的坐标为（4，5，3）B点C1关于点B对称的点为（5，8，3）C点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）D点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）12已知圆C：，点A是直线上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为（ ）ABC0D1三、填空题13双曲线的渐近线方程为 14早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义“一中同长也”已知为坐标原点，若，的“长”分别为1，且两圆相外切，则_.15椭圆C: 的离心率为，焦距为2，则椭圆的短轴长为_16过点且垂直于直线的直线方程为_17二面角的棱上有，两点，
4、直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则该二面角的大小为_18已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在 轴上，且，则的值为_19设x、y均为正实数，且,以点(x，y)为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为_.20已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且，则此双曲线的离心率为_.四、解答题21已知椭圆焦点为，且过点，椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的内切圆方程.22如图，四梭锥中，为中点.（1）求证：；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角
5、的正弦值.23如图，在四面体中，E是线段的中点，.（1）证明：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.24如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.25设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足 ，直线OM的斜率为.（）求E的离心率e；（）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ，求E的方程.26在平面直角坐标系中，过方程所确定的曲线C上点的直线与
6、曲线C相切，则此切线的方程.（1）若，直线过点被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程；（2）若，点A是曲线C上的任意一点，曲线过点A的切线交直线于M，交直线于N，证明：；（3）若，过坐标原点斜率的直线交C于P、Q两点，且点P位于第一象限，点P在x轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求的值.参考答案1A 由题意，即，代入各选项中的值计算，只有A满足故选：A2D 根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D.3D 解析：显然双曲线焦点在x轴上，故4m2m22. m21，即m1.故选：D.4B 因为曲线为椭圆，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分条件.故选：B5B 由可以推出，反之不一
7、定成立，例：、，则，故不正确；当时，故不正确；当时，即，反之也成立，故正确.所以正确命题的个数为：1.故选：B.6B 双曲线的渐近线为因为两条渐近线均与圆相切，所以点到直线的距离等于半径即，又因为整理得到，故双曲线C的离心率为.故选：B. 7D 点在直线上运动，时取最小值，点坐标为，故选：D8D 设正三棱柱棱长为，设平面与底面所成锐二面角为，以为坐标原点，过点在底面内与垂直的直线为轴，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，即，令，则，所以平面的一个法向量，底面的一个法向量为，当，随着增大而增大，则随着的增大而减小，当，随着增大而减小，则随着的增大而增大.故选：D. 9C
8、 ，则，若是椭圆，则，若是双曲线，则，A中椭圆，不存在；B中椭圆，不存在C中双曲线，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是，构成，存在“点”，D中双曲线，不存在故选：C 10A【详解】试题分析：如图取与重合，则由直线同理由,故选A.11ACD 由图形及其已知可得：点B1的坐标为（4，5，3），点C1（0，5，3）关于点B对称的点为（8，5，3），点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）因此ACD正确故选：ACD12ABC 圆C的方程为，即，圆心，半径为1，由题意可得，圆心到直线（）的距离大于2，即，求得，或-1或0.故选：ABC
9、. 13 双曲线，可得，则该双曲线的渐近线方程为：故答案为： 141 由题意，为坐标原点，根据圆的定义，可得，因为两圆相外切，可得，即，解得.故答案为：.15 因为椭圆的离心率为，焦距为2， ，所以，由，得，则椭圆的短轴长，故答案为：. 16 解：设垂直于直线的直线方程为，将点代入得，解得所以所求方程为.故答案为：17 由条件，知，.，又，二面角的大小为.故答案为：. 187. 原点O是F1F2的中点，PF2平行y轴，即PF2垂直于x轴c=3，|F1F2|=6，设|PF1|=x，根据椭圆定义可知，解得，|PF2|=，|PF1|=t|PF2|，t=7. 19.【详解】试题分析：因为，所以令，则所
10、以，当且仅当，即时取等号，此时半径，则此时所求圆的方程为，故答案为. 20. 设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为：， 一条渐近线方程为，可得到渐近线的距离为，则，在直角三角形中，在中，可得，化为，即有，故答案为：. 21（1）（2） 【详解】（1）椭圆过点，且焦点为，则，解得：，所以椭圆方程为：.（2）由，故内切圆半径，所以内切圆方程为： 22（1）证明见解析；（2）. （1），又为中点，则有，平面，平面，所以.（2）方法一：由（1）知：平面，即为二面角的平面角，所以，所以过点作于，记，中：又面，到面的距离与到面的距离相等，方法二：以为原点，为轴，轴，垂直平面向上方向为轴，如图建立空间直角坐
11、标系，令，则；因为二面角的余弦值为，设，则；所以，则又，设平面的法向量为，则取，则，所以，令直线与平面所成角为，则.由，得23（1）证明见解析；（2）. （1）取线段的中点F，连接、.因为E是线段的中点，所以.又，所以.因为，F是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面，而平面，所以.（2）解法一：令，则，那么，所以，所以.又，故可以以点F为原点，射线、分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则，所以，.设平面、平面的法向量分别为，由，得，取，则.由，得，取，则.所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.解法二：令，由已知及（1）可得：，所以，均为棱长为a的正三角形.取中点G
12、，则，故为二面角的平面角，在中，由余弦定理可得：，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 24（1）椭圆，拋物线；（2）. （1）根据题意得：，解得，抛物线焦点，因此椭圆，拋物线（2）设，联立与椭圆，整理得：，判别式：弦长公式：，所以联立与抛物线，整理得：，判别式：弦长公式：，所以，因为，因此，解得：在轴上截距或，因此在轴上截距取值范围是.25（）；（）.【详解】试题分析：（）由题设条件，可得点的坐标为，利用，从而，进而得，算出.（）由题设条件和（）的计算结果知，直线的方程为，得出点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.利用点在直线上，以及，解得，所以，从而得到椭圆的方程
13、为.试题解析：（）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故.（）由题设条件和（）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有解得，所以，故椭圆的方程为.26（1）或；（2）证明见解析；（3）0. （1）当时，曲线C的方程为,这是以原点为圆心，r=2为半径的圆，直线l过点,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为,代入圆的方程得,，直线l被圆所截得弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k,则直线l的方程为，即,由弦长为2，半弦长为1，圆的半径为2，所以圆心到直线l的距离为,由点到直线的距离公式得,解得,所以直线l的方程为：；（2）当时 ，设,则过A点的切线方程为：,即,由直线l1的方程得,代入切线方程得到,设,则,同理,因为A在曲线C上，,所以A为线段MN的中点，所以;（3）设,则),则直线EQ:代入曲线C的方程并整理得：,Q，R的横坐标是这个方程的两实数根，, ,由于,
