1、专题3.3 抛物线标准方程及其性质 期末复习冲刺卷一、单选题1已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）ABCD2已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为（ ）ABCD3已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为A6BCD4设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB等于()A30B45C60D905已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则ABCD6已知为抛物线的焦点，过点的直
2、线交抛物线于两点，若，则线段的中点到直线的距离为A2B4C8D167抛物线的焦点为F，准线为，A、B是抛物线上的两个动点，且满足. 设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值是AB1CD8椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为ABCD二、多选题9抛物线E：x24y与圆M：x2+（y1）216交于A、B两点，圆心M（0，1），点P为劣弧上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的可能取值是（）A8B8.5C9D1010设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的
3、圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则（ ）A|BF|3BABF是等边三角形C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26x11已知为坐标原点，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）A若，则点的横坐标为4B该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为D周长的最小值为12已知点是抛物线的焦点，是经过点的弦且，的斜率为，且，两点在轴上方.则下列结论中一定成立的是AB若，则CD四边形面积最小值为三、填空题13若直线经过抛物线的焦点，则_14已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，则_.15斜率为的直线过
4、抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=_16已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为_.四、解答题17已知抛物线（）的焦点，为坐标原点，是抛物线上异于的两点.（1）求抛物线的方程；（2）若直线，的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点.18已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.（1）求抛物线C的方程；（2）若，求k的值.19设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的横坐标为，且（）求抛物线的标准方程；（）若直线（斜率存在）经过焦点，求直线的方程20已知抛物线C：x2=2py经过
5、点（2，1）（）求抛物线C的方程及其准线方程；（）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点21如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.22已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点（1）若AF4，求点A的坐标；（2）求线段AB的长的最小值参考答案1B【解析】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所
6、以两面积之和为.2C【分析】利用抛物线的几何性质，求得的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为的形式.根据余弦函数的单调性可以求得的最大值.【解析】由题意得，准线，过作，垂足为，则由抛物线定义可知，于是 ，在上为减函数，当取到最大值时（此时直线与抛物线相切），计算可得直线的斜率为，从而，,故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题.3C【分析】利用抛物线的定义由得到到准线的距离为4 ，即可求出点的坐标,根据:“”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值.【
7、解析】，准线方程为，设，则，即，代入，得，不妨取，即，设关于准线的对称点为，可得，故，故选C.【点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.4D【分析】设A，B，根据AOB的面积为16求出a的值，从而得到AOB为等腰直角三角形和AOB90.【解析】由|OA|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，SAOB2a16，解得a4.因为OA=OB=AOB为等腰直角三角形，AOB90. 故答案为D【点睛
8、】(1)本题主要考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求角和边，一般是解三角形.5A【分析】设与x轴的交点为M，过Q向准线作垂线，垂足为N，由，可得，又，根据抛物线的定义即可得出.【解析】设与x轴的交点为M，过Q向准线作垂线，垂足为N，又，.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6B【分析】如图所示：抛物线的焦点为,准线为,即，分别过作准线的垂线,垂足为,则有，过的中点作准线的垂线,垂足为,则为直角梯形中位线,则,即到准线的距离为.故选.7B【解析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF
9、、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos60=a2+b2ab，配方得，|AB|2=（a+b）23ab，又ab（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|AB|（a+b）1，即的最大值为1故选B点睛：本题难点在寻找解题的思路，作为一个最值的问题，这里首先要联想到函数的思想，先求出|MN|，|AB|,再利用基本不等式解答.8D【解析】试题分析：根据题意，可知抛物线的焦点为，所以对于椭圆而言，结合离心率等于，可知，所以方程为，故选D考点：抛物线的性质，椭圆
10、的性质，椭圆的方程9BC【分析】过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得MNNH，的周长lNH+NP+MPPH+4，只需求得PH的取值范围即可得到结论【解析】如图所示，由，可得焦点坐标为，准线方程为，又由，可圆心坐标为，半径为，过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得MNNH故PMN的周长lNH+NP+MPPH+4，联立和，解得，所以PH的取值范围为（4，6）所以的周长PH+4的取值范围为（8，10），所以B，C，满足条件故选：BC【点睛】本题考查直线和圆锥曲线的位置的应用，利用抛物线的定义和性质进行转化是解决本题的关键，意在考查学生分析解决问题的能力、转化思想，属于中档题
11、10BCD【分析】根据题意，作出示意图，结合抛物线的定义，焦半径公式，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【解析】根据题意，作图如下：因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以，又，所以为等边三角形，B正确；ABD90，过F作FCAB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，所以A不正确，焦点到准线的距离为，所以C正确；抛物线的方程为：y26x，所以D正确.故选：BCD【点睛】本题考查抛物线中的综合问题，涉及抛物线定义以及焦半径公式，属综合中档题.11ACD【分析】先求出，选项A求出点的横坐标为，判断选项A正确；选项B求出抛物线的准线被双曲线所截得的线段长
12、度为，判断选项B错误；选项C先判断外接圆的圆心的横坐标为1，再判断外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，最后求出半径和外接圆面积，判断选项C正确；选项D直接求出的周长为，判断选项D正确.【解析】解：因为双曲线的方程为，所以，则，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心
13、在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；选项D：因为的周长为，所以选项D正确.故选：ACD【点睛】本题考查抛物线的定义的几何意义，双曲线的通径长，12AC【分析】先由的斜率为，得到，设，的方程为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理得到再由抛物线的焦点弦公式求出，最后根据题意，逐项判断，即可得出结果.【解析】因为的斜率为，所以，设，的方程为，由可得，所以，同理可得则有，所以A正确；与无关，同理，故，C正确；若，由得，解得，故B错；因为，所以四边形面积当且仅当，即时，等号成立；故D错；故选AC【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的简单性质，以及直线与
14、抛物线的位置关系即可，解决此类题型，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型.13【分析】先将抛物线的方程化为标准方程得，再根据题意求解即可得答案.【解析】解：抛物线方程可化为，所以焦点在y轴上，又直线经过焦点，所以焦点为，因此，解得故答案为：【点睛】本题考查抛物线的标准方程求焦点，是基础题.142或6【分析】代入圆方程中得到一方程，圆心到的距离等于半径得另一方程，解方程组即可.【解析】解：在上所以，即（1），和与相切，（2），由（1）（2）得，所以或故答案为：2或6.【点睛】考查抛物线的性质以及直线和圆的相切的性质，基础题.15【分析】先根据抛物线的方程求得抛
15、物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【解析】抛物线的方程为，抛物线的焦点F坐标为，又直线AB过焦点F且斜率为，直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得 所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.16【分析】先根据抛物线的简单几何性质求出抛物线的方程，再根据点差法求出的中点坐标，从而得出的坐标，然后由向量的模的坐标计算公式即可求解【解析】拋物线的准线方程
16、为，可知抛物线的方程为：设点，的中点为，则两式相减可得，所以，解得，可得，则，可得.故答案为：【点睛】本题主要考查点差法的应用，以及中点公式，向量的模的坐标计算公式，抛物线的简单几何性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题17（1）；（2）证明见详解.【分析】（1）根据焦点坐标，即可求得以及抛物线方程；（2）对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时，设直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，结合直线，的斜率之积为，找到直线之间的等量关系，从而证明问题.【解析】（1）因为抛物线（）的焦点坐标为，所以，即.所以抛物线的方程为.（2）证明：当直线的斜率不存在时，设，.因为直线，的斜率之积为，所以
17、，化简得.所以，此时直线的方程为.当直线的斜率存在时，设其方程为，联立方程组，消去得.由根与系数的关系得，因为直线，的斜率之积为，所以，即.即，解得（舍去）或.所以，即，所以即综合可知，直线过定点.【点睛】本题考查由焦点坐标求解抛物线方程，以及证明直线恒过定点的问题，属综合中档题.18（1）；（2）1或.【分析】(1)根据抛物线的定义，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB【解析】（1）抛物线C：的准线为，由得：，得.所以抛物线的方程为.（2）设，由，直线l经过抛物线C的焦点F，解得：，所以k的值为1或.【点睛】考核抛物线的定义及过焦点弦的求法19（
18、I）；（II）.【分析】（）设点、，由题意得出，再利用抛物线的定义可求出的值，由此可得出抛物线的方程；（）设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出的值，即可得出直线的方程.【解析】（I）设点、，则线段中点横坐标为，又，解得.因此，抛物线的标准方程为；（II）由（I）知，抛物线的焦点为，故可设直线的方程为，联立方程组，消去，得，解得，因此，直线的方程为【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线方程，同时也考查了直线与抛物线综合问题的求解，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.20() ，；()见解析.【分析】()由题
19、意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；()联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.【解析】()将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：.()很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应
20、用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21（1）2，；（2），.【分析】(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.【解析】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.(2)设，设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，故：，设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：，令可得：，则.即，由斜率公式可得：，直线AC的方程为：，令可得：，故，且，由于，代入上式可得：，由可得，则，则.当且仅当，即，时等号成立.此时，则点G的坐标为.【点睛】直线与抛物线的位置关系和
21、直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22（1） （3，2）或（3，2） （2）4【解析】试题分析：（1）由y24x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F（1，0）设A，B由抛物线的定义可知，从而由此能得到点A的坐标；（2）分类讨论，设直线l的方程为y=k（x-1），代入y24x整理得，其两根为，且由抛物线的定义可知线段AB的长试题解析：（1）由抛物线的定义可知，AFx1，从而x1413代入y24x，解得y1点A的坐标为（3，）或（3，）（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk（x1）与抛物线方程联立，消去y，整理得k2x2（2k24）xk20，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k0，并设其两根为x1，x2，则由抛物线的定义可知，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A（1，2），B（1，2），此时AB4，所以，AB4，即线段AB的长的最小值为4考点：抛物线的简单性质
